Lagrangeova metoda (diferenciální rovnice)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. prosince 2020; kontroly vyžadují 6 úprav .

Lagrangeova metoda (metoda variace libovolných konstant) je metoda pro získání obecného řešení nehomogenní rovnice , se znalostí obecného řešení homogenní rovnice , bez nalezení konkrétního řešení .

Metoda variací libovolných konstant pro konstrukci řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice

Hledejme řešení rovnice

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),

za předpokladu, že pro odpovídající homogenní rovnici

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)

Známe řešení, které zapíšeme jako

z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)

Metoda spočívá v nahrazení libovolných konstant v obecném řešení pomocnými funkcemi . $c_{k}$ $c_{k}(t)$

Derivace for bude napsána ${\displaystyle z=c_{1}(t)z_{1}+c_{2}(t)z_{2}+...+c_{n}(t)z_{n))$

z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n} z_{n}'

Ale budeme dodatečně vyžadovat (níže je ukázáno, že to nezpůsobí problémy).

c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0

Takto, $z'=c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'$

Zavedeme podobné požadavky pro se sekvenční diferenciací až do (n-1) řádu, dostaneme $c_{k}'$ $z(t)$

c_{1}'z^{(k-1)}+\ldots +c_{n}'z^{(k-1)}=0

\Šipka doprava

{\displaystyle z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k)))

A pro nejvyšší derivaci, resp

z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+ \;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}

Po dosazení do původní rovnice a zmenšení homogenního řešení (1) v ní zůstává

a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{ n}^{(n-1)}(t)\right]=f(t)

V důsledku toho se dostáváme k

\left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&.. .&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t) &+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{ n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t )c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n }(t)\end{matrix}}\right.\qquad(2)

Determinant systému (2) je Wronskián funkcí , který zajišťuje jeho jedinečnou řešitelnost vzhledem k . $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ ${c_{k}'}$

Pokud jsou primitivní funkce brány v pevných hodnotách integračních konstant, pak funkce $\widetilde {c_{k}}$ $c_{k}'$

z=z^{*}(t)=\widetilde {c_{1}}(t)z_{1}(t)+...+\widetilde {c_{n}}(t)z_{n}( t)

je řešením původní lineární nehomogenní diferenciální rovnice. Integrace nehomogenní rovnice v přítomnosti obecného řešení odpovídající homogenní rovnice je tak redukována na kvadratury .

Příklady

1) Rovnice, zejména vyplývající ze zákona radioaktivního rozpadu

{\dot {x}}+\gamma x=f(t)

Obecné řešení je elementárně integrované:

{\displaystyle x=c\cdot e^{-\gamma t))

Aplikujeme Lagrangeovu metodu:

c'e^{-\gamma t}=f(t)

Odkud je požadované řešení?

{\displaystyle x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t))

2) Rovnice harmonického oscilátoru

{\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)

Řešení homogenní rovnice zapíšeme do tvaru

x=a\sin \omega t+b\cos \omega t

Podle systému (2) získáme:

{\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega tb'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{cases}}

a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)

b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)

Obnovme řešení:

x(t)=\left(\int dt\,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)\right)\sin \omega t-\left(\int dt \,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)\right)\cos \omega t

Metoda variací libovolných konstant pro konstrukci řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic ve vektorovém normálním tvaru

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (3)

spočívá v sestrojení obecného řešení (3) ve tvaru

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),

kde je základ řešení odpovídající homogenní rovnice zapsané jako matice a vektorová funkce , která nahradila vektor libovolných konstant, je definována vztahem . Požadované konkrétní řešení (s nulovými počátečními hodnotami) pro má tvar $Z(t)$ ${\bar {u}}$ ${\bar {u'}}(t)=Z^{{-1}}(t){\bar {f}}(t)$ $t=t_{0}$

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1 }(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .

Pro systém s konstantními koeficienty je poslední výraz zjednodušen:

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\ takt {f}}(\tau )d\tau .

Matice se nazývá Cauchyho matice operátoru . $Z(t)Z^{{-1}}(\tau)$ $L=A(t)$

Odkazy

exponenta.ru — Teoretický odkaz s příklady