Křivka Viviani

Vivianiho křivka je trojrozměrná křivka, průsečík kruhového válce s koulí se středem na povrchu válce a s poloměrem rovným průměru válce.

Pojmenováno po Vincenzovi Vivianim , který podrobně prostudoval tuto křivku v roce 1692 a poprvé poznamenal, že dvě oblasti, které jsou touto křivkou na polokouli ohraničeny, mají jednoduchou kvadraturu : jejich celková plocha je taková, že povrch zbývající části polokoule je stejný. na plochu čtverce postaveného na průměru koule [1] . Před Vivianim tuto křivku studovali De la Loubert, Simon a Gilles Roberval (1666).

Rovnice

Vivianiho křivka je čára průsečíku povrchu válce ${\displaystyle (xa)^{2}+y^{2}=a^{2))$

s koulí o dvojnásobném poloměru, jejíž střed leží na povrchu válce:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.

Parametrická rovnice: $\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$

Projekční rovnice na rovinu , , : $(x\,y)$ $(y\,z)$ $(x\,z)$ $x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$ $y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$ $y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,rx)))\,,$ $z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,rx)))\,,$ $x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2))}\,,$ $z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2))))}\ ,.$

Vlastnosti

Průmět Vivianiho křivky na společnou tečnu válce a koule je Geronův lemniskát .
Vivianiho křivka na polokouli protínající válec odděluje dvě oblasti tak, že plocha zbývající části polokoule se rovná ploše čtverce postaveného na průměru koule.

Důkaz Najděte plochu ohraničenou Vivianiho křivkou integrací v souřadnicích .

{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))

(x\,y)

Plocha povrchu se určí obvyklým způsobem pomocí integrálu:

S_{\text{VC}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2 }+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y))\right)^{2))}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,

kde je oblast ohraničená Vivianiho křivkou.

\Omega

Pojďme vypočítat integrand:

{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x))\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y} }\right)^{2))}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))\,.

Pokračujeme ve výpočtu a bereme v úvahu symetrii integrační oblasti kolem osy (čímž získáme čtyři stejné části), zjistíme:

X\,

S_{\text{VC}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0} ^{\sqrt {x\,(2\,rx)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y ^{2))))=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{ 2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}- 16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.

První termín ve výsledném výrazu je plocha polokoule o průměru , druhý termín je plocha čtverce se stranou rovnou stejnému průměru.

4\,r

Rozdíl mezi plochami polokoule a uvažovaným povrchem se tedy rovná ploše čtverce postaveného na průměru koule:

S_{\text{hemisphere}}-S_{\text{VC}}=(4\,r)^{2}\,,

Q.E.D.

Literatura

Berger M. Geometrie, sv. 1-2. M: Mir, 1984.
Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
Roero CS L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l'Univ. d'Été Hist. des Math., IREM Toulouse, 1986.
Roero CS Italská výzva k Leibnitzově kalkulu v roce 1692. Leibnitz a Viviani: srovnání dvou epistemologií, V Int. kongres Leibnitz, Hannover, 1988.

Poznámky

↑ Mobiův pás a Vivianiho okna . Získáno 15. 8. 2017. Archivováno z originálu 8. 3. 2014. (neurčitý)

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius