Roh

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. července 2022; kontroly vyžadují 15 úprav .

Roh
∠
Dimenze	bezrozměrný
Jednotky
SI	radián
Jiné jednotky	stupeň, minuta, sekunda , stupeň , tisícina

Úhel je geometrický útvar tvořený dvěma paprsky ( stranami úhlu) vycházejícími z jednoho bodu (který se nazývá vrchol úhlu) [1] .

Obecné informace

Rovina obsahující obě strany úhlu je rozdělena úhlem na dvě oblasti. Každá z těchto oblastí v kombinaci se stranami rohu se nazývá plochý roh (nebo jen roh, pokud to nezpůsobuje zmatek). Jeden z plochých rohů (obvykle menší ze dvou) se někdy běžně označuje jako vnitřní a druhý jako vnější . Body rovinného úhlu, které nepatří k jeho stranám, tvoří vnitřní plochu rovinného úhlu .

V jiné, ekvivalentní verzi definice plochého úhlu se nazývá část roviny, která je sjednocením všech paprsků vycházejících z daného bodu ( vrcholu úhlu) a protínajících nějakou přímku ležící v této rovině (která se nazývá přímka, která svírá daný plochý úhel).

Často se pro stručnost úhel nazývá také úhlová míra , tedy číslo, které určuje velikost úhlu.

Kromě nejběžnějších plochých úhlů lze obecnější objekty považovat za úhly - obrazce vytvořené protínajícími se oblouky, polorovinami a dalšími obrazci jak v euklidovské, tak v jiných typech geometrie v metrických prostorech různých rozměrů .

Označení rohů

Existuje obecně přijímaný symbol pro označení úhlu: navržený v roce 1634 francouzským matematikem Pierrem Erigonem . Znak je v Unicode ( U+2220 ∠ úhel ). $\úhel ,$

V matematických výrazech jsou úhly často označovány malými řeckými písmeny: α, β, γ, θ, φ atd. Zpravidla se tato označení používají také na výkres, aby se odstranila nejednoznačnost při výběru vnitřní oblasti \u200b rohu. Aby nedošlo k záměně s pi , symbol π se pro tento účel obecně nepoužívá. Písmena ω a Ω se často používají k označení prostorových úhlů (viz níže) .

Úhel je také často označován třemi symboly bodů, například v takovém zápisu - vrchol a a - body ležící na různých stranách úhlu. V souvislosti s volbou v matematice směru počítání úhlů proti směru hodinových ručiček je zvykem vyčíslovat body ležící po stranách v označení úhlu také proti směru hodinových ručiček. Tato konvence umožňuje jednoznačné rozlišení mezi dvěma plochými rohy se společnými stranami, ale různými vnitřními oblastmi. V případech, kdy je výběr vnitřní plochy plochého rohu z kontextu jasný nebo naznačený jiným způsobem, může být tato konvence porušena. Viz variace a zobecnění . $\úhel ABC.$ $B$ $A$ $C$

Méně běžně se používá zápis přímek tvořících strany úhlu. Například, - zde se předpokládá, že máme na mysli vnitřní úhel trojúhelníku , α , který by měl být označen . $\úhel(bc)$ $\úhel BAC$ $\uhel(cb)$

Pro obrázek vpravo tedy položky γ , a znamenají stejný úhel. $\úhel ACB$ $\úhel(ba)$

Někdy se k označení rohů používají malá latinská písmena ( a, b, c, ...) a čísla.

Na výkresech jsou rohy označeny malými jednoduchými, dvojitými nebo trojitými třmeny probíhajícími podél vnitřní strany rohu se středem ve vrcholu rohu. Rovnost úhlů může být označena stejnou násobností oblouků nebo stejným počtem příčných tahů na oblouku. Je-li potřeba naznačit směr odečítání úhlu, je označen šipkou na přídi. Pravé úhly se neoznačují oblouky, ale dvěma spojenými stejnými úsečkami uspořádanými tak, že spolu se stranami tvoří malý čtverec, jehož jeden z vrcholů se shoduje s vrcholem úhlu.

