Interval spolehlivosti pro očekávanou hodnotu normálního vzorku

Známý případ odchylky

Dovolit být nezávislý vzorek z normálního rozdělení , kde je známý rozptyl . Definujme libovolný a sestrojme interval spolehlivosti pro neznámý průměr . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\sigma ^{2}$ $\alpha \in[0,1]$ $\mu$

Tvrzení. Náhodná hodnota

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n))))

má standardní normální rozdělení . Nechť — je kvantil standardního normálního rozdělení . Pak, kvůli symetrii posledně jmenovaného, máme: $\mathrm {N} (0,1)$ $z_{\alpha }$ $\alpha$

\mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2))}\right)= 1-\alfa

Po dosazení výrazu za a jednoduchých algebraických transformací získáme: $Z$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \ mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha

Případ neznámého rozptylu

Nechť je nezávislý vzorek z normálního rozdělení, kde jsou neznámé konstanty. Vytvořme interval spolehlivosti pro neznámý průměr . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu ,\sigma ^{2}$ $\mu$

Tvrzení. Náhodná hodnota

T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}

kde je nestranná výběrová směrodatná odchylka, má Studentovo rozdělení se stupni volnosti . Nechť — jsou kvantily Studentova rozdělení . Pak, kvůli symetrii posledně jmenovaného, máme: $S$ $n-1$ $\mathrm {t} (n-1)$ $t_{\alpha ,n-1}$ $\alpha$

\mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2)), n-1}\vpravo)=1-\alfa

Po dosazení výrazu za a jednoduchých algebraických transformací získáme: $T$

\mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}} \leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2)),n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right )=1-\alfa