Růstová křivka (spektroskopie)

Růstová křivka je závislost ekvivalentní šířky spektrální absorpční čáry na počtu atomů , které absorbují záření v této čáře. Zpravidla se hovoří o růstových křivkách ve vztahu k absorpčním čarám ve spektrech hvězd . $W$ $N$

Růstová křivka je rozdělena do tří kvalitativně odlišných oblastí. Při malé optické tloušťce je absorbující vrstva malá a ekvivalentní šířka roste přímo úměrně - tato část růstové křivky se nazývá lineární. Při dostatečně velké optické tloušťce se stává větší než jednota: středová hloubka čáry přestane růst, čára se nasytí ve středu a růst ekvivalentní šířky pokračuje díky křídlům čáry. Na této části růstové křivky, nazývané mírná, . Při ještě větší hodnotě začínají znatelně růst části křídel, popsané lorentzovským profilem . Tato část růstové křivky se nazývá oblast útlumu záření, na ní . $N$ $W\propto N$ $N$ $W\propto {\sqrt {\ln N))$ $N$ $W\propto {\sqrt {N}}$

Růstové křivky lze vypočítat teoreticky pro různé podmínky v atmosféře hvězdy. Lze je použít pro stanovení obsahu určitých chemických prvků v atmosféře hvězdy a porovnáním teoretických růstových křivek s pozorovanými je možné určit různé parametry atmosféry, na kterých se tvar růstové křivky sám závisí - například na teplotě nebo rychlosti mikroturbulentních pohybů .

Závislost ekvivalentní šířky absorpční čáry na počtu atomů, které ji tvoří, poprvé ukázal v roce 1931 Marcel Minnart .

Popis

Růstová křivka je závislost ekvivalentní šířky spektrální absorpční čáry na počtu atomů , které absorbují záření v této čáře [1] . $W$ $N$

Zpravidla se hovoří o růstových křivkách ve vztahu k absorpčním čarám ve spektrech hvězd . Záření opouštějící fotosféru hvězdy má spojité spektrum , ale když prochází vnějšími vrstvami hvězdné atmosféry , záření je absorbováno na určitých vlnových délkách - ve spektru se objevují absorpční čáry. V každé takové spektrální čáře je záření absorbováno určitým atomem v určitém energetickém stavu, takže čím více takových atomů v dráze záření bude, tím silnější bude absorpce ve spektrální čáře [1] [2] [3] .

Růstovou křivku lze rozdělit na tři části ve vzestupném pořadí : lineární, kde ; plochý, nebo přechodný, v němž ; a oblast útlumu záření, kde [1] . $N$ $W\propto N$ $W\propto {\sqrt {\ln N))$ $W\propto {\sqrt {N}}$

Pohled na profil Lyman-alfa spektrální čáry v jednotkách intenzity spojitého spektra při různých koncentracích vodíku: od 10 12 atomů na cm 2 pro čáru nejmenší hloubky do 10 20 atomů na cm 2 pro nejhlubší čáru. Mezi sousedními čarami se koncentrace mění o faktor 10.
Růstové křivky pro čáru Lyman-alfa při různých šířkách Dopplerových čar , vztažené k poloviční šířce profilu Gaussovy čáry (viz níže ) jako . ${\displaystyle b_{d))$ $G$ $b_{d}=g/{\sqrt {\ln 2))$

Teorie

Ekvivalentní šířka

K popisu intenzity spektrálních absorpčních čar se používá koncept ekvivalentní šířky : jedná se o velikost oblasti ve vlnových délkách ( ) nebo frekvencích ( ) , ve kterých spojité spektrum vyzařuje celkové množství energie , které je absorbováno v celém řádek [2] . $W$ $W_{\lambda }$ ${\displaystyle W_{\nu ))$