Měření úhlu

Měření úhlu , které umožňuje porovnávání rovinných úhlů, lze zavést následovně. Dva rovinné úhly se nazývají stejné (nebo shodné ), pokud je lze kombinovat tak, že jejich vrcholy a obě strany se shodují. Z libovolného paprsku na rovině v daném směru můžete vyčlenit jeden úhel rovný danému úhlu. Pokud lze jeden roh umístit zcela do druhého rohu tak, že vrchol a jedna ze stran těchto rohů se shodují, pak je první roh menší než druhý. Nazvěme sousední dva úhly umístěné tak, že strana jednoho se shoduje se stranou druhého (a tudíž se vrcholy shodují), ale jejich vnitřní oblasti se neprotínají. Úhel složený z neshodných stran dvou sousedních úhlů se nazývá složenina těchto úhlů. Každému úhlu lze přiřadit číslo (úhlovou míru) takovým způsobem, že:

stejné úhly odpovídají stejné úhlové míře;
menší úhel odpovídá menší úhlové míře;
v úhlu, jehož strany se shodují (nulový úhel), je úhlová míra nulová (totéž platí pro úhel mezi rovnoběžnými čarami);
každý nenulový úhel má určitou úhlovou míru větší než nula;
(additivita) úhlová míra úhlu se rovná součtu úhlových mír úhlů, na které je rozdělen libovolným paprskem procházejícím mezi jeho stranami.

V některých systémech zápisu, pokud je potřeba rozlišovat mezi úhlem a jeho mírou, se pro úhel (geometrický útvar) používá zápis a pro hodnotu míry tohoto úhlu se používá zápis $\angle ABC ,$ $\widehat{ABC}.$

Úhel se měří:

Nejběžnější mírou stupně je stupeň, minuta, sekunda , ve které se 1/180 rozšířeného úhlu bere jako 1° (viz níže ), jedna minuta a jedna sekunda . Míra stupňů se používá v elementární geometrii (měření úhlů na výkresech úhloměrem ), v geodézii na mapě a na zemi (k měření úhlů na zemi se používá velmi přesné zařízení - kombi / teodolit). $1'=1^{\circ }/60$ $1''=1'/60$

Radiánová míra úhlu je poměr délky s smršťovacího oblouku k jeho poloměru r . Radiánová míra se používá v matematické analýze (například jako numerický argument goniometrických funkcí a při určování numerických (tabulkových a grafických ) hodnot inverzních obloukových funkcí ), v planimetrii a mechanice (při uvažování rotace kolem bod nebo osa a další procesy popsané pomocí goniometrických funkcí, vibrací, vln atd.).

Úhly lze také měřit v otáčkách . Jedna otáčka je plný úhel (tj. úhel 360 stupňů). O libovolném úhlu se říká, že je x otáček, jestliže x je poměr délky s oblouku , který svírá úhel k délce L kružnice obsahující tento oblouk.

Míra krupobití pro měření úhlů byla navržena pro použití historicky, v současnosti se téměř nepoužívá, protože nenahradila běžnější sexagezimální stupeň .

Měření úhlů ve stupních sahá až do starověkého Babylonu , kde se používala šestinásobná číselná soustava , jejíž stopy se u nás zachovaly v dělení času a úhlů. Jeden stupeň (1/360 plného úhlu) je rozdělen na 60 obloukových minut (nebo obloukových minut), minuta je zase rozdělena na 60 obloukových sekund (obloukových sekund). Menší úhly jsou měřeny v subsekundových jednotkách, tvořených pomocí SI předpon (milisekunda oblouku, mikrosekunda oblouku atd.).

1 otáčka = 2 π radiány = 360° = 400 stupňů .

V soustavě SI je základní jednotkou měření úhlu radián .

V námořní terminologii se úhly měří v bodech . 1 kosočtverec se rovná 1 ⁄ 32 celého kruhu (360 stupňů) kompasu, tj. 11,25 stupně nebo 11°15′.

V astronomii se úhel rektascenze a hodinový úhel v rovníkovém souřadnicovém systému měří v hodinách, minutách a sekundách (respektive 1 ⁄ 24 , 1 ⁄ 1440 a 1 ⁄ 86 400 celého kruhu); je to způsobeno úhlovou rychlostí osové rotace Země, která je přibližně 1 otáčka za 24 hodin [2] . Za jednu hodinu (minutu, sekundu) času se tedy nebeská koule "otočí" asi o 1 hodinu (minutu, sekundu) úhlově. Zbývající úhlové veličiny se v astronomii obvykle vyjadřují ve stupních, minutách a úhlových sekundách. Jedna sekunda (minuta) rektascenze se rovná 15 sekundám (minutám) oblouku.

