Křivka konstantní šířky

Křivka konstantní šířky  je plochá konvexní křivka , délka ortogonální projekce ( Feretův průměr ) k libovolné přímce je rovna .

Jinými slovy, křivka konstantní šířky je plochá konvexní křivka, jejíž vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými referenčními čarami je konstantní a rovná  se šířce křivky.

Související definice

• Obrazec konstantní šířky je obrazec, jehož hranicí je křivka konstantní šířky.

Příklady

Postavy konstantní šířky jsou zejména kruh a Reuleauxovy polygony (speciálním případem posledně jmenovaného je Reuleauxův trojúhelník ). Polygony Reuleaux jsou tvořeny fragmenty kruhů a nejsou to hladké křivky. Je také možné sestrojit hladkou křivku konstantní šířky z konjugovaných fragmentů kružnic (obrázek vpravo), ale další zvýšení hladkosti křivky podél této dráhy je nemožné.

Funkční pohled

Na rozdíl od nejjednodušších příkladů uvedených výše se křivky konstantní šířky nemusí shodovat s kružnicí na žádném konečném segmentu a být všude libovolně hladké. Obecně je obrazec konstantní šířky s podpůrnou funkcí dán parametrickými rovnicemi [1]

za podmínek:

1. 
2. výsledná křivka je konvexní.

Podle elementární trigonometrie je první podmínka splněna Fourierovou řadou následujícího tvaru:

Pokud koeficienty řady klesají dostatečně rychle, pak bude výsledná křivka konvexní (bez vlastních průniků).

Zejména podpůrná funkce generuje křivku konstantní šířky, pro kterou se nachází implicitní zobrazení ve formě rovnice pro polynom 8. stupně [3]

Tato křivka v okolí libovolného bodu je analytickou funkcí buď x nebo y a neshoduje se s kružnicí v žádném okolí.

Vlastnosti

• Křivka konstantní šířky má délku ( Barbierova věta ).
• Středy vepsané a opsané kružnice křivky konstantní šířky se shodují a součet jejich poloměrů se rovná šířce křivky.
• Postava konstantní šířky se může otáčet ve čtverci se stranou , přičemž se neustále dotýká každé ze stran.
• Ze všech obrazců dané konstantní šířky má Reuleauxův trojúhelník nejmenší plochu a kruh největší.
• Jakýkoli plochý údaj o průměru může být pokryt číslem konstantní šířky .

Aplikace

• Vrták vyrobený na základě trojúhelníku Reuleaux umožňuje [4] vrtat téměř čtvercové otvory (s nepřesností asi 2 % čtvercové plochy).
• Některé mince mají tvar pravidelného mnohoúhelníku konstantní šířky. Na sedmiúhelníku jsou tedy postaveny mince o nominálních hodnotách 20 [5] a 50 haléřů ( Velká Británie ) ; 50 filů ( SAE ); 1 dolar ( Barbados ); některé mince Botswany [6] v nominálních hodnotách 5 a 25 thebe , 1 a 2 puly . 11úhelníkový tvar s konstantní šířkou se nachází v kanadských 1 dolarových mincích (známých jako „ loonies “).
• Wankelův motor používá [5] jako píst Reuleauxův trojúhelník rotující uvnitř komory, což umožňuje okamžitě získat rotační pohyb.
• Véčkové mechanismy vačkového typu jsou ve většině případů stavěny na bázi ploché vačky s profilem trojúhelníku Reuleaux. Nejznámějšími příklady jsou filmové projektory „Luch“ a „Ukrajina“ [5] .

Variace a zobecnění

• Obrazce konstantní šířky lze definovat jako konvexní obrazce schopné rotace uvnitř čtverce a současně se dotýkat všech jeho stran. Lze také uvažovat o figurách, které se mohou otáčet dotykem všech stran nějakého -gonu, například pravidelného -gonu. Takové obrazce se nazývají rotory [7] .
  • Například digon tvořený průsečíkem dvou stejných kružnic s úhlem ve vrcholu rovným , je rotor rovnostranného trojúhelníku. S vrtákem tohoto tvaru by v zásadě bylo možné vrtat trojúhelníkové otvory bez vyhlazených rohů.
  • Byly uvažovány figury rotující uvnitř obecnějších figur. [osm]

• Tvary konstantní šířky mají vícerozměrné protějšky, viz Těleso konstantní šířky .

Poznámky

1. ↑ Guggenheimer H. W. Diferenciální geometrie. — New York: Dover, 1977.
2. ↑ Koeficient s číslem k = 1 lze vynulovat, protože tento člen je zodpovědný pouze za polohu obrazce v rovině.
3. ↑ Rabinowitz S. Polynomial Curve of Constant Width  //  Missouri Journal of Mathematical Sciences. - 1997. - Sv. 9 . - str. 23-27 . Archivováno z originálu 17. června 2009. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 1. března 2018. Archivováno z originálu 17. června 2009. (neurčitý) 
4. ↑ " Vrtání čtvercových děr archivováno 25. května 2012 na Wayback Machine " / Matematické etudy
5. ↑ 1 2 3 " Round Reuleaux Triangle Archived 28. prosince 2009 na Wayback Machine " / Matematické etudy
6. ↑ Některé z nich vyšly z oběhu v roce 2019.
7. ↑ Helmut Groemer, Geometrické aplikace Fourierových řad a sférických harmonických
8. ↑ L. A. Lyusternik . Geometrický problém  // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , č. 3-4 (13-14) . - S. 194-195 .

Literatura

• Yaglom IM , Boltyansky VG Konvexní postavy . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Knihovna matematického kroužku, číslo 4).