Přesněji definováno následovně. Intenzita záření ve spektru při určité frekvenci je označena jako a intenzita ve stejném spektru v nepřítomnosti uvažované čáry je označena jako : Abychom zjistili , oblasti spektra sousedící s čárou se extrapolují na oblast, kde je čára pozorována, jako by chyběla [2] . Zavádí se parametr nazývaný hloubka čáry, což je zlomek záření na frekvenci , která byla absorbována. Pak se k ní vztahuje ekvivalentní šířka vztahem nebo - podobné úvahy lze provést pro spektrum z hlediska vlnových délek, nikoli frekvencí. Teoreticky by se integrace měla provádět od do , ale v praxi se integrují přes konečný interval, který zahrnuje hlavní části úsečky - šířka intervalu zpravidla není větší než několik desítek nanometrů [4] . Zároveň je vztažena k optické tloušťce absorbující vrstvy při frekvenci jako , a je přímo úměrná počtu atomů odpovědných za absorpci v linii na jednotku plochy na linii pohledu [5] [6] [7] . $W$ $\nu$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle I_{\nu }^{0))$ ${\displaystyle I_{\nu }^{0))$ ${\displaystyle a_{\nu }=1-I_{\nu }/I_{\nu }^{0))$ $\nu$ ${\textstyle W_{\nu }=\int _{\nu _{1}}^{\nu _{2}}a_{\nu }d\nu }$ ${\textstyle W_{\lambda }=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}a_{\lambda }d\lambda }$ $0$ $\infty$ $a_{\nu }$ ${\displaystyle \tau _{\nu ))$ $\nu$ $a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$ ${\displaystyle \tau _{\nu ))$ $N$

Chování při nízké optické hloubce

V každém případě, když je malý, pak je malý ve všech částech linky. Pak se zvyšuje téměř lineárně s , a následně, . Když je optická tloušťka dostatečně velká, růst ve středu čáry se zpomalí a poté se prakticky zastaví - lineární růst pokračuje, dokud optická tloušťka ve středu čáry není řádově menší než jedna [8] [ 9] . Nárůst se zpomaluje, ale nezastavuje, protože v křídlech - bočních částech čáry - je stále malý. Vztah mezi a pro opticky tlustá média závisí na typu profilu spektrální čáry [1] [5] [7] . $N$ ${\displaystyle \tau _{\nu ))$ $a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$ ${\displaystyle \tau _{\nu ))$ $W\propto N$ $a_{\nu }$ $\tau_{0}$ $W$ ${\displaystyle \tau _{\nu ))$ $W$ $N$

Chování při velké optické tloušťce

Obecně platí, že různé mechanismy rozšiřování , brané izolovaně, vedou buď k Gaussově distribuci (např. tepelný pohyb atomů) nebo Lorentzově distribuci (např. přirozená šířka čáry a rozšíření v důsledku srážek). Kombinované působení těchto mechanismů vede k vytvoření Voigtova profilu , který je konvolucí Gaussova a Lorentzova [10] . Protože se křídla v lorentzovském profilu rozpadají mnohem pomaleji než v gaussovském, jsou vzdálenější části křídel v odpovídajícím voigtovském profilu každopádně blízké lorentzovskému profilu. Tvar střední části čáry závisí na šířkách Gaussova a Lorentzova profilu: pokud je Gaussův profil mnohem širší, pak se střední část Voigtova profilu bude blížit Gaussovu a naopak [7] [11 ] . ${\displaystyle \tau _{\nu ))$

Gaussův profil

Rozložení optické tloušťky v linii s Gaussovým profilem má následující tvar [12] :

\tau (x)=\tau _{0}\exp \left(-{\frac {x^{2}\ln 2}{g^{2))}\right),

kde je optická tloušťka ve středu čáry, je poloviční šířka čáry a je vzdálenost ke středu čáry. Pro usnadnění můžeme provést substituci , pak je vzdálenost od středu čáry v dopplerovské šířce rovna . Ekvivalentní šířku čáry s těmito parametry lze vyjádřit jako [8] [12] : $\tau_{0}$ $G$ $X$ ${\textstyle u={\frac {x{\sqrt {\ln 2}}}{g}}}$ $u$ $g/{\sqrt {\ln 2))$

W={\frac {2g}{\sqrt {\ln 2}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-\tau _{0}e ^{-u^{2}}\right]\right)du

Integrál v tomto výrazu není brán analyticky, ale můžeme přibližně předpokládat, že pro velké , odpovídající nasyceným čarám, se integrand blíží 0 pro velké a 1 pro malé. Hraniční podmínka mezi „velkým“ a „malým“ může být brána jako hodnota, při které . Tato podmínka je splněna pro , takže s dobrou přesností se ukáže, že je úměrná , a proto [8] . Samotný přibližný výpočet integrálu vede ke stejnému výsledku [13] . $\tau_{0}$ $u$ $u$ $u_{0}$ $\tau _{0}e^{-u_{0}^{2}}=1$ ${\displaystyle u_{0}={\sqrt {\ln \tau _{0))))$ $W$ ${\displaystyle {\sqrt {\ln \tau _{0))))$ $W\propto {\sqrt {\ln N))$