V dělostřelectvu a obchodu se zbraněmi se používají také tisíciny a goniometrové dělení .

V některých kontextech, jako je identifikace bodu v polárních souřadnicích nebo popis orientace objektu ve dvou rozměrech vzhledem k jeho základní orientaci, jsou úhly, které se liší o celý počet celých otáček, efektivně ekvivalentní. Například v takových případech lze úhly 15° a 360015° (= 15° + 360°×1000) považovat za ekvivalentní . V jiných kontextech, jako je identifikace bodu na spirální křivce nebo popis kumulativní rotace objektu ve dvou rozměrech kolem jeho počáteční orientace, nejsou úhly, které se liší o nenulový celý počet úplných otáček, ekvivalentní.

Některé ploché rohy mají zvláštní jména. Kromě výše uvedených jednotek měření (radián, loxodrom, stupeň atd.) sem patří:

kvadrant (pravý úhel, 1 ⁄ 4 kružnice);
sextant ( 1 ⁄ 6 kruhů);
oktant ( 1 ⁄ 8 kružnice; navíc ve stereometrii je oktantem trojstěnný úhel tvořený třemi navzájem kolmými rovinami),

Někdy se úhly (například úhel sklonu povrchu) neměří skutečnou úhlovou mírou, ale její tečnou (nebo sinusem ), tedy poměrem stoupání podél nakloněné roviny k průmětu na vodorovnou rovinu. cesta po ní šla (nebo k této cestě samotné). Pro obvyklý případ malých úhlů sklonu je tento poměr přibližně roven úhlu vyjádřenému v radiánech ( tan α ≈ sin α ≈ α , pro α < 0,1 je rozdíl mezi těmito hodnotami menší než 1 %). V tomto případě je poměr obvykle vyjádřen v procentech nebo ppm . Například sklon vozovky 10 % znamená, že na každých 100 metrů jízdy (promítnuté do vodorovné polohy) se vozovka zvedne o 10 m; úhel k horizontu je arktan (10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 radiánu. Tato metoda měření úhlů není přísně vzato úhlovou mírou, protože nemá vlastnost aditivity (viz výše ). Viz také aproximace pro malé úhly .

Směr počítání úhlů

V matematice a fyzice je obvykle kladný směr počítání úhlů proti směru hodinových ručiček . Obvykle se úhel začíná měřit od paprsku , jehož počátek se shoduje se středem souřadného systému (SC) a směr se shoduje s kladným směrem osy úsečky (v polárním SC, válcovém SC, kulovém SC , SC na trigonometrickém kruhu a další).

V geografii a geodézii , směr “na sever ” je vzat jako původ úhlů v azimutu ; úhel se počítá ve směru hodinových ručiček . Směr „na východ “ tedy odpovídá úhlu azimutu 90 °, „na jih “ - 180 °, „na západ “ - 270 °. U dělostřelectva je směr polární osy " jih " a odpovídající polární úhel se také nazývá azimut (směr " západ " odpovídá azimutovému úhlu 90°).

Typy úhlů

konvexní úhel
Pravý úhel
plný úhel
Ostrý roh
Tupý úhel
Úhel otočení

Úhly jsou pojmenovány podle jejich velikosti.

Nulový úhel (0°); strany nulového úhlu se shodují, jeho vnitřkem je prázdná množina .
Ostrý roh (od 0° do 90°, bez mezních hodnot).
Pravý úhel (90°); strany pravého úhlu jsou na sebe kolmé.
Tupý úhel (od 90° do 180°, bez mezních hodnot).
Šikmý úhel (libovolný jiný než 0°, 90°, 180° nebo 270°).
Rozšířený úhel (180°); strany přímého úhlu jsou dvě polopřímky jedné přímky, to znamená dva paprsky směřující v opačných směrech.
Nekonvexní úhel (od 0° do 180° včetně).
Konvexní úhel (od 180° do 360°, bez mezních hodnot).
Plný úhel (360°) - viz otáčka (jednotka) .

