Minimalita (dynamické systémy)

V teorii dynamických systémů se dynamický systém nazývá minimální , pokud nemá žádné netriviální ( uzavřené ) podsystémy.

Definice

Dynamický systém se nazývá minimální pokud pro nějaký uzavřený $(X,T)$

A\subset X,\quad T(A)=A

je buď prázdné, nebo odpovídá všem . $A$ $X$

Protože uzavření jakékoli oběžné dráhy je invariantní množinou, lze definici ekvivalentně přeformulovat takto: dynamický systém je minimální, pokud je některá z jeho drah všude hustá .

Invariantní podmnožina fázového prostoru systému se také nazývá minimální množina , pokud je omezení systému na ni minimální. $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ $(X,T)$ $(Y,T|_{Y})$

Vlastnosti

Minimální systém sestává buď z jedné oběžné dráhy, nebo nemá ani pevné body, ani periodické oběžné dráhy.
Minimální difeomorfismus kruhu je ergodický (Katka-Ehrmanova věta).

Příklady

Iracionální zvrat je minimální.
Posun o konstantní vektor na anuloidu je minimální právě tehdy, když jsou souřadnice vektoru posunu a jednoty lineárně nezávislé na . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $\mathbb {Q}$
Kruhový difeomorfismus je minimální právě tehdy, když je konjugován s iracionální rotací.
Existuje Lebesgueův difeomorfismus zachovávající míru dvourozměrného torusu, který je minimální, ale není ergodický ( Fürstenbergův příklad ).

Literatura

Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů s přehledem posledních úspěchů / Per. z angličtiny. vyd. A. S. Gorodetsky. - M .: MTSNMO , 2005. - S. 42. - 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .