Generátor skupin

Generátor grup ( infinitezimální operátor ) je koncept používaný v Lieově teorii grup . Generátory grupy jsou prvky, které tvoří základ její Lie algebry , nebo v obecném případě základ Lieovy algebry obrazu grupy . $G$ $G$

Generátor je derivací operátorové (nebo maticové) reprezentace prvku skupiny vzhledem k nějakému reprezentačnímu parametru s nulovou hodnotou všech parametrů (bez ztráty obecnosti se předpokládá, že s nulovými hodnotami parametrů operátor reprezentující daný prvek je roven operátoru identity a odpovídá prvku identity skupiny). Reprezentace libovolného prvku skupiny dostatečně blízkého prvku identity je vyjádřena lineárním způsobem pomocí generátorů skupin (generátory jsou členy prvního řádu v rozšíření operátoru reprezentace v mocninné řadě z hlediska parametrů). Navíc za určitých slabých předpokladů lze jakýkoli prvek skupiny (její reprezentace) vyjádřit pomocí generátorů, protože členy druhého a vyššího řádu jsou opět vyjádřeny pomocí generátorů. Pro určitou třídu spojených Lieových grup lze libovolný prvek grupy reprezentovat pomocí exponenciálního zobrazení ve tvaru . Taková reprezentace platí zejména pro jednoduše spojené komutativní skupiny: vlastnosti skupiny v tomto případě zjevně vyplývají z identity pro komutující operátory a . Pokud generátory nekomutují, pak exponenciální zobrazení pro prvky skupiny obecně platí pouze lokálně v dostatečně malém okolí identity skupiny, i když je skupina propojena. $\exp(A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{n}\alpha _{n})$ $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ $A$ $B$

Definice pojmu

Nechť má libovolný prvek skupiny -parametrickou reprezentaci (operátorová funkce parametrů, operátoři působí na nějaký vektorový prostor) a prvek identity skupiny odpovídá hodnotě operátorské funkce při nulových hodnotách parametrů . Potom generátory skupiny jsou veličiny: $G$ $s$ $g(\alpha )=g(\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{s})$ $s$ $g(0)$

A_{k}=\vlevo.{\frac {\částečné g(\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{s})}{\částečné \alpha _{k))}\vpravo \vert _{\alpha =\,0}

Poté může být libovolný prvek z uvažovaného sousedství (kde jsou parametry přirozeně malé) rozšířen blízko transformace identity až na termíny druhého řádu malosti: $g(\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{s})$ $\alpha _{k}$

g(\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{s})=1+\sum _{k=1}^{s}A_{k}\alpha _{k}+O( \sum _{k,\,j=1}^{s}\alpha _{k}\alpha _{j}),

Algebra lži. Exponenciální mapování

Nechť je grupa propojená Lieova grupa - skupina transformací v závislosti na konečné množině parametrů tak, že jakýkoli prvek grupy může být připojen k prvku identity cestou, která leží zcela uvnitř této grupy. Označme generátory skupiny. Pak lze ukázat, že generují Lieovu algebru se vztahem komutace: $T(\alpha)$ $t_{a}$

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

kde jsou tzv. strukturní konstanty Lie algebry (také nazývané "strukturální konstanty grupy"). $C_{{bc}}^{a}$

Důkaz

Zákon násobení grup má tvar:

T(\alpha )T(\beta)=T(f(\alpha,\beta))

kde je nějaká funkce. Protože vektor nulového parametru se bere jako "souřadnice" prvku identity, musí mít tato funkce vlastnosti . Kromě toho lze tuto funkci rozšířit ve výkonové řadě: $F$ $f^{a}(\alpha ,0)=f^{a}(0,\alpha )=\alpha ^{a}$

f^{a}(\alpha ,\beta )=\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta ^{c} +\tečky

navíc členy úměrné čtvercům parametrů by porušovaly výše uvedenou vlastnost této funkce, takže v expanzi chybí.

