Perseova křivka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. září 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Křivka Perseus ( spirální řez , spirální čára , z jiného řeckého σπειρα - torus [1] ) - řez torusem rovinou rovnoběžnou s osou rotace torusu; rovinná algebraická křivka 4. řádu. V závislosti na parametrech řezu mohou být křivky ve formě „konvexních“ a „prohloubených“ oválů, „osmiček“ a dvou oválů [2] .

Tuto podtřídu torických sekcí poprvé studoval starověký řecký geometr Perseus kolem roku 150 před naším letopočtem. e., asi 200 let po prvních studiích kuželoseček Menechmem [3] . Znovuobjeveno v 17. století [2] ; Boothův lemniskát ("konvexní ovál") a Cassiniho ovál ("osm") jsou speciální případy Perseovy křivky.

Křivková rovnice v kartézských souřadnicích

(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2} +c^{2})

v něm je poloměr kružnice, jejíž rotace podél kružnice s poloměrem tvoří torus. V , křivka sestává ze dvou kruhů poloměru se středy ; když křivka degeneruje do bodu - počátek souřadnic , ale jestliže - pak se křivka skládá z prázdné množiny bodů [3] . $A$ $r$ $c=0$ $A$ $(\pm r,0)$ $c=r+a$ $c>r+a$

Pokud zavedeme nové parametry: , a , pak vznikne jiný tvar rovnice [4] : $d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ $e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2})$ $f=-(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(abc)$

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f

Perseovu křivku je také možné definovat jako dvoukruhovou [5] , symetrickou podle os a . $X$ $y$

Rovnice v polárních souřadnicích :

(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2} \theta +c^{2})

nebo [4] :

r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f

Protože dané implicitní vzorce zahrnují pouze druhé mocniny proměnných, redukuje se získávání explicitních vzorců na řešení kvadratických rovnic.

Viz také

Obvody Villarceau

Poznámky

↑ Stillwell, 2004 , str. 42: "Tento povrch, vytvořený rotací kruhu kolem osy mimo kruh, ale ve stejné rovině, Řekové nazývali spira, odtud název spirálové řezy pro řezy rovnoběžné s osami."
↑ 1 2 Stillwell, 2004 , s. 43.
↑ 1 2 McTutor, 1997 .
↑ 1 2 Jestliže soustava rovnic pro , , nemá řešení v množině přípustných parametrů torusu, pak tato rovnice nepopisuje Perseovu křivku. $d$ $E$ $F$
↑ Dvoukruhová křivka // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Literatura

Stillwell D. Matematika a její historie. - Iževsk: Ústav počítačového výzkumu, 2004. - S. 42-43. — 530 str.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Spiric Section (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Spiric Sections (nedostupný odkaz) . MacTutorHistory (1. ledna 1997). Získáno 18. května 2018. Archivováno z originálu dne 26. října 2019. (neurčitý)
John J. O'Connor a Edmund F. Robertson . Perseus (anglicky) je biografie v archivu MacTutor .

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius