Rozdíly vyšších řádů

Diferenciál řádu n , kde n > 1 , funkce v nějakém bodě je diferenciál v tomto bodě diferenciálu řádu (n - 1) , tzn. $z$

d^{n}z=d(d^{n-1}z)

Diferenciál vyššího řádu funkce jedné proměnné

Pro funkci, která závisí na jedné nezávislé proměnné, vypadá druhý a třetí diferenciál takto: $z=f(x)$

{\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2))

d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^ {2}=z'''dx^{3}

Z toho můžeme odvodit obecný tvar diferenciálu n-tého řádu funkce , za předpokladu, že jde o nezávislou proměnnou: $z=f(x)$ $X$

{\displaystyle d^{n}z=z^{(n)}dx^{n))

Při výpočtu diferenciálů vyšších řádů je velmi důležité, aby existoval libovolný a nezávislý na , který by při diferenciaci s ohledem měl být považován za konstantní faktor. Pokud není nezávislá proměnná, pak bude diferenciál jiný (viz níže ) [1] . $dx$ $X$ $X$ $X$

Diferenciál vyššího řádu funkce více proměnných

Má-li funkce spojité parciální derivace druhého řádu, pak je diferenciál druhého řádu definován následovně: . $z=f(x,y)$ $d^{2}z=d(dz)$

d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\left ({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{x}dx+\left({\frac {\partial z }{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{y}dy=

=\left({\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné x^{2))}dx+{\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné y\částečné x} }dy\right)dx+\left({\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné x\částečné y}}dx+{\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné y^{2 }}}dy\right)dy

d^{2}z={\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné x^{2))}dx^{2}+2{\frac {\částečné ^{2}z}{\ částečné x\částečné y}}dxdy+{\frac {\částečné ^{2}z}{\částečné y^{2}}}dy^{2}

d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy\right)^{2}z

Symbolicky je obecný tvar diferenciálu n-tého řádu funkce následující: $z=f(x_{1},...,x_{r})$

d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1))}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2))} dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r))}dx_{r}\right)^{n}z

kde , a libovolné přírůstky nezávislých proměnných . Přírůstky jsou považovány za konstanty a zůstávají stejné od jednoho rozdílu k druhému. Složitost diferenciálního vyjádření roste s počtem proměnných. $z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})$ ${\displaystyle dx_{1},...,dx_{r))$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{r))$
${\displaystyle dx_{1},...,dx_{r))$

Neinvariance diferenciálů vyšších řádů

Když ten diferenciál není invariantní (na rozdíl od invariance prvního diferenciálu ), to znamená, že výraz závisí obecně na tom, zda je proměnná považována za nezávislou, nebo jako nějakou mezifunkci jiné proměnné. příklad, . $n\geqslant 2$ $n$ $d^{n}f$ $X$ $x=\varphi (t)$

Takže pro nezávislou proměnnou má druhý diferenciál, jak je uvedeno výše, tvar: $X$

{\displaystyle d^{2}z=z''(dx)^{2))

Pokud samotná proměnná může záviset na jiných proměnných, pak . V tomto případě bude vzorec pro druhý diferenciál vypadat takto [1] : $X$ $d(dx)=d^{2}x\neq 0$

d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=z''\,(dx)^{2}+z'd^{2}x

Podobně bude mít třetí diferenciál tvar:

d^{3}z=z'''\,(dx)^{3}+3z''dx\,d^{2}x+z'd^{3}x

K prokázání neinvariance diferenciálů vyšších řádů postačí uvést příklad.
Pro a : $n=2$ ${\displaystyle y=f(x)=x^{3))$

jestliže je nezávislá proměnná, pak $X$ ${\displaystyle d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2))$
pokud a ${\displaystyle x=\varphi (t)=t^{2))$ $dx=d\varphi (t)=\varphi '(t)dt=2tdt$
1. $6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2))$
2. zároveň a ${\displaystyle y=x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6))$ $d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\color {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2))$

Vezmeme-li v úvahu závislost , již druhý diferenciál nemá vlastnost invariance při změně proměnné. Také diferenciály řádů 3 a vyšších nejsou invariantní. $x=t^{2}$

Dodatky

Pomocí diferenciálů může být funkce , pokud existuje její první derivace, reprezentována Taylorovým vzorcem : $F$ $(n+1)$

pro funkci s jednou proměnnou:

{\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!)}}+ ..+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal { 4}}x)}{(n+1)!}}

, ;

(0<\theta <1)

pro funkci s více proměnnými:

{\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0) },y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!)}}+{\frac { d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{(n+1)! } }

(0<\theta <1)

Pokud je první diferenciál roven nule a druhý diferenciál funkce je kladně určitý (záporně určitý), pak je bod bodem přísného minima (resp. přísného maxima); pokud je druhý diferenciál funkce neurčitý, pak v bodě není žádný extrém . $f(x_{1},...,x_{n})$ $(x_{1},...,x_{n})$ $f(x_{1},...,x_{n})$ $(x_{1},...,x_{n})$

Poznámky

↑ 1 2 Baranova Elena Semenovna, Vasiljeva Natalja Viktorovna, Fedotov Valerij Pavlovič. Praktický průvodce vyšší matematikou. Typické výpočty: Průvodce studiem. 2. vyd. . - "Nakladatelství" "Peter" "", 2012. - S. 196-197. — 400 s. — ISBN 9785496000123 .

Literatura

G. M. Fikhtengolts "Kurz diferenciálního a integrálního počtu", svazek 1