Atlas (topologie)

Atlas - koncept diferenciální geometrie , který umožňuje zavádět další struktury na rozdělovači ; například hladká struktura nebo složitá struktura.

Atlas se skládá z jednotlivých map, které popisují jednotlivé oblasti diverzity. Pokud rozmanitostí rozumíme povrch Země, pak slova „mapa“ a „atlas“ nabývají svých obvyklých významů.

Definice

Dovolit být číselné pole (například , nebo ), být topologický prostor . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$

Mapa je dvojice kde $(U,f)$

U

je otevřený set in

X

F

je homeomorfismus od do otevřené množiny do

U

K^n

Místní mapa vstupuje do křivočarých souřadnic přidružením bodu k sadě čísel $U$ $x=f^{-1}(t)$ $t=(t^{1},...,t^{n})$

Pokud se definiční obory dvou map a protínají ( ), pak mezi množinami a existují vzájemně inverzní zobrazení (homeomorfismy), nazývaná srovnávací funkce nebo slepené zobrazení : $(U_{1},f_{1})$ $(U_{2},f_{2})$ $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ $f_{1}(U_{2})$ $f_{2}(U_{1})$ ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

Atlas je soubor koordinovaných map , které tvoří prostorové pokrytí . Zde je několik sad indexů. V tomto případě se atlas nazývá hladký (třídy ) nebo analytický, pokud jsou funkce změny souřadnic pro všechny mapy hladké (třídy ) nebo analytické. ${\displaystyle \{(U_{\alpha },f_{\alpha })\))$ $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\{U_{\alpha }\}$ $X$ ${\mathcal {A}}$ $C^k$ $f_{\alpha _{1}\alpha _{2))$ $C^k$

Související definice

Dva hladké (analytické) atlasy jsou považovány za konzistentní , pokud je jejich spojení také hladkým (analytickým) atlasem.