Lorenz profil

V linii s Lorentzovým profilem je optické rozložení tloušťky zapsáno jako [14] :

\tau (x)=\tau _{0}{\frac {l^{2}}{l^{2}+x^{2}}},

kde je optická tloušťka ve středu čáry, je poloviční šířka čáry a je vzdálenost ke středu čáry. Pro usnadnění se střídání provádí , pak - vzdálenost od středu čáry v jednotkách poloviční šířky. Ekvivalentní šířka má v tomto případě tvar [14] : $\tau_{0}$ $l$ $X$ ${\textstyle y=x/l}$ $y$

W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}+1}}\ vpravo]\vpravo)dy

Při dostatečné velikosti se střed čáry ukáže jako nasycený a pokles optické tloušťky v křídlech nastává přibližně jako . Poté je přibližně vyjádřena šířka [8] [14] : $\tau_{0}$ $y^{-2}$

W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}}}\right] \right)dy

Pokud provedeme substituci [8] [14] : ${\textstyle z^{2}=\tau _{0}/u^{2}}$

W=2l{\sqrt {\tau _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-z^{2}\right]\right )d(1/z)

Lorentzův profil tedy roste úměrně k , a tudíž [7] [8] . $W$ ${\displaystyle {\sqrt {\tau _{0))))$ $W\propto {\sqrt {N}}$

Profil uživatele Voigt

Absorpční čáry ve spektrech hvězd jsou zpravidla popsány Voigtovým profilem, ve kterém je Lorentzova šířka ve srovnání s Gaussovou velmi malá. To znamená, že centrální části čar jsou blízko Gaussovu a křídla blízko Lorentzova [15] .

Při dostatečně velkých hodnotách se tedy optická tloušťka ve středu stává větší než jednota, ale křídla Lorentzova profilu jsou stále příliš slabá a k růstu dochází hlavně kvůli oblastem, kde je profil čáry blízký Gaussovu, úměrně . Na velmi velkých vzdálených částech křídel se linie popsané Lorentzovým profilem dosti zesílí a začnou růst přibližně úměrně [1] [9] [16] . Typická hodnota optické tloušťky ve středu čáry, při které dochází k přechodu z ploché části růstové křivky do oblasti radiačního útlumu, je asi 103 [ 8] , i když závisí na poměru Lorentzova a Gaussovy šířky: čím větší je Lorentzova šířka, tím menší je přechod [17] . $N$ $W$ ${\sqrt {\ln N))$ $N$ $W$ ${\sqrt {N}}$ $\tau_{0}$

Použití

Růstové křivky lze vypočítat teoreticky pro daný model hvězdné atmosféry - v obecném případě je k tomu nutné vyřešit rovnici přenosu záření pro dané podmínky v atmosféře hvězdy, jako je teplota, hustota hmoty a další parametry závislé na na hloubce v atmosféře. Porovnání teoretických růstových křivek s pozorovanými tedy umožňuje měřit ty parametry hvězd, na kterých růstová křivka závisí, a ekvivalentní šířky čar umožňují určit abundanci odpovídajících chemických prvků [1] .

Pro jednu hvězdu lze růstovou křivku určité čáry sestrojit z multipletů – souborů spektrálních čar, které odpovídají přechodům ze společné nižší úrovně. Počet atomů je pro danou hvězdu neznámý, ale pro všechny tyto přechody je známo, že je stejný. Navíc jsou obvykle známy pravděpodobnosti přechodu, takže lze pro multiplet vybrat a definovat vhodnou rodinu růstových křivek [18] . $N$ $N$

Tvar růstové křivky závisí například na teplotě hvězdy a na rychlosti mikroturbulentních pohybů plynu v ní. Zvýšení teploty a zvýšení rychlosti mikroturbulence zvětší Gaussovu šířku čáry a zároveň sníží optickou hloubku v jejím středu - zatímco ekvivalentní šířka zůstane stejná, ale čára se nasytí a lineární růst se zastaví na větší a při větší ekvivalentní šířka [1] [19] . Kromě toho mikroturbulence a teplota ovlivňují růstovou křivku různými způsoby: při stejné teplotě mají atomy různé hmotnosti různé průměrné rychlosti a gaussovská šířka čáry takových atomů je různá. Mikroturbulence naproti tomu způsobuje pohyb stejnými rychlostmi – to umožňuje oddělit vlivy teploty a mikroturbulence [20] . $N$

