Leibnizova notace

Leibnizův zápis je matematický zápis vyvinutý Leibnizem pro analýzu infinitesimálů a široce používaný v matematické analýze (spolu s řadou dalších zápisů ). Hlavními symboly jsou a pro reprezentaci infinitezimálního přírůstku a funkce proměnné , respektive pro konečné přírůstky a [1] . $dx$ $dy$ $X$ $y$ $X$ ${\Delta }x$ ${\Delta }y$ $X$ $y$

Derivace s ohledem na , která se později začala považovat za limitu : $y$ $X$

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x )-f(x)}{\Delta x))

byl podle Leibnize poměr nekonečně malého přírůstku k nekonečně malému přírůstku : $y$ $X$

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

kde pravá strana je zápis pro derivaci funkce s ohledem na Lagrangeův zápis . Infinitezimální přírůstky se nazývají diferenciály . S tímto konceptem souvisí koncept integrálu , ve kterém se sčítají nekonečně malé přírůstky (například pro výpočet délky, plochy nebo objemu jako součtu malých kousků). Chcete-li napsat integrály, Leibniz navrhl úzce související zápis, který používá stejné diferenciály. Tento zápis měl velký význam ve vývoji kontinentální evropské matematiky. $F$ $X$

Leibnizův koncept infinitesimál zůstával dlouhou dobu nerigorózní, ale postupem času byl doplněn o rigorózní formulace vyvinuté Weierstrassem a dalšími matematiky 19. století. Jako důsledek, Leibniz zlomkový zápis přišel být viděn ne jako jednoduché rozdělení, ale byl definován přes průchod k limitu . Ve 20. století bylo navrženo několik dalších formalismů, které dávají infinitezimálnímu zápisu přísnost, včetně nestandardní analýzy , tečného prostoru a použití velkého „O“.[ specifikovat ] .

Na derivace a integrály matematické analýzy lze pohlížet z hlediska moderní teorie diferenciálních forem , ve které je derivace skutečně poměrem dvou diferenciálů a integrál se chová přesně v souladu s Leibnizovou notací. To však vyžaduje, aby derivace a integrál byly definovány v jiném smyslu, čímž by se odrážela konzistence a výpočetní účinnost Leibnizovy notace.

Historie

V 17. století začali matematici Newton a Leibniz nezávisle vyvíjet počet, operující s nekonečně malými veličinami . Zatímco Newton pracoval s fluxions , Leibniz založil svůj přístup na zobecnění součtů a rozdílů [2] . Leibniz byl první, kdo použil symbol . Tento symbol je odvozen z latinského slova summa („součet“), které učenec napsal jako ſumma pomocí prodlouženého písmene s , které se v té době často používalo v Německu. Vzhledem k tomu, že diferenciaci považoval za inverzní operaci k součtu [3] , použil Leibniz symbol – první písmeno latinského slova differentia („rozdíl“) [2] . $\textstyle \int$ $d$

Leibniz byl vybíravý v notaci, trávil roky experimentováním, laděním, vyřazováním a souhlasem s jinými matematiky [4] . Zápis, který používal pro proměnný diferenciál , se postupně měnil z , na konečný zápis [5] . Jeho integrální znak se poprvé objevil v článku „De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum“ (O skryté geometrii a analýze nedělitelného a nekonečného), publikovaném v časopise Acta Eruditorum v červnu 1686 [6] [7] , ale byl používané v soukromých rukopisech nejméně od roku 1675 [8] [9] [10] Leibniz poprvé použil označení v článku " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", rovněž publikovaném v časopise Acta Eruditorum v roce 1684 [11] . Přestože se výraz objevil v soukromém rukopisu z roku 1675 [12] [13] , ve zmíněných publikacích nebyl v této podobě použit. V tisku používal Leibniz výrazy pro odlišení ve tvaru a [11] . $y$ $\omega$ $l$ ${\tfrac {y}{d))$ $dy$ $dx$ ${\tfrac {dy}{dx))$ $dyaddx$ $dy:dx$

Angličtí matematici používali Newtonovu tečkovou notaci až do roku 1803, kdy Robert Woodhouse publikoval popis kontinentální notace. Pozdnější Cambridge univerzitní analytická společnost podporovala adaptaci Leibniz notace.