Nechť je uvedeno zastoupení skupiny . Parametrově ji lze v nějakém sousedství nuly rozšířit ve formě následující řady (přidáme pomyslnou jednotku pro přístup používaný ve fyzice): $U(T(\alpha))$

U(T(\alpha ))=1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+\tečky

kde jsou operátoři nezávislí na parametrech . $t_{a},t_{{bc}}$ $\alpha$

Je-li reprezentace unitární, jsou operátoři (generátoři skupiny) hermitovští. Předpokládá se, že reprezentace je neprojektivní, tedy obyčejná, a proto můžeme psát: $U$ $t_{a}$

U(T(\alpha))U(T(\beta))=U(T(f(\alfa,\beta))

Levá strana tohoto poměru je:

(1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+tečky)*(1+i\beta ^{a }t_{a}+1/2\beta ^{b}\beta _{c}t_{bc}+...)=1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_ {a}-\alpha ^{b}\beta _{c}t_{b}t_{c}+\tečky

Pravá strana může být znázorněna následovně (pomocí rozkladu zobrazení a rozkladu funkce f):

1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}+tečky)t_{a}+1 /2(\alpha ^{b}+\beta ^{b}+...)(\alpha ^{c}+\beta ^{c}+...)t_{bc}+...=1 +i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}t_{a}+\alpha ^ {b}\beta _{c}t_{bc}+...

kde jsou nemíchané členy druhého řádu vynechány kvůli jejich zřejmé shodě s levou stranou. Je zřejmé, že podmínky prvního řádu se také shodují. Vztahy pro smíšené členy druhého řádu se ukazují jako netriviální. Totiž pro rovnost levé a pravé části grupové podmínky pro reprezentaci U musí být splněn vztah:

t_{{bc}}=-t_{b}t_{c}-if_{{bc}}^{a}t_{a}

Ukázalo se tedy, že operátor druhého řádu pro rozklad reprezentace skupiny je vyjádřen v termínech operátorů prvního řádu, tj. v termínech generátorů skupin. Plná konzistence však vyžaduje, aby operátor byl symetrický vzhledem k indexům. Při použití výrazu z hlediska generátorů požadavek symetrie znamená: $t_{{bc}}$

0=t_{{cb}}-t_{{bc}}=(t_{b}t_{c}-t_{c}t_{b})-i(f_{{cb}}^{a}-f_ {{bc}}^{a})t_{a}

Odtud získáme výraz pro komutátor skupinových generátorů:

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

kde jsou tzv. strukturní konstanty grupy. $C_{{bc}}^{a}=f_{{cb}}^{a}-f_{{bc}}^{a}$

Takovým souborem komutačních vztahů je Lieova algebra. Generátory grup tedy generují Lieovu algebru.

Tyto komutační vztahy jsou jedinou podmínkou, která zaručuje rekurzivní vyjádření operátorů objevujících se v rozšíření reprezentace skupiny z hlediska druhého a vyššího řádu. Všechny expanzní členy lze tedy vyjádřit pomocí generátorů. To znamená, že operátory reprezentace skupiny, alespoň v určitém sousedství prvku identity, lze jednoznačně vyjádřit pomocí generátorů skupin.

V jednom konkrétním případě, kdy , komutační vztahy ukazují, že generátory komutují ve dvojicích: . Takovou skupinou je Abelian. Pro takovou skupinu je možné prostřednictvím generátorů vyjádřit operátory skupinové reprezentace $C_{{bc}}^{a}=0$ $[t_{b},t_{c}]=0$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Takové zobrazení z Lie algebry do Lieovy grupy se nazývá exponenciální zobrazení.

Důkaz

V takové skupině ; odtud . Můžeme tedy napsat následující skupinový vztah: $f(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta$ $f(\alpha /n,\alpha /n,tečky,\alpha /n)=\součet _{n}\alpha /n=\alpha$

U(T(\alpha ))=U(T(\alpha /n))^{n}

;

pro dostatečně velký lze použít infinitezimální reprezentaci kvůli malosti . Dostaneme $n$ $\alpha /n$

U(T(\alpha ))=(1+i/n\alpha ^{a}t_{a})^{n}

Přejdeme-li do limity vzhledem k , získáme požadovaný výraz pro reprezentaci skupiny pro libovolné parametry z hlediska exponentu $n$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Příklady generátorů

Imaginární jednotkou je generátor grupy U(1) .
Pauliho matice jsou generátory speciální unitární grupy SU(2).
Gell-Mannovy matice jsou generátory speciální unitární grupy SU(3).

Odkazy

V. S. Zamiralov "Základní pojmy teorie grup a jejich reprezentace a některé aplikace pro částicovou fyziku" na stránkách SINP MSU .