Maximální a minimální prvky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. dubna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Prvek částečně uspořádané množiny se nazývá maximální prvek if $M$ $A$

$\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).$

Podobně se o prvku říká , že je minimální if $m\in A$

$\forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).$

Zapisuje se jako (podle toho se vlastnost minimality zapisuje jako ). V případě lineárně uspořádané množiny (např. u podmnožiny reálné čáry s přirozeným řádem) se pojem maximálního (resp. minimálního) prvku shoduje s pojmem největšího (resp. nejmenšího ). ) prvek, ale obecně se tyto pojmy liší: největší prvek je vždy maximum, obráceně to vždy neplatí, protože pro maximální prvek mohou existovat prvky, které jsou s ním nesrovnatelné. $M=\max A$ $m=\min A$ $\mathbb {R}$

Neexistuje žádný maximální prvek podmnožiny , pokud není ohraničen shora. I když je tato množina ohraničená shora, také zde nemusí být žádný maximální prvek (ačkoli infimum i supremum existují pro jakoukoli ohraničenou množinu). Například pro interval neexistuje žádný minimální nebo maximální prvek . $\mathbb {R}$ $A=\left({a,b}\right)$

Literatura

Ivanov G. E. Přednášky o matematické analýze. Část 1. - M . : MIPT , 2000. - 359 s. - 800 výtisků. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Viz také

Argumenty maximalizace a minimalizace