Historie studia

V roce 1931 Marcel Minnart poprvé ukázal, jak ekvivalentní šířka absorpční čáry závisí na počtu atomů, které ji tvoří. Další vědci, mezi nimiž byli Donald Menzel a Albrecht Unsold , následně zdokonalili teorii růstové křivky [21] .

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khokhlova V. L. Growth Curve . Astronet . Získáno 15. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 2. srpna 2021. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Cherepashchuk A. M. Spektrální čáry . Astronet . Získáno 1. září 2021. Archivováno z originálu dne 2. srpna 2021. (neurčitý)
↑ Sobolev, 1985 , str. 83-84.
↑ Tatum J. Hvězdné atmosféry. 9.1 : Úvod, záření a ekvivalentní šířka . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Staženo 1. září 2021. Archivováno z originálu 1. září 2021.
↑ 1 2 Tatum J. Hvězdné atmosféry. 11.2: Přehled některých podmínek . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 19. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 10. srpna 2021.
↑ Tatum J. Hvězdné atmosféry. 11.3: Teorie křivky růstu . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 19. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 19. srpna 2021.
↑ 1 2 3 4 Richmond, M. Křivka růstu . Rochester Institute of Technology . Získáno 19. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 18. února 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Pogge RW Oblasti neutrálního atomového vodíku (HI) . The Ohio State University pp. 7-16. Získáno 4. září 2021. Archivováno z originálu dne 4. září 2021.
↑ 1 2 Antipova L. I. Růstová křivka // Physical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M. : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Faktor kvality - Magnetooptika. - 704 s. — 100 000 výtisků. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Tatum J. Hvězdné atmosféry. 10.4: Kombinace profilů . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 19. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 10. srpna 2021.
↑ Yukov E. A. Obrys spektrální čáry // Physical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M. : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Faktor kvality - Magnetooptika. - 704 s. — 100 000 výtisků. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ 1 2 Tatum J. Hvězdné atmosféry. 11.4 : Křivka růstu pro gaussovské profily . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 1. září 2021. Archivováno z originálu 10. srpna 2021.
↑ Sobolev, 1985 , str. 134.
↑ 1 2 3 4 Tatum J. Hvězdné atmosféry. 11.5 : Křivka růstu pro Lorentzianovy profily . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 1. září 2021. Archivováno z originálu 10. srpna 2021.
↑ Sobolev, 1985 , str. 88-90.
↑ Sobolev, 1985 , str. 133-138.
↑ Tatum J. Hvězdné atmosféry. 11.6: Křivka růstu pro Voigtovy profily . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 4. září 2021. Archivováno z originálu dne 4. září 2021.
↑ Sobolev, 1985 , str. 137-138.
↑ Charlton JC, Churchill CW Kvazistelární objekty: Intervenující absorpční linie . 1.1. Základy Quasar Spectra . ned.ipac.caltech.edu . Získáno 4. září 2021. Archivováno z originálu dne 14. srpna 2021. (neurčitý)
↑ Tatum J. Hvězdné atmosféry. 10.3: Mikroturbulence . Physics LibreTexts (25. ledna 2017). Získáno 4. září 2021. Archivováno z originálu dne 4. září 2021.
↑ Intenzity Wright KO linie a sluneční křivka růstu // The Astrophysical Journal . - Bristol: IOP Publishing , 1944. - 1. května ( sv. 99 ). — S. 249 . — ISSN 0004-637X . - doi : 10.1086/144615 .

Literatura

Sobolev VV Kurz teoretické astrofyziky . - Ed. 3., revidováno. — M .: Nauka , 1985. — 504 s.

Spektrální čáry
Typy	Zakázané čáry absorpční linie Emisní linky
Možnosti	Vlnová délka Frekvence poloviční šířka Profil spektrální čáry Ekvivalentní šířka
Významné čáry	H-alfa Neutrální vodíkové rádiové spojení Fraunhoferovy linie
Související pojmy	růstová křivka Spektrum Spektrální pásmo Spektrální řada