Stabilita (dynamické systémy)

Stabilita je vlastnost řešení diferenciální rovnice přitahovat k sobě jiná řešení za předpokladu, že jejich počáteční data jsou dostatečně blízko . V závislosti na povaze přitažlivosti se rozlišují různé typy stability. Udržitelnost je předmětem studia v oborech, jako je teorie stability a teorie dynamických systémů .

Definice

Dovolit být oblast fázového prostoru , , Kde . Zvažte systém diferenciálních rovnic následujícího tvaru: $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ $\tau \in \mathbb {R}$

{\dot {x}}=f(t,x),

(jeden)

kde je funkce definovaná , spojitá a lokálně v doméně splňuje Lipschitzovu podmínku . $x \in \mathbb{R}^n$ $F$ $X$ $I\times\Omega$

Za těchto podmínek pro libovolný , existuje jedinečné řešení systému (1), které splňuje počáteční podmínky: [1] . Vybereme nějaké řešení definované na intervalu , takže ho budeme nazývat nerušené řešení. $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ $x(t,t_{0},x_{0})$ $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\varphi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty )$ $J^{+}\subset I$

Stabilita podle Ljapunova

Nerušené řešení soustavy (1) se nazývá Ljapunov stabilní , pokud pro jakoukoli a existuje , v závislosti pouze na a nikoli v závislosti na , takové, že pro libovolné , pro kterou se řešení soustavy (1) s počátečními podmínkami rozšiřuje na celou poloosa a pro libovolnou vyhoví nerovnosti [1] . $\varphi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $X$ $x(t_{0})=x_{0}$ $J^{+}$ ${\displaystyle t\in J^{+))$ $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$

Symbolicky je to napsáno takto:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepsilon .

Neporušené řešení soustavy (1) se nazývá nestabilní, pokud není Ljapunovově stabilní, tzn. $\varphi (t)$

\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .

Jednotná stabilita

Nerušené řešení soustavy (1) se nazývá rovnoměrně stabilní ve smyslu Ljapunova, pokud z předchozí definice závisí pouze na : $\varphi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .

Asymptotická stabilita

Nenarušené řešení soustavy (1) se nazývá asymptoticky stabilní, pokud je Ljapunov stabilní a atraktivní, to znamená, že podmínka je splněna pro jakékoli řešení s počátečními daty , pro které platí nerovnost pro některé . $\varphi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0))$ $\delta _{0}$

Existují určité varianty asymptotické stability [2] . Nerušené řešení soustavy (1) se nazývá: $\varphi (t)$

ekviasymptoticky stabilní, pokud je stabilní a ekviatraktivní ( nezávisí na ). $x(t)$ $x_{0}$
rovnoměrně asymptoticky stabilní, pokud je rovnoměrně stabilní a rovnoměrně přitahující ( nezávisí na a ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
globálně asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a globálně atraktivní (neexistuje žádné omezení na ). $x_{0}$
jednotně asymptoticky stabilní jako celek, pokud je jednotně stabilní a jednotně a globálně atraktivní.

Poznámka

Triviální řešení lze považovat za nerušené řešení systému , které zjednodušuje podmínky stability. K tomu je nutné zavést změnu řazení a zvážit systém $x(t)\equiv 0$ $y=x-\varphi$

{\dot {y}}=g(t,y),

kde $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Poznámky

↑ 1 2 Afanasiev a kol., 2003 , str. 9.
↑ Rush a kol., 1980 , s. 19.

Literatura

Bellman, R. Teorie stability řešení diferenciálních rovnic. -M.:Nakladatelství zahraniční literatury, 1954. (Ruština)
Chetaev, N. G. Stabilita pohybu. - 4. vydání, Rev. -M.:Nauka, 1990. - 176 s. —ISBN 5-02-014018-X. (Ruština)
Krasovský, N. N. Některé problémy teorie stability pohybu. —M.:Fizmatgiz, 1959. (Ruština)
Malkin IG Teorie stability pohybu. - 2. vydání, Rev. -M.:Nauka, 1966. (Ruština)
Demidovich, B. P. Přednášky o matematické teorii stability. —M.:Nauka, 1967. — 472 s. (Ruština)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR Matematická teorie navrhování řídicích systémů. - 3. vydání, Rev. a další .. - M . : Vyšší škola , 2003. - 614 s. — ISBN 5-06-004162-X . (Ruština)
Filippov, A. F. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. - Ed. 2. - Editorial URSS, 2007. - 240 s. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Přímá Ljapunovova metoda v teorii stability. — M .: Mir , 1980.