Náboj (teorie míry)

Charge je konečně aditivní množinová funkce s reálnou hodnotou definovaná na nějaké -algebře (například Borelovy podmnožiny ). $\sigma$

Na rozdíl od obvyklé míry, která je obvykle chápána jako nezáporná množinová funkce, může náboj nabývat i záporných hodnot.

Množina všech nábojů nad libovolnou množinou se sigma-algebrou se obvykle značí . $X$ $\Sigma$ $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$

Související definice

Kladný náboj se nazývá čistě konečně aditivní , pokud pro jakoukoli nezápornou spočetně aditivní míru vyplývá , že . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ $\mu=0$
- Libovolný náboj je čistě konečně aditivní, pokud jsou takové náboje a . ${\displaystyle \nu ^{+))$ $\nu ^{-}$
Náboj je absolutně spojitý s ohledem na míru if $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Množina všech nábojů tvoří normalizovanou mřížku a ještě navíc -prostor. $K$
Pro jakýkoli náboj existuje kladná a záporná část . Existuje Hahn-Jordanova expanze , díky níž lze vlastnosti nábojů vyjádřit pomocí teorie míry. $\nu$ $\nu ^{+}\geqslant 0$ $\nu ^{-}\leqslant 0$ $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$
Nechte _ Jakýkoli náboj může být jednoznačně reprezentován jako součet , kde je absolutně spojitý vzhledem k a disjunktivní . Takové znázornění míry se nazývá Lebesgueova expanze. $\mu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\mu$ $\nu _{2}$ $\mu$ $\nu$
Jakýkoli náboj může být jednoznačně reprezentován jako součet , kde je libovolná spočetně aditivní míra a je libovolný čistě konečně aditivní náboj. Tento rozklad se někdy nazývá rozklad Yosida-Hewitt . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$ ${\displaystyle \nu _{ca))$ $\nu _{pfa}$
Prostor je topologicky konjugován s prostorem měřitelných a ohraničených funkcí definovaných nad daným měřitelným prostorem. $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$

Termín „náboj“ poprvé zavedl A. D. Alexandrov . Studium náboje bylo impulsem pro rozvoj teorie konečně aditivní míry (40. léta 20. století).

Dunford N., Schwartz J. Lineární operátory. Obecná teorie. — M. : IL, 1962.
Landkof N. S. Základy moderní teorie potenciálu. - M. , 1966.
Khalmosh P. Teorie opatření. // Per. z angličtiny. - M. , 1953.
Alexandroff AD Aditivní množinové funkce v abstraktních prostorech I // Math. sbírka 1940. V.8(50), N 2. S.307-348.
Alexandroff AD Aditivní množinové funkce v abstraktních prostorech II // Math. sbírka 1941. V.9(51), N 3. S.563-628.
Alexandroff AD Aditivní množinové funkce v abstraktních prostorech III // Math. sbírka 1943. V.13(55), N 2. S.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Konečně aditivní opatření // Trans. amer. Matematika. soc. 1952.v. 72, č. 1. S. 46-66.