Algebra Clifford

Cliffordova algebra je zvláštní druh asociativní algebry jednoty nad nějakým komutativním kruhem ( je vektorovým prostorem nebo obecněji volným modulem) s nějakou operací ["násobením"], která se shoduje s bilineární formou uvedenou na . $Cl(E, Q(,))$ $K$ $E$ $K$ $E$ $Q$

Smyslem konstrukce je asociativní rozšíření prostoru E ⊕ K a operace násobení na něm tak, že druhá mocnina tohoto prostoru se shoduje s danou kvadratickou formou Q. Nejprve uvažoval Clifford . Cliffordovy algebry zobecňují komplexní čísla , parakomplexní čísla a duální čísla , také bikomplexní čísla , čtveřice atd.: jejich rodina vyčerpávajícím způsobem pokrývá všechna asociativní hyperkomplexní čísla .

Formální definice

Dovolit být komutativní prsten s identitou, být volný K - modul a být kvadratická forma na . Cliffordova algebra kvadratické formy (nebo dvojice ) je kvocientová algebra tenzorové algebry , -modul oboustranného ideálu , generovaného prvky formy $K$ $E$ $Q$ $E$ $Q$ $(E, Q)$ $Cl(E, Q)$ $T(E)$ $K$ $E$

x\otimes xQ(x)1,~~x\in E

Prvky (vektory) z , které jsou tenzory úrovně 1, jsou také považovány za prvky , a odpovídající zobrazení je monomorfismus (vložení) modulů: $E$ $Cl(Q)$

E \hookrightarrow Cl(Q)

Komentář

Jestliže tam jsou pole reálných nebo komplexních čísel, pak - lineární prostor a skalární součin vlastní takovému prostoru se používá jako kvalita . $K$ $E$ $Q(,)$

Příklady skutečných a komplexních algeber

Vlastnosti

Hlavní identita Cliffordových algeber: pokud charakteristika kruhu K není rovna dvěma , pak pro jakýkoli : $x, y \v E$ $xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle$

kde je symetrická bilineární forma odpovídající kvadratické formě Q :

\left\langle ,\right\rangle

\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)

výraz se nazývá

antikomutátor a .

[x,y]:=xy+yx

X

y

Pro nulovou kvadratickou formu je algebra stejná jako vnější algebra -modulu . $Q$ $Cl(E,Q)$ $\Lambda(E)$ $K$ $E$
Nechť je nějaký základ -module , pak prvky formuláře $e_{1},e_{2},\tečky ,e_{n}$ $K$ $E$ $1, e_{j_1}e_{j_2}\tečky e_{j_k}\ (j_1<\tečky<j_k,$ pro všechna k od 1 do n ) nebo jinak: kde tvoří základ -modulu . Jedná se zejména o volný modul hodnosti (dimenze) $e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\tečky e_n^{\sigma_n}$ $\sigma_j = 0,1$ $K$ $Cl(Q)$ $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$
- Pokud jsou navíc ortogonální vzhledem k , pak to může být specifikováno jako -algebra s generátory a definujícími vztahy , ( ) a . $e_{1},e_{2},\tečky ,e_{n}$ $Q$ $Cl(Q)$ $K$ $1,e_1,e_2,\tečky,e_n$ $e_i e_j + e_j e_i = 0$ $i\ne=j$ $e_i^2= Q(e_i,e_i)$
Cliffordova algebra má Z 2 - stupňování . Konkrétně submodul v , generovaný produkty sudého počtu prvků z , tvoří subalgebru v , která je označena . $Cl(Q)$ $E$ $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
Nechť je pole a kvadratická forma je nedegenerovaná $K$ $Q(,)$
- pak i pro n je algebra centrální jednoduchá algebra nad dimenzí , subalgebra je oddělitelná a její střed má dimenzi 2 nad . $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$ $Cl^+(Q)$ $K$
Pokud je algebraicky uzavřeno , pak $K$
- neboť i n je
maticová algebra, a je součin dvou maticových algeber, $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
pro liché n je naopak matice a je součinem dvou maticových algeber. $Cl^+(Q)$ $Cl(Q)$

Maticové reprezentace Cliffordových algeber

Diracova rovnice je důležitým příkladem aplikace reprezentací CL_3,1(ℝ) , které jako první studoval Ettore Majorana .

Literatura

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. spinová geometrie. — 1989.
Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 ( archivováno 4. dubna 2016 na Wayback Machine )
Ian R. Porteous "Cliffordovy algebry a klasické grupy" Cambridge, CUP , 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
R. Jagannathan (2010), „ O zobecněných Cliffordových algebrách a jejich fyzikálních aplikacích Archivováno 29. listopadu 2014 na Wayback Machine “