Smíšený objem

Smíšený objem je numerická charakteristika množiny konvexních těles v -rozměrném euklidovském prostoru. $n$ $n$

Obvykle se označuje smíšený objem sady ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$

V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})

Definice

Nechte množinu konvexních těles a jsou kladná reálná čísla. Označte objemem těla ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\tečky ,\lambda _{n))$ $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky ,\lambda _{n})$

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\tečky +\lambda _{n}\cdot K_{n},

kde " " označuje Minkowského součet a $+$

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

Funkce je homogenní polynom stupně . Koeficient tohoto polynomu at je podle definice roven . $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky ,\lambda _{n})$ $n$ ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n))$ $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$

všimněte si, že

v(\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\tečky ,i_{n}=1}^ {n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\tečky ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_ {2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Vlastnosti

Pro libovolná nezáporná čísla , ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\tečky ,\lambda _{n))$ $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\tečky ,K_{n})$
Smíšený objem je při paralelních translacích těles v sadě invariantní.
Smíšený objem je monotónní s ohledem na zahrnutí těles.
Smíšený objem je spojitý s ohledem na Hausdorffovu metriku .
Smíšený objem není negativní.
- Navíc tehdy a jen tehdy, pokud je možné v každém nakreslit segment tak, aby tyto segmenty byly lineárně nezávislé. $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ $K_{i}$
Pro nezáporné celé číslo je smíšený objem kopií konvexního tělesa v a kopií jednotkové koule vyjádřen jako -tá průměrná příčná míra . Zejména $k\leq n$ $nk$ $K$ $\mathbb {R} ^{n}$ $k$ $k$ $K$
- Smíšený objem sady kopií se rovná normálnímu objemu . $n$ $K$ $K$
- Smíšený objem sady kopí a jedné koule se rovná ploše povrchu . $n-1$ $K$ ${\frac {1}{n}}$ $K$
Typický počet řešení systému polynomiálních rovnic se rovná smíšenému objemu Newtonových mnohostěnů . $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ $f_{i}$
Minkowského nerovnost $V^{n}(K,L,\tečky ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
Aleksandrov - Fenchelova nerovnost $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

Viz také

Hadwigerova věta

Literatura

Burago, Jurij Dmitrijevič , Viktor Abramovič Zalgaller . Geometrické nerovnosti. Věda, 1980.