Bisector

Osa (z latinského bi- „double“ a sectio „cuting“) úhlu je paprsek vycházející z vrcholu úhlu a procházející jeho vnitřní oblastí, která s jeho stranami svírá dva stejné úhly. Vzdálenost libovolného bodu úsečky od stran úhlu je stejná (a naopak libovolný bod vnitřní oblasti úhlu, stejně vzdálený od stran úhlu, leží na jeho ose).

Ploché rohy

Termín plochý úhel se používá jako synonymum pro termín úhel definovaný na začátku článku, aby se odlišil od konceptu prostorového úhlu používaného ve stereometrii (včetně dvoustěnného, trojstěnného nebo mnohostěnného úhlu).

Vlastnosti plochých úhlů jsou často chápány jako poměry úhlů (sousední, doplňkový, přilehlý, svislý - viz níže) v případě, kdy úhly leží ve stejné rovině (u planimetrie je to implikováno samo o sobě, ale u tělesa geometrie, je nutné upřesnění, jinak k níže uvedeným poměrům nedojde a samotné úhly, pokud neleží ve stejné rovině, se neoznačují jako sousední nebo sousední (vertikální leží vždy automaticky ve stejné rovině).

Vertikální a sousední úhly

svislé rohy. Dva páry úhlů (A a B, C a D) jsou párově stejné
přilehlé rohy. Hodnota úhlu tvořeného jejich vnějšími (ne společnými) stranami je rovna součtu jejich hodnot (α + β)
Doplňkové úhly a a b (vzájemně se doplňují až do pravého úhlu). Oba komplementární úhly jsou ostré
Sousední úhly – na tomto obrázku ostrý (α) a tupý (β) – svírají přímý úhel (α + β)
Konjugované úhly - tvoří plný úhel (360 °); na tomto obrázku konkrétní příklad: 150° + 210° = 360°

Vertikální úhly - 2 úhly na rovině, které se vytvoří, když se protnou 2 nerovnoběžné přímky. Tyto 2 rohy nemají společné strany (to znamená, že strany jednoho rohu jsou prodloužením stran druhého). Jejich hlavní vlastnost: vertikální úhly jsou stejné .
Integrální úhly jsou 2 úhly v 1 rovině, které sdílejí 1 vrchol a 1 ze 2 stran, ale vnitřně se neprotínají. Hodnota úhlu tvořeného 2 vnějšími (ne společnými ) stranami sevřených úhlů je rovna součtu hodnot samotných sevřených úhlů (na obrázku α + β).

Speciální případy sousedních úhlů.

Pokud jsou uzavřené úhly stejné, pak je jejich společná strana osa .

Komplementární úhly jsou dva úhly se společným vrcholem v rovině, přičemž jedna ze stran je společná a zbývající strany svírají pravý úhel. Součet komplementárních úhlů je 90°. Sinus , tangens a sekans úhlu se rovnají kosinus , kotangens a kosekans doplňkového úhlu.

Sousední úhly - 2 úhly s 1 společným vrcholem v rovině, z nichž 1 ze 2 stran je společná a zbývající 2 strany leží na 1 přímce (neshodují se). Součet 2 sousedních úhlů je 180°. To znamená, že 2 sousední úhly v rovině jsou 2 sousední úhly , což dává dohromady 180°.

Konjugované úhly - 2 úhly v rovině, které mají společný 1 vrchol a 2 strany, podél kterých k sobě přiléhají (ohraničují), ale liší se ve vnitřních oblastech; spojení takových 2 úhlů je celá rovina a jako zahrnuté úhly tvoří celkový úhel; součet jejich velikostí je 360°.

Rovinné rohy s (anti)paralelními stranami

Úhly, jejichž strany jsou v párech rovnoběžné a kosměrné (nebo v párech rovnoběžné a opačně orientované), jsou si navzájem rovné. Dvojice úhlů, ve kterých je jedna dvojice stran rovnoběžná a nasměrovaná k sobě, a druhá dvojice stran rovnoběžná a opačně orientovaná, tvoří přímý úhel, pak 180 ° (viz obrázek) - protože mohou být otočen do sousedních úhlů paralelním posunem („slepením“ kodirectních stran).

