Injektivní metrický prostor

Injektivní metrický prostor je metrický prostor, který má určité vlastnosti; takové prostory jsou skutečná čára, všechny metrické stromy a další. $L^{\infty }$

Definice

O úplném geodetickém metrickém prostoru se říká , že je injektivní , pokud má libovolná rodina kuliček společný bod, pokud se jakékoli dvě koule v této rodině protínají. $X$ $X$

Příklady

Skutečná čára , stejně jako jakýkoli uzavřený interval.
Prostor funkcí na libovolném prostoru se sup-normou.
Jakýkoli metrický strom .

Vlastnosti

V injektivním prostoru je poloměr libovolné množiny poloviční než její průměr.
- Injektivní prostory tedy splňují nejsilnější formu Youngova teorému .
Injektivní prostor je kompletní .
Jakékoli krátké mapování injektivního prostoru konečného průměru do sebe fixuje bod.
Metrický prostor je injektivní tehdy a jen tehdy, když je to injektivní objekt v kategorii metrických prostorů a krátkých zobrazení s ohledem na extrémní monomorfismy .
- Jinými slovy, mezera je injektivní, pokud pro jakékoli krátké mapování a izometrické vkládání existuje krátké mapování takové, že . $X$ $f\colon A\to X$ $\phi \colon A\to B$ $g\colon B\to X$ $f=g\circ \phi$
Jakýkoli metrický prostor je vložen do takzvaného injektivního shellu , minimálního injektivního prostoru obsahujícího původní. (Injektivní trup je podobný konvexnímu trupu .)
- Vstřikovací trup daného metrického prostoru je jednoznačně určen až do izometrie, která se mění se vstřikem.

Viz také

Kategorie metrických prostorů

Odkazy

Isbell, JR Šest teorémů o injektivních metrických prostorech (anglicky) // Commentarii Mathematici Helvetici : deník. - 1964. - Sv. 39 . - str. 65-76 . - doi : 10.1007/BF02566944 .