Variabilní separační metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. března 2020; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Metoda separace proměnných je metoda řešení diferenciálních rovnic , založená na algebraické transformaci původní rovnice na rovnost dvou výrazů závislých na různých proměnných , z nichž některé jsou funkcemi jiných.

Při aplikaci na parciální diferenciální rovnice vede schéma separace proměnných k nalezení řešení ve formě Fourierovy řady nebo integrálu . Metoda se v tomto případě nazývá také Fourierova metoda (na počest Jeana Baptista Fouriera , který sestavil řešení rovnice tepla ve formě trigonometrických řad [1] ) a metoda stojatého vlnění [2] [3] .

Obyčejné diferenciální rovnice

Uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici , jejíž pravá strana je součinem funkce pouze z funkcí pouze z (v tomto případě je funkce funkcí ). [4] : $X$ $y$ $y$ $X$

$\frac{dy}{dx} = g(x) h(y). \qquad (1)$

V tomto případě lze tuto rovnici přepsat do tvaru $h(y) \ne 0$

$\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx$ .

Nechť je nějaké řešení rovnice (1). Z rovnosti diferenciálů vyplývá, že jejich neurčité integrály se liší pouze v libovolném konstantním členu : $y(x)$

$\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx + C$ .

Výpočtem integrálů získáme obecný integrál rovnice (1).

Pokud je rovnice dána jako [5] :

$M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,$

pak pro oddělení proměnných není nutné jej redukovat do tvaru (1). Obě části stačí rozdělit na : $N(y) P(x)$

$\frac{M(x) dx}{P(x)} + \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = 0,$

odkud pochází obecný integrál

$\int \frac{M(x) dx}{P(x)} + \int \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = C.$

Příklad

Nechat

$x dy - y dx = 0$ [6] .

Oddělením proměnných dostaneme

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}.$

Integrace obou částí poslední rovnosti, máme

$\ln|y| = \ln|x| + \ln C_1,$

kde je kladná konstanta. Odtud $C_{1}$

$|y| = C_1 |x|$

nebo

$y=Cx,$

kde je libovolná konstanta, která může nabývat kladných i záporných hodnot. $C = \pm C_1$

Řešením této diferenciální rovnice jsou také funkce a . Poslední řešení se získá z obecného řešení pro . $x=0$ $y=0$ $y = C x$ $C=0$

Parciální diferenciální rovnice

Metoda separace proměnných se používá k řešení okrajových úloh pro lineární rovnice druhého řádu hyperbolického , parabolického a eliptického typu, dále pro některé třídy nelineárních rovnic a rovnice vyšších řádů [7] .

Homogenní rovnice

Uveďme schéma metody pro problém kmitání struny upevněné na koncích [8] :

$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \qquad(2)$

$u(0,t) = 0, \quad u(l, t) = 0, \qquad (3)$

$u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x). \qquad (4)$

Budeme hledat řešení rovnice (2), která jsou shodně nenulová a splňují okrajové podmínky (3) ve tvaru součinu

$u(x, t) = X(x) T(t). \quad(5)$

Dosaďte očekávaný typ řešení v rovnici (2) a vydělte : $a^2 X(x) T(t)$

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{a^2 T(t)}. \qquad (6)$

Levá strana rovnosti (6) je funkcí pouze proměnné , pravá strana pouze funkcí . Proto obě části nezávisí na nebo na a rovnají se nějaké konstantě . Získáme obyčejné diferenciální rovnice pro určení funkcí a : $X$ $t$ $X$ $t$ $-\lambda$ $X(x)$ $T(t)$

$X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(x) \ne \equiv 0, \qquad (7)$

$T''(t) + a^2 \lambda T(t) = 0, \quad T(t) \ne \equiv 0, \qquad (8)$

Dosazením (5) do okrajových podmínek (3) získáme

$X(0) = X(l) = 0. \qquad (9)$

Dostáváme se k problému Sturm-Liouville (7), (9). Tento problém má netriviální řešení (vlastní funkce)

$X_n(x) = \sin \frac{\pi n }{l} x,$

určeno až do libovolného faktoru pouze pro hodnoty rovné vlastním číslům $\lambda$

$\lambda_n = \left(\frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \tečky$