Úhly se vzájemně kolmými stranami

Dva úhly se vzájemně kolmými stranami jsou stejné, pokud jsou oba ostré nebo oba tupé.

Vnější roh trojúhelníku

Věta o vnějším úhlu trojúhelníku . Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu dvou zbývajících úhlů trojúhelníku, které nesousedí s vnějším úhlem.

Úhly mnohoúhelníku

Součet vnitřních úhlů α i libovolného n -úhelníku bez vlastních průniků je $\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} .$

Tak,

součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°,
čtyřúhelník - 360°,
pětiúhelník - 540 ° a tak dále.

Důsledek

Vnějším úhlem β i (pozor, není to obvyklá definice vnějšího úhlu) označme úhel, který doplňuje vnitřní úhel α i na plný úhel: β i = 360° − α i .

Součet vnějších úhlů libovolného n -úhelníku bez vlastních průniků je $\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} .$

Středový a vepsaný úhel

Jakýkoli konkrétní oblouk kruhu může být spojen s jedním středem a nekonečným počtem vepsaných úhlů.

Centrální roh
Vepsaný úhel

Středový úhel je úhel s vrcholem ve středu kruhu . Hodnota středového úhlu se rovná míře stupně oblouku uzavřeného mezi stranami tohoto úhlu.
Vepsaný úhel je úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany kružnici protínají. Hodnota vepsaného úhlu se rovná polovině míry oblouku ohraničeného jeho stranami. Všechny vepsané úhly překrývající stejný oblouk jsou stejné.

Hodnota vepsaného úhlu se rovná polovině hodnoty středového úhlu , založeného na základně kruhu na stejném oblouku (viz obr.).

Variace a zobecnění

Hodnota orientovaného úhlu mezi přímkami a (zápis: ) je hodnota úhlu, o který musí být přímka otočena proti směru hodinových ručiček , aby byla rovnoběžná s přímkou . V tomto případě úhly, které se liší o n 180 ° ( n je celé číslo) jsou považovány za rovné. Orientovaný úhel mezi čarami a není roven orientovanému úhlu mezi čarami a (jejich součet je 180° nebo podle konvence totéž 0°). Orientované úhly mají tyto vlastnosti: a) b) c) body , které neleží na stejné přímce, patří do stejné kružnice právě tehdy, když $AB$ $CD$ $\angle(AB,CD)$ $AB$ $CD.$ $CD$ $AB$ $AB$ $CD$ $\uhel(AB,BC)=-\uhel(BC,AB);$ $\uhel(AB,CD)+\uhel(CD,EF)=\uhel(AB,EF);$ $ABECEDA$ $\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC).$

Řada praktických problémů vede k účelnosti uvažovat úhel jako obrazec získaný rotací pevného paprsku kolem bodu O (ze kterého paprsek vychází) do dané polohy. V tomto případě je úhel mírou rotace paprsku. Taková definice nám umožňuje zobecnit pojem úhlu rozšířením jeho definičního oboru na celou číselnou řadu : zavádějí se úhly větší než 360°, v závislosti na směru rotace se rozlišují kladné a záporné úhly . V trigonometrii taková úvaha umožňuje studovat trigonometrické funkce pro jakékoli hodnoty argumentu. $(-\infty ; +\infty)$

Představa o úhlu je zobecněna na prostorový úhel uvažovaný ve stereometrii .

Prostorový úhel

Zobecnění rovinného úhlu na stereometrii je prostorový úhel - část prostoru, která je spojením všech paprsků vycházejících z daného bodu ( vrcholu úhlu) a protínajících nějakou plochu (která se nazývá plocha, která překrývá daný prostorový úhel).

Prostorové úhly se měří ve steradiánech (jedna ze základních jednotek SI), stejně jako v mimosystémových jednotkách - v částech plné koule (tj. plný prostorový úhel 4 π steradiány), ve stupních čtverečních, minutách čtverečních. a čtverečních sekund.

Prostorové úhly jsou zejména následující geometrická tělesa:

dihedrální úhel - část prostoru ohraničená dvěma protínajícími se rovinami;
trojboký úhel - část prostoru ohraničená třemi protínajícími se rovinami;
polyedrický úhel - část prostoru ohraničená několika rovinami protínajícími se v jednom bodě.

Dihedrální úhel lze charakterizovat jak lineárním úhlem (úhlem mezi rovinami, které jej tvoří), tak prostorovým úhlem ( jako vrchol lze zvolit jakýkoli bod na jeho okraji , přímý průsečík jeho ploch). Jestliže lineární úhel dihedrálního úhlu (v radiánech) je φ , pak jeho prostorový úhel (ve steradiánech) je 2 φ .

Úhel mezi křivkami

Jak v planimetrii, tak v prostorové geometrii, stejně jako v řadě dalších geometrií, je možné určit úhel mezi hladkými křivkami v průsečíku: podle definice je jeho hodnota rovna úhlu mezi tečnami ke křivkám v bodě průsečíku. průsečík.

Úhel a bodový součin

Pojem úhlu lze definovat pro lineární prostory libovolné povahy (a libovolné, včetně nekonečné dimenze), na které je axiomaticky zaveden kladně určitý skalární součin mezi dvěma prvky prostoru a skalární součin nám také umožňuje definovat tzv. nazývaná norma (délka) prvku jako druhá odmocnina prvku součinu na sebe Z axiomů skalárního součinu vyplývá pro skalární součin Cauchyho-Bunyakovského (Cauchy-Schwartzova) nerovnost: z čehož plyne, že hodnota nabývá hodnot od -1 do 1 a extrémních hodnot je dosaženo tehdy a pouze tehdy , když jsou prvky vzájemně proporcionální ( kolineární ) (geometricky řečeno, jejich směry jsou stejné nebo opačné). To umožňuje interpretaci vztahu jako kosinus úhlu mezi prvky a Prvky jsou zejména ortogonální , pokud je součin bodu (nebo kosinus úhlu) nulový. $(x,y)$ $X$ $y$ $||x||=\sqrt{(x,x)}.$ $|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $X$ $y$

Zejména lze zavést koncept úhlu mezi funkcemi spojitými na určitém intervalu , pokud zavedeme standardní skalární součin , pak jsou normy funkcí definovány jako Pak je kosinus úhlu definován standardním způsobem jako poměr skalární součin funkcí podle jejich norem. Funkce mohou být také nazývány ortogonálními , pokud je jejich bodový součin (integrál jejich součinu) nulový. $[a,b]$ $(f,g)=\int^b_a f(x) g(x) dx,$ $||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx.$

V Riemannově geometrii můžete podobně určit úhel mezi tečnými vektory pomocí metrického tenzoru . Skalární součin tečných vektorů a v tensorové notaci bude mít tvar: normy vektorů - a proto bude kosinus úhlu být určeno standardním vzorcem pro poměr indikovaného skalárního součinu k normám vektorů: $g_{ij}.$ $u$ $proti$ $(u,v)=g_{ij}u^iv^j,$ $||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}$ $||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}.$ $\cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij }u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }.$

Úhel v metrickém prostoru

Existuje také řada prací, ve kterých je představen pojem úhlu mezi prvky metrického prostoru.

Nechť je metrický prostor . Buďme dále prvky tohoto prostoru. $(X,\rho)$ $x, y, z$

K. Menger zavedl pojem úhlu mezi vrcholy a s vrcholem v bodě $y$ $z$ $X$ jako nezáporné číslo , které splňuje tři axiomy: $\widehat{yxz}$

$\widehat{yxz}=\widehat{zxy}$
$\widehat{yxz}=0$ tehdy a jen tehdy $\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|$
$\widehat{yxz}=\pi$ tehdy a jen tehdy $\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)$

V roce 1932 Wilson považoval následující výraz za úhel:

$\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y )\rho(x,z)}$

Je snadné vidět, že zavedený výraz má vždy smysl a splňuje Mengerovy tři axiomy.

Wilsonův úhel má navíc tu vlastnost, že v euklidovském prostoru je ekvivalentní úhlu mezi prvky a ve smyslu euklidovského prostoru. $yx$ $zx$

Měření úhlů

Jedním z nejběžnějších nástrojů pro konstrukci a měření úhlů je úhloměr (stejně jako pravítko - viz níže); zpravidla se používá ke sestrojení úhlu o určité velikosti. Pro více či méně přesné měření úhlů bylo vyvinuto mnoho nástrojů:

goniometr ;
goniometr - přístroj pro laboratorní měření úhlů;
kipregel je geodetický goniometrický nástroj.

