Kontravariantní vektor
Kontravariantní vektor se obvykle nazývá množina (sloupec) vektorových souřadnic v obvyklém základu (tedy jeho kontravariantní souřadnice ) nebo 1-formy ve stejném základu, což mu však není přirozené. Kontravariantní vektor v diferenciální geometrii a příbuzných fyzikálních konceptech je prostorový vektor tečny .
- Tato definice je v souladu s definicí kontravariančního tenzoru valence 1 (viz Tensor ), což je kontravariantní vektor (tečný prostorový vektor) jako speciální případ tenzoru.
Základní informace
Je obvyklé zapisovat kontravariantní souřadnice s horním indexem a také - v maticovém zápisu - jako sloupcový vektor (na rozdíl od zápisu s dolním indexem a řádkovým vektorem pro kovariantní souřadnice a tedy „ kovariantní vektor “).
Ukázkový kontravariantní vektor je vektor posunutí zapsaný jako sada přírůstků souřadnic: .
Jakákoli množina čísel, která se transformuje při jakékoli změně souřadnic stejným způsobem (nová množina je vyjádřena pomocí stejné matice v podmínkách staré), představuje kontravariantní vektor.
Je třeba poznamenat, že pokud je definován nedegenerovaný metrický tenzor , pak "kovariantní vektor" a "kontravariantní vektor" jsou jednoduše různé reprezentace (záznamy ve formě sady čísel) stejného geometrického objektu - běžného vektoru nebo 1-forma . To znamená, že stejný vektor lze zapsat jako kovariantní (to je soubor kovariančních souřadnic) a kontravariantní (to znamená soubor kontravariančních souřadnic). Totéž lze říci o 1-formě. Transformace z jedné reprezentace na druhou se provádí jednoduše konvolucí s metrikou :
(zde a níže máme na mysli sčítání přes opakovaný index podle Einsteinova pravidla).
Obsahově se vektory a 1-formy rozlišují pouze podle toho, které ze zobrazení je pro ně přirozené. Takže pro 1-formy je přirozené expandovat na duální bázi, jako například pro gradient, protože jejich přirozená konvoluce (skalární součin) s běžným vektorem (například posunutím) se provádí bez účasti metriky, jednoduše sečtením vynásobených složek. Pro běžné vektory, jako je dx i , je přirozené expandovat v hlavní bázi, protože se sbíhají s jinými běžnými vektory, jako je vektor posunutí v prostorových souřadnicích, za účasti metriky. Například skalární - se získá (jako totální diferenciál ) skládáním bez účasti metriky kovariantního vektoru , což je přirozená reprezentace 1-formy gradientu působícího na skalární pole, s kontravariančním vektorem , což je přirozená reprezentace obvyklého vektoru posunutí v souřadnicích; zatímco je konvolvován sám se sebou pomocí metriky: , což je v plném souladu s faktem, že je kontravariantní.
Pokud mluvíme o běžném fyzickém prostoru, jednoduchým znakem kovariance-kontravariance vektoru je to, jak je jeho přirozená reprezentace konvolvována se sadou souřadnic prostorového posunutí , což je příklad kontravariančního vektoru. Ty, které konvolvují prostým sčítáním, bez účasti metriky, jsou kovariantní vektory (1-forma), zatímco ty s účastí metriky jsou vektory kontravariantní. Jsou-li prostor a souřadnice tak abstraktní a pozoruhodné, že neexistuje žádný způsob, jak rozlišit mezi hlavní a duální bází, kromě svévolné podmíněné volby, pak smysluplné rozlišení mezi kovariantními a kontravariančními vektory zmizí nebo se stane také čistě podmíněným.
O něco výše se dotkneme otázky, zda je pro něj přirozená právě reprezentace, ve které objekt vidíme. Přirozená pro běžný vektor je kontravariantní reprezentace, zatímco pro 1-formu je kovariantní.
- Poznámka: Všechny tyto termíny se běžně používají v algebře tenzorů; rozumí se, že na prostoru, ve kterém existují popisované objekty (nebo na varietě, v jejímž tečném prostoru existují), existuje metrika (alespoň pseudoriemannovská).
Literatura
- Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .