Kónická kombinace

Kuželosečková kombinace ( kuželosečka , vážený součet ) je operace na konečné množině vektorů v euklidovském prostoru , která spojuje tuto množinu s vektorem ve tvaru: $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

{\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n))

kde všechna čísla splňují podmínku [1] [2] . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$

Název pochází ze skutečnosti, že kuželový součet vektorů definuje kužel (možná v podprostoru nižší dimenze).

Kuželosečka je množina všech kombinací kuželoseček pro danou množinu označená [1] nebo [2] . to je: $S$ $\operatorname {cone} (S)$ $\operatorname {coni} (S)$

\operatorname {coni} (S)=\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\;{\Big |}\;x_{i }\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0,i,k=1,2,\tečky \right\rbrace

Podle definice počátek patří všem kuželosečkám.

Kónický trup soupravy je konvexní souprava . Ve skutečnosti je to průsečík všech konvexních kuželů obsahujících , spojených s počátkem [1] . Pokud se jedná o kompaktní prostor (zejména pokud se skládá z konečného počtu bodů), není nutné přidávat počátek k průsečíku všech konvexních kuželů. $S$ $S$ $S$

Vydělíme-li každý koeficient kuželosečky součtem všech jeho koeficientů, pak je jasné, že jakákoli nenulová kuželosečková kombinace je škálovanou konvexní kombinací [1] . V této souvislosti lze kuželové kombinace a kuželové obaly považovat za konvexní kombinace a konvexní obaly v projektivním prostoru .

Ačkoli je konvexní trup kompaktní sady také kompaktní sadou, neplatí to pro kónický trup, protože je obecně neohraničený. Navíc kónický trup kompaktní množiny ani nemusí být nutně uzavřená množina — protipříkladem je koule procházející počátkem, jejíž kónický trup je otevřený půlprostor plus počátek. Jde- li však o neprázdnou kompaktní množinu, která neobsahuje počátek, je kuželový trup množiny uzavřenou množinou [1] . $S$ $S$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. Konvexní analýza a algoritmy minimalizace Část I: Základy . - Springer-Verlag , 1993. - Sv. 305. - S. 101-102. — (Grundlehren der matematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-56850-6 .
↑ 1 2 Melvyn W. Jeter. Matematické programování: Úvod do optimalizace . - New York: Marcel Dekker, Inc., 1986. - Sv. 102. - S. 68. - (Monografie a učebnice čisté a aplikované matematiky). — ISBN 0-8247-7478-7 .