Úhlová vzdálenost (nebo jednoduše úhel) mezi dvěma objekty pro pozorovatele je mírou úhlu, na jehož vrcholu se pozorovatel nachází a objekty leží po stranách. Ruka může být použita k hrubému odhadu úhlů mezi dvěma vzdálenými objekty. Na délku paže odpovídá úhlová vzdálenost 1 stupeň (1°) šířce malíčku (viz také níže; úhlová šířka prostředníku na délku paže je asi 2°), úhel 10 stupňů k šířka zaťaté pěsti umístěné vodorovně (nebo průměr dlaně), úhel 20 stupňů (nebo asi 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - vzdálenost mezi špičkami rozvedeného palce a ukazováčku ( rozpětí ) a úhlovou vzdálenost od konce malíčku ke konci palce je přibližně čtvrtina pravého úhlu . Jedná se o průměrné údaje. Doporučuje se je vylepšit pro vlastní ruku.

Různé metody a zařízení pro měření úhlů se vyznačují úhlovým rozlišením , tj. minimálním úhlem, který lze touto metodou měřit. Nejlepší úhlové rozlišení mají různé interferometrické metody, které v některých případech umožňují měřit úhly několika mikrosekund oblouku (~10 −11 radiánů).

Příklady praktických trigonometrických měření

Řešení problémů jednoduchým způsobem

Jak změřit úhel (například na mapě ) pomocí stran trojúhelníku (například bez technické / trigonometrické kalkulačky (a tabulek ) a bez PC ( MS Office Excel ) pro výpočet cos) a improvizovaně prostředky - pravítka s milimetrovými dílky?
Na stranách rohu odložte segmenty 60 mm a spojte konce přímkou. Délka této čáry v milimetrech udává přibližnou hodnotu úhlu ve stupních. Tímto způsobem lze měřit ostré úhly až do 60° s dostatečnou (přijatelnou) přesností. Pokud je úhel větší než 60°, změřte jeho doplněk na 90°, 180, 270° nebo 360°. Pro měření sčítání k 90 ° nebo 270 ° od vrcholu úhlu, kolmice k jedné ze stran je konstruována pomocí trojúhelníku (v rovnoramenném trojúhelníku - medián je osa , je to také výška ).

Jak změřit úhel pravítkem (pro vizuální orientaci na zemi ... a porovnat úhel na mapě - viz bod 1)?
Umístěte před sebe pravítko s milimetrovými dílky ve vzdálenosti 57 cm ( ne více než 60 cm ) od oka. V tomto případě bude dělení 1 cm odpovídat úhlu pohledu 1°. Platnost této metody si můžete snadno ověřit, pokud si zapamatujete, že oblouk středového úhlu 1° je přibližně 1/57 poloměru. Přesnost měření úhlů pravítkem (i prsty; viz dále) závisí na přesnosti polohy pravítka (nebo prstů) v požadované vzdálenosti od oka. To lze rychle natrénovat pomocí nitě, jejíž délka odpovídá vzdálenosti od oka k prstům natažené ruky.

Jak lze měřit a vykreslovat úhly na zemi bez použití goniometrů?
To lze nejjednodušeji provést porovnáním naměřeného úhlu s úhlem pravým. Můžete vyčlenit pravý úhel se směry rukou, z nichž jeden je natažený podél ramen a druhý se zdviženým palcem směřuje tak, aby byl prst pravé ruky před pravým okem (resp. prst levé ruky je před levým okem). Pravý úhel lze vizuálně rozdělit na dvě nebo tři stejné části, z nichž každá bude odpovídat 45 ° nebo 30 °.
Menší úhly lze odložit nebo měřit na zemi následujícím způsobem. Nejprve si pomocí pravítka změřte šířku tří zavřených prstů ruky: index, prostřední a prsten. Pokud ho máte rovných 6 cm, pak s nataženou paží 60 cm na nich bude pozorovací úhel přibližně 6°. V souladu s tím bude úhel pohledu pro každý z těchto tří prstů roven průměru 2°. Pokud vám vyjde šířka tří prstů např. 5 cm, tak aby byly pozorovací úhly stejné, musí být ruka prodloužena o 50 cm.

