Hyperfunkce (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. března 2017; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hyperfunkce (matematika) - vývoj konceptu zobecněné funkce . Hyperfunkce jedné proměnné je rozdíl mezních hodnot na reálné ose dvou holomorfních funkcí definovaných v horní a dolní polorovině komplexní roviny. Hyperfunkce několika proměnných jsou definovány jako prvky nějaké kohomologické grupy s koeficienty ve svazku holomorfních funkcí [1] . Hyperfunkce objevil Mikio Sato v roce 1958 [2] [3] .

Hyperfunkce jedné proměnné

Hyperfunkci jedné proměnné lze považovat za rozdíl na reálné ose mezi jednou holomorfní funkcí definovanou na horní komplexní polorovině a další definovanou na dolní komplexní polorovině - [1] . Hyperfunkce jedné proměnné je určena pouze rozdílem dvou funkcí na reálné ose a nemění se při sčítání a stejné funkce holomorfní na celé komplexní rovině , takže hyperfunkce a jsou definovány jako ekvivalentní. $F$ $G$ $(f,g)$ $fg$ $F$ $G$ $h$ $(f,g)$ $(f+h,g+h)$

Hyperfunkce mnoha proměnných

Dovolit být presheaf v , definované takto [4] : pokud není omezený, pak ; je-li omezen, pak ; Omezení jsou definována jako: , pokud nejsou omezeny , pokud jsou omezené. Hyperfunkční svazek na je svazek spojený s předsvazkem . $B'$ $R^{n}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=\left\{0\right\}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=B(\Omega )$ $B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )$ $0\rightarrow 0$ $\Omega$ $T\rightarrow T|\omega$ $\Omega$ $R^{n}$ $B$ $B'$

Zapnutá hyperfunkce je určena: krytím tam, kde je otevřené a omezené; a prvky , pro které . $\Omega$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i))$ ${\displaystyle \Omega _{i))$ $T_{i}\in B(\Omega _{i})$ ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j))$

Dvě takové množiny a určete stejnou hyperfunkci, jestliže $(\Omega _{i},T_{i}),i\in I$ $(\Omega _{i'},T_{i'}),i'\in I'$ $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\ v já, já'\v já'$

Příklady

Pro jakoukoli funkci f, která je holomorfní na celé komplexní rovině, jsou hyperfunkcí její hodnoty na reálné ose, které mohou být reprezentovány jako nebo . $(f,0)$ $(0,-f)$
Heaviside funkci lze reprezentovat jako hyperfunkci:

H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1 \že jo).

Diracova delta funkce může být reprezentována jako hyperfunkce:

\left({\tfrac {1}{2\pi iz)),{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).

Operace s hyperfunkcemi

Násobení analytickou funkcí . Dovolit být analytická funkce, být analytický funkcionál . Potom je produkt definován vzorcem . $f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$ $u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $\langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$

Hyperfunkce je definována sekvencí [5] $fT$ $f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}$

Konvoluce. Dovolit být holomorfní funkční , být holomorfní funkce s topologií. Potom je konvoluce definována vzorcem . Hyperfunkce je definována sekvencí [6] $u\in H'(C^{n})$ $f\in H(C^{n})$ $u*f\in H(C^{n})$ $(u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle$ $u*T$ ${\displaystyle (u*T_{n})|\Omega _{np))$

Viz také

Generalizovaná funkce

Poznámky

↑ 1 2 Shapira, 1972 , str. 5.
↑ Sato, Mikio (1959), Teorie hyperfunkcí, I, Časopis Přírodovědecké fakulty, University of Tokyo. Sekta. 1, Matematika, astronomie, fyzika, chemie, svazek 8 (1): 139–193
↑ Sato, Mikio (1960), Teorie hyperfunkcí, II, Časopis Přírodovědecké fakulty, University of Tokyo. Sekta. 1, Matematika, astronomie, fyzika, chemie sv. 8 (2): 387–437
↑ Shapira, 1972 , s. 61.
↑ Shapira, 1972 , s. 65.
↑ Shapira, 1972 , s. 66.

Literatura

Hormander L. Lineární diferenciální operátory s parciálními derivacemi. - M .: Mir, 1965. - 379 s.
Shapira P. Teorie hyperfunkcí. — M .: Mir, 1972. — 141 s.
Hormander L. Analýza lineárních diferenciálních operátorů s parciálními derivacemi. Svazek I. Teorie distribuce a Fourierova analýza. — M .: Mir, 1986. — 462 s.