Poloklasická aproximace

Semiklasická aproximace , známá také jako metoda WKB ( Wentzel - Kramers - Brilouin ), je nejznámějším příkladem semiklasického výpočtu v kvantové mechanice , ve kterém je vlnová funkce reprezentována jako exponenciální funkce, semiklasicky rozšířená, a pak buď amplituda nebo fáze se pomalu mění. Tato metoda je pojmenována podle fyziků G. Wentzela , H.A. Kramers a L. Brillouin , kteří tuto metodu vyvinuli v roce 1926 nezávisle na sobě. V roce 1923 matematik Harold Jeffreyvyvinul obecnou metodu pro přibližné řešení lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu, která zahrnuje i řešení Schrödingerovy rovnice . Ale protože Schrödingerova rovnice se objevila o dva roky později, Wentzel i Kramers a Brillouin tuto dřívější práci zjevně neznali.

V jistém smyslu historicky předcházela metodě WKB a vůbec konceptu vlnové funkce semiklasická aproximace: tzv. " Stará kvantová teorie " studovala stejný limitující případ empiricky v letech 1900-1925.

Závěr

Počínaje jednorozměrnou stacionární Schrödingerovou rovnicí:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/Psi(x)

který lze přepsat jako

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\Psi(x)

vlnovou funkci reprezentujeme jako exponenciální funkci jiné neznámé funkce Φ

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ musí rovnici splňovat

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\vpravo]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ že jo)

kde znamená derivaci s ohledem na x . Rozdělíme na reálnou a imaginární část zavedením reálných funkcí A a B : $\Phi '$ $\Phi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Pak je amplituda vlnové funkce , a fáze je . Ze Schrödingerovy rovnice vyplývají dvě rovnice, které musí tyto funkce splňovat: ${\displaystyle e^{\int ^{x}A(x')dx'))$ ${\displaystyle {\int ^{x}B(x')dx'))$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;

K řešení těchto rovnic chceme uvažovat semiklasickou aproximaci. To znamená, že každou funkci rozšíříme jako mocninnou řadu . Z rovnic vidíme, že mocninná řada musí začínat členem, aby splnila reálnou část rovnice. Ale protože potřebujeme dobrou klasickou limitu, chceme také začít expanzi s co nejvyšší mocninou Planckovy konstanty. $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\součet _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\součet _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)

Až do prvního řádu rozšíření mohou být rovnice zapsány ve tvaru

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\levá(V(x)-E\vpravo)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Pokud se amplituda mění slaběji než fáze, pak můžeme dát a dostat $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\vpravo)}}

To platí pouze v případě, že celková energie je větší než potenciální energie. Po podobných výpočtech pro další řád malosti získáme

\Psi (x)\cca C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)))))

Na druhou stranu, pokud se fáze mění pomalu oproti amplitudě, nastavíme a dostaneme $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)))

To platí, pokud je potenciální energie větší než celková. Pro další řád maličkosti dostáváme

\Psi (x)\přibližně {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x )-E\right)))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x )-E\right)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right))) ) }}

Je zřejmé, že díky jmenovateli se obě tato přibližná řešení rozcházejí poblíž klasického bodu obratu, kde u nemůže být správné. Máme přibližná řešení daleko od potenciální bariéry a pod potenciálním kopcem. Daleko od potenciální bariéry se částice chovají jako volná vlna – fáze kmitá. Pod potenciální bariérou dochází k exponenciálním změnám amplitudy částice. $E=V(x)$

Abychom problém úplně vyřešili, musíme všude najít přibližná řešení a srovnat koeficienty, abychom vytvořili globální přibližné řešení. Musíme ještě aproximovat řešení kolem klasických bodů obratu.

Označme klasický bod obratu . Blízko , lze rozšířit v řadě. $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cdots

Na první objednávku dostáváme

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Jeho řešení v blízkosti otočných bodů je následující:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ right)+C_{{-{\frac {1}{3))))J_{{-{\frac {1}{3))))\left({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\right)\right)

Pomocí asymptotiky tohoto řešení můžeme najít vztah mezi a : $C,\theta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

Čímž je stavba globálního řešení dokončena.

Literatura

Pokrovsky VL Kvaziklasická aproximace. Archivováno 16. června 2011 na Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 2. - M.: SE, 1990. - S. 252-255.
metoda WKB. Archivováno 15. března 2012 na Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 1. - M.: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-aproximace. - M .: Mir, 1967. - 166 s.
Maslov VP, Fedoryuk MV Semiklasická aproximace pro rovnice kvantové mechaniky. — M .: Nauka, 1976. — 296 s.