S nataženou paží je zorný úhel na palci a ukazováčku, roztažených od sebe v pravém úhlu, přibližně 15°. Jak to mohu zkontrolovat a ověřit?
Nejprve si všimněte mezníku na zemi a vyhraďte od něj úhel 90°. To lze provést pomocí techniky popsané v předchozím problému. Poté od mezníku oddělte šest úhlů po 15° pohledem na palec a ukazováček, roztažené od sebe v pravém úhlu. Poslední položení úhlu by mělo tvořit pravý úhel na zemi. Pokud to přesně nevyšlo, je třeba vklady opakovat, přičemž nataženou ruku držte trochu blíže nebo dále od oka (asi 60 cm). Tím určíte vzdálenost, kterou potřebujete k natažení paže, abyste vytvořili úhel 15° [3] .

Úhly lze také vypočítat (vypočítat) pomocí různých měřicích přístrojů a přípravků - pomocí trigonometrie na počítacím pravítku , inženýrského kalkulátoru (včetně kalkulátoru (Windows) ), pomocí tabulkových funkcí MS Office Excel : (1) cos , (2) pak arccos , a (3) převést, také pomocí funkcí , hodnotu radiánů na stupně (°) (pokud máte PC; existují i on-line výpočty úhlů trojúhelníku podél daných stran); Existují také speciální trigonometrické tabulky: sin, cos, stejně jako arccos, arcsin, ty lze mimochodem (včetně nejčastěji) převést na stupně.

V analytické geometrii je například úhel mezi čarami v souřadnicové rovině dán rovnicí:

\alpha ={\mathrm {arctg}}\,\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|

(viz Lineární funkce ; viz také #Úhel a bodový součin )

Poznámky

↑ Sidorov L. A. Angle // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M. : Sovětská encyklopedie, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
↑ Ve skutečnosti je skutečná perioda zemské revoluce vzhledem k stálicím asi o 4 minuty kratší než 24 hodin, viz hvězdný čas .
↑ Kuprin A.M. Na zemi i na mapě. - M. Nedra, 1982. - 112 s.

Viz také

Azimut (astronomie)
Azimut (geodézie)
Antiparalelní linky
úhel clony
Astronomická refrakce
Dihedrální úhel
Směrový úhel
izogona
Kolečko (roh)
Magnetický azimut
Polygon
Svah , svah
Ortogonalita
Rovnoběžky
Úhel natočení
Úhel polohy a úhlová vzdálenost ( polární souřadnice )
polygonometrie
Řešení trojúhelníků
Rumb
Syngonie
Skloňování (astronomie) a hodinový úhel ( nebeské souřadnicové systémy )
Pevný úhel
trojboký úhel
Triangulace
Trigonometrická paralaxa a úhel paralaxy
Trigonometrie
Úhlová rychlost (& CAV )
rohová frekvence
Úhlové rozlišení
Úhlové zrychlení
Sklon ( lineární )
Velikost úhlu
Eulerovy úhly
elevační úhel
Úhel pohledu
Úhel zorného pole objektivu
úhel skluzu
Kategorie: Rohy

Literatura

Barabanov O. O. Počátky historie pravého úhlu // Historie vědy a techniky. - 2015. - č. 1 . - S. 16-27 . '
Pogorelov A. V. Geometrie: učebnice pro ročníky 7-11 střední školy . - M . : Vzdělávání , 1992. - 383 s. — ISBN 9785090038546 .
Sidorov L. A. Angle // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M. : Sovětská encyklopedie, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467‒468. - 1248 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Dihedral angle // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1979. - T. 2: D - Koo. - Stb. 50. - 1104 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M. : MTsNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .
Goniometry / Úhel (plochý) // Velká sovětská encyklopedie (ve 30 svazcích) / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M . : "Sovětská encyklopedie", 1977. - T. XXVI. — S. 459‒460. — 624 s.
Weisstein, Eric W. Line Bisector (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Angle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Polygon (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
K. Menger. New Fundations of Euclidean Geometry // THE AMERICAN JOURNAL OF MATEMATICS 53 : journal. - 1931. - S. 721-745 .
W. A. Wilson. O úhlech v určitých metrických prostorech (anglicky) // Bulletin of American Mathematical Society 39. - 1932. - S. 580‒588 .