Řešení rovnice (8) odpovídají stejným hodnotám $\lambda_n$

$T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l}at + B_n \sin \frac{\pi n}{l}at,$

kde a jsou libovolné konstanty. $A_n$ $B_n$

Takže funkce

$u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)$

jsou partikulární řešení rovnice (2) splňující podmínky (3). Řešení úlohy (2)-(4) získáme jako nekonečný součet partikulárních řešení

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{\pi n }{l} v + B_n \sin \frac{\pi n}{l}v \right) \sin \frac{\pi n }{l} x,$

kde konstanty a lze najít z počátečních podmínek (4) jako Fourierovy koeficienty funkcí a : $A_{n}$ $B_{n}$ $\varphi(x)$ $\psi(x)$

$A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx, \quad B_n = \frac{2}{\pi na} \int_0 ^l \psi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx.$

Metoda separace proměnných je použitelná i pro rovnici kmitání struny obecného tvaru

$\frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] - q(x) u = \rho(x) \frac{\partial ^2 u}{\částečné t^2},$

kde , a jsou spojité kladné funkce na intervalu [9] . V tomto případě je řešení konstruováno jako řada vlastních funkcí Sturm-Liouvilleova problému $k$ $q$ $\rho$ $0<x<l$

$\frac{d}{dx} \left[ k(x) \frac{d X}{dx} \right] - q(x) X + \lambda \rho(x) X = 0, \quad X(0 ) = X(l) = 0. \qquad (10)$

Zásadní práce o zdůvodnění Fourierovy metody patří V. A. Steklovi [10] . Steklovův teorém říká, že za určitých podmínek lze libovolnou funkci jednoznačně rozšířit do Fourierovy řady z hlediska vlastních funkcí okrajové úlohy (10).

Nehomogenní rovnice

Metoda separace proměnných pro nehomogenní rovnice se někdy nazývá Krylovova metoda na počest A. N. Krylova [2] . Při řešení okrajové úlohy pro rovnici nehomogenní rovnice kmitání struny

$u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x, t) \quad (11)$

funkce a jsou rozšířeny do Fourierových řad z hlediska systému vlastních funkcí Sturm-Liouvilleovy úlohy pro odpovídající homogenní rovnici (2): $u$ $F$

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) \sin \frac{\pi n}{l}x,$

$f(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(t) \sin \frac{\pi n}{l} x.$

Dosazením získané řady do rovnice (11), s přihlédnutím k ortogonalitě systému, dostaneme rovnici pro : $\left \{ \sin \frac{\pi n}{l} x \right \}$ $T_n(t)$

$T''_n(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t). \qquad (12)$

Funkce lze nalézt jako řešení Cauchyho úloh pro rovnice (12) s počátečními podmínkami získanými z počátečních podmínek původní okrajové úlohy. $T_n(t)$

Software

Xcas : [11] rozdělení((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Viz také

Poznámky

↑ Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století. - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 103.
↑ 1 2 Yurko V. A. Rovnice matematické fyziky, 2004 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky, 1999 , s. 88.
↑ Kurz vyšší matematiky Smirnov V. I., 1974 , svazek 2, s. čtrnáct.
↑ Stepanov V. V. Kurz diferenciálních rovnic, 1950 , s. 24.
↑ Demidovich B.P., Modenov V.P. Diferenciální rovnice, 2008 , s. 19.
↑ Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Metoda separace proměnných v matematické fyzice, 2009 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky, 1999 , s. 82.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky, 1999 , s. 113.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky, 1999 , s. 119.
↑ [Symbolická algebra a matematika s Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (neurčitý)

Literatura

Smirnov V.I. Kurz vyšší matematiky. — 21. vydání. - Nauka, 1974. - T. 2.
Stepanov VV Kurz diferenciálních rovnic. - Ed. 6. — 1950.
Demidovich B.P. , Modenov V.P. Diferenciální rovnice: návod. - 3. vydání .. vymazáno .. - Petrohrad. : Lan, 2008. - 288 s.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Metoda separace proměnných v matematické fyzice. - Petrohrad. , 2009. - 92 s. - ISBN 978-5-94777-211-1.
Tichonov A. N. , Samarsky A. A. Rovnice matematické fyziky: Učebnice .. - 6. vyd., Rev. a další .. - M . : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .
Yurko V. A. Rovnice matematické fyziky: učebnice. příručka pro studenty kateder mechaniky a matematiky a fyziky. - Saratov: Nakladatelství Sarat. un-ta, 2004. - 118 s. — ISBN 5-292-03022-8 .