Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie  je odvětví matematiky , které studuje hladké manifoldy , obvykle s dalšími strukturami. Mají mnoho aplikací ve fyzice , zejména v obecné teorii relativity .

Hlavní podsekce diferenciální geometrie:

• diferenciální geometrie křivek ,
• diferenciální geometrie povrchů ,
• Riemannovská geometrie ,
• pseudoriemannovská geometrie ,
• komplexní geometrie ,
• symplektická geometrie ,
• povrchová teorie ,
• Finslerova geometrie .

Často diferenciální geometrie je považována za nedělitelnou sekci spolu s diferenciální topologií . Rozdíly mezi těmito sekcemi mohou spočívat v přítomnosti nebo nepřítomnosti dalších struktur na hladkém manifoldu, ale může to být také v přítomnosti nebo nepřítomnosti místních invariantů: v diferenciální topologii jsou struktury na manifoldech považovány za takové , že jakýkoli pár bodů může mít identická sousedství. , zatímco v diferenciální geometrii, obecně řečeno, mohou existovat místní invarianty (jako je zakřivení ), které se mohou v bodech lišit. Například symplektická struktura nemá žádné takové invarianty a spolu se symplektickou geometrií je uvažována " symplektická topologie ".

Matematická klasifikace předmětů alokuje sekci nejvyšší úrovně pro diferenciální geometrii 53a přiřazuje diferenciální topologii jako blok druhé úrovně 57Rxxv sekci „Rozvody a buněčné komplexy“.

Historie

Diferenciální geometrie vznikla a vyvíjela se v těsném spojení s matematickou analýzou , která sama do značné míry vyrostla z problémů geometrie. Mnoho geometrických konceptů předcházelo odpovídajícím konceptům analýzy. Takže například pojem tečna předcházel pojmu derivace , pojem plochy a objemu - pojem integrálu .

Vznik diferenciální geometrie se datuje do 18. století a je spojen se jmény Euler a Monge . První souhrnnou práci o teorii povrchů napsal Monge ("Application of Analysis to Geometry", 1795 ). V roce 1827 vydal Gauss svou Všeobecnou studii o zakřivených plochách, ve které položil základy teorie ploch v její moderní podobě. Od té doby přestala být diferenciální geometrie pouze aplikací analýzy a zaujala nezávislé místo v matematice.

Obrovskou roli ve vývoji celé geometrie, včetně diferenciální geometrie, sehrál objev neeuklidovské geometrie . Riemann , v jeho přednášce “na hypotézách základu základů geometrie” ( 1854 ), položil základy Riemannian geometrie , nejrozvinutější část moderní diferenciální geometrie.

Kleinův grupově teoretický pohled , uvedený v jeho „ Erlangenském programu “ ( 1872 ), to jest: geometrie – studium invariantů transformačních grup, jak je aplikováno na diferenciální geometrii, bylo vyvinuto Cartanem , který vybudoval teorii prostory projektivního spojení a afinního spojení .

Diferenciální topologie je mnohem mladším odvětvím matematiky: začala se rozvíjet až na počátku 20. století.

Literatura

• Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace. - M. : Nauka, 1986. - 760 s.
• Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kurz diferenciální geometrie a topologie. - M. : MGU, 1980. - 439 s.
• J. Schwartz Diferenciální geometrie a topologie. -M.: Mir, 1970. - 223 s.
• Veblen O. , Whitehead J. Základy diferenciální geometrie = Základy diferenciální geometrie / Per. z angličtiny. M. G. Freidina. — M. : IL, 1949. — 230 s.
• Hussein-Zade S. M. Přednášky o diferenciální geometrii . - M. : MGU, 2001. - 54 s.
• Egorov D. F. Pracuje na diferenciální geometrii . - M. : Nauka, 1970. - 380 s.
• Nomizu K. Lieovy grupy a diferenciální geometrie = Lieovy grupy a diferenciální geometrie / Per. z angličtiny. Yu. A. Shub-Sizoněnko. - M. : IL, 1960. - 128 s.
• Pogorelov AI Diferenciální geometrie . - 6. vyd. - M .: Nauka, 1974. - 176 s.
• Rashevsky PK Kurz diferenciální geometrie . - 3. vyd. - M. - L. : GITTL, 1950. - 428 s.
• Rozendorn E.R. Problémy v diferenciální geometrii . - M. : Nauka, 1971. - 64 s.
• Sternberg S. Lectures on Differential Geometry = Lectures on Differential Geometry / Per. z angličtiny. D. V. Alekseevskij. - M .: Mir, 1970. - 412 s.
• Troitsky EV Diferenciální geometrie a topologie . - M. : MGU, 2003. - 52 s.
• Finikov S.P. Diferenciální geometrie. Průběh přednášek . - M. : MGU, 1961. - 158 s.
• Finikov S. P. Projektivně-diferenciální geometrie . - M. - L. : ONTI, 1937. - 264 s.
• Skopenkov A. Základy diferenciální geometrie v zajímavých úlohách . — M. : MTsNMO, 2008.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus okolo světa Britannica (online) Moderní Ukrajina
V bibliografických katalozích BNF : 133188233 GND : 4012248-7 J9U : 987007565328605171 LCCN : sh85054146 NDL : 00560656 NKC : ph119440