Multivektor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. prosince 2020; kontroly vyžadují 10 úprav .

Multivektor je prvek externí algebry , který je součtem polyvektorů (vektory, bivektory, trivektory atd.).

Jakýkoli polyvektor (k-vektor) může být reprezentován jako součet k-listů (jednoduchých k-vektorů), kde každý k-blade může být zase rozložen na vnější součin k vektorů.

2-lopatka může být geometricky reprezentována jako orientovaná rovina v prostoru libovolného rozměru a může být použita k reprezentaci rotace v něm.

n-vektor v n-rozměrném prostoru se nazývá pseudoskalární , zatímco (n-1)-vektor se nazývá pseudovektor . Takže pseudovektor trojrozměrného prostoru je jakýkoli bivektor.

Součet 1-vektoru a skaláru je také známý jako paravektor .

k-vektor je duální vůči k-formě .

Vlastnosti:

Libovolný lineárně nezávislý systém vektorů z definuje nenulový k-vektor; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\tečky ,a_{k))$ $PROTI$
Lineárně nezávislé systémy a generují stejný podprostor v tehdy a jen tehdy , když ; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\tečky ,a_{k))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\tečky ,b_{k))$ $PROTI$
${\displaystyle a_{1}\wedge a_{2}\wedge \tečky \wedge a_{k}=\lambda b_{1}\wedge b_{2}\wedge \dots \wedge b_{k))$
Pro jakýkoli nenulový polyvektor je jeho anihilátorem podprostor dimenze a polyvektor je rozložitelný tehdy a pouze tehdy , když ; $t\in \bigwedge \nolimits ^{k}V$ $\operatorname {Ann}t=\{v\in V|t\wedge v=0\}$ $\leq k$ $t$ $\dim \operatorname {Ann} t=k$
Rozložitelné k-vektory n - rozměrného prostoru V tvoří kuželovou algebraickou varietu do odpovídající projektivní algebraické variety je Grassmannova varieta ; $\Lambda ^{k}(V)$
Jakýkoli nenulový n -vektor nebo ( n − 1) -vektor v n - rozměrném prostoru je rozložitelný;
Bivektor je rozložitelný právě tehdy, když ; $t$ $t\klín t=0$
Pokud opravíme nenulový -vektor , vznikne přirozený izomorfismus: $n$ $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)$ $\pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$ takové, že pro každého . $t\wedge u=\langle \pi (t),u\rangle \omega$ $u\in \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$

Poznámky

Literatura

Kostrikin A.P., Manin Yu.I. Lineární algebra a geometrie (nepřístupný odkaz) , - Nauka, Moskva, 1980.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.