Absolutní skupina Galois

Absolutní Galoisova grupa pole je Galoisova grupa přes , kde je oddělitelný uzávěr . Také definován jako skupina všech automorfismů algebraického uzavření pole , které je ponecháno bez pohybu. Absolutní Galoisova grupa je jedinečná až do izomorfismu. Je to proterminální skupina . $G_K$ $K$ $K^{sep}$ $K$ $K^{sep}$ $K$ $K$ $K$

(Pokud je dokonalé pole , shoduje se s algebraickým uzavřením pole . To platí například pro pole charakteristická 0 a konečná tělesa .) $K$ $K^{sep}$ $K^{alg}$ $K$

Příklady

Absolutní Galoisova grupa algebraicky uzavřeného pole je triviální.
Absolutní Galoisova grupa reálných čísel je cyklická skupina sestávající ze dvou prvků (komplexní konjugace a mapování identity), protože je oddělitelným uzávěrem a . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$
Absolutní Galoisova grupa konečného pole je izomorfní ke grupě Zde je projektivní limita . $K$ $\hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$ $\varprojlim$

Frobeniův automorfismus je kanonický (topologický) generátor ( , kde je počet prvků v ).

Fr

G_K

Fr(x) = x^q

q

K

Absolutní Galoisova grupa oboru racionálních funkcí s komplexními koeficienty je volná profinitní grupa [1] .
Obecněji, nechť je algebraicky uzavřené pole a je proměnná. Pak absolutní Galoisova grupa pole je volnou skupinou hodnosti rovnající se mohutnosti [2] [3] [4] . $C$ $X$ $K = C(x)$ $C$
Dovolit být konečné rozšíření p-adických čísel . Pro , jeho absolutní Galoisova grupa je generována prvky a má explicitní popis z hlediska generátorů a vztahů. $K$ $Q_p$ $p \neq 2$ $[K:Q_p]+3$
Absolutní Galoisova grupa je definována pro největší čistě reálné podpole oboru algebraických čísel.

Otevřené problémy

Explicitní popis absolutní Galoisovy skupiny racionálních čísel není znám . V tomto případě z Belyiho teorému vyplývá, že absolutní Galoisova grupa účinně působí na Grothendieckovy dessins d'enfants , což umožňuje vizualizovat Galoisovu teorii algebraických číselných polí .
Shafarevičův dohad říká, že absolutní Galoisova grupa maximálního abelovského rozšíření racionálních čísel je volná konečná grupa.

Poznámky

↑ Adrien Douady. Determination d'un groupe de Galois (francouzsky) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. - 1964. - Sv. 258. - S. 5305-5308. , MR : 0162796
↑ David Harbater. Základní grupy a problémy vkládání do charakteristiky p (anglicky) // American Mathematical Society . - 1995. - Sv. 186.—S. 353–369.
↑ Dan Haran, Moshe Jarden. Absolutní Galoisova skupina C ( x ) // Pacific Journal of Mathematics: journal. - 2000. - Sv. 196 , č. 2 . - S. 445-459. doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445 .
↑ Florian Pop. Étale Galois pokrývá afinní hladké křivky. Geometrický případ Shafarevičovy domněnky. O Abhyankarově domněnce (anglicky) // Inventiones Mathematicae . - 1995. - Sv. 120, č. 3 . - S. 555-578. - doi : 10.1007/bf01241142 .