Koncem 19. století přestali následovníci Weierstrasse brát Leibnizův zápis pro derivace a integrály doslovně. Matematici cítili, že koncept infinitezimálů obsahuje logický rozpor. Někteří matematici 19. století (Weierstrass a další) formulovali matematicky přísné metody pro zacházení s derivacemi a integrály bez použití infinitesimálů. Weierstrassova matematická formalizace používala pojetí limity , jak je ukázáno výše. Cauchy přitom používal infinitesimály i limity (viz Cours d'Analyse ). V současné době se Leibnizova notace nadále aktivně používá, ale nelze ji brát doslova. Leibnizova notace je často jednodušší než alternativní notace: například při použití techniky separace proměnných při řešení diferenciálních rovnic. Také Leibnizův zápis je v souladu s rozměrovou analýzou . Nechť je například posunutí, které se měří v metrech, a nechť je čas měřený v sekundách. Přírůstky veličin mají odpovídající rozměry, to znamená, že mají rozměr délky a rozměr času. Derivace určí rychlost s rozměrem m/s . Podobně integrál určí posun měřený v metrech. $Svatý)$ $t$ $ds$ $dt$ $v(t)=ds/dt$ ${\textstyle s=\int v(t)\,dt}$

Leibnizova notace pro diferenciaci

Nechť je závislá proměnná funkcí nezávisle proměnné : . Potom lze derivaci funkce v Leibnizově zápisu pro derivování zapsat jako: $y$ $F$ $X$ $y=f(x)$ $F$

{\frac {dy}{dx))\quad

nebo nebo .

\quad {\frac {d}{dx}}y\quad

\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}

Leibnizův výraz, psaný jako , je jedním z obecně přijímaných zápisů pro derivát. Alternativou je Lagrangeova notace s prvočíslem $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

a zápis v newtonovském zápisu , který vyžaduje umístění tečky nad závislou proměnnou (v tomto případě ): $y$

{\frac {dy}{dt}}={\tečka {y}}

Newtonovská notace se často používá k zápisu derivací s ohledem na čas (podobně jako rychlost ). Lagrangeův zápis „ tahu “ je stručnější a umožňuje zapsat derivaci funkce v určitém bodě. Například záznam označuje první derivaci funkce v bodě . Označení Leibniz má však své výhody, které mu umožňují zůstat populární i po mnoha letech. $f'(x_{0})$ $f(x)$ $x = x_0$

V moderní interpretaci by výraz neměl být považován za přímou úměru dvou infinitezimálních veličin a (jak si Leibniz představoval), ale za jediný výraz, což je zkratka pro přerozdělení: ${\tfrac {dy}{dx))$ $dy$ $dx$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))

zde použitý znak je , který označuje konečný rozdíl, spíše než , který označuje infinitesimál, jak je interpretován Leibnizem. ${\Delta }$ $d$

Výraz lze také chápat jako působení diferenciálního operátoru (opět jediného symbolu) na proměnnou , se kterou se zachází jako s funkcí nezávisle proměnné . Tento operátor je také zapsán jako v Eulerově zápisu . Leibniz nepoužil tuto formu, ale aplikoval symbol docela blízko k modernímu pojetí. ${\tfrac {d}{dx))$ $y$ $X$ $D$ $d$

Ačkoli Leibnizův zápis neznamená žádné skutečné dělení, podílový zápis je užitečný v mnoha situacích. Protože se derivační operátor v mnoha případech chová podobně jako operace dělení, Leibnizův zápis usnadňuje pochopení a zapamatování některých výsledků souvisejících s derivacemi [14] . Již dříve tedy bylo zmíněno, že dimenze veličin se při derivaci chovají jako při běžném dělení, dalším názorným příkladem je pravidlo derivace komplexní funkce , které je v Leibnizově notaci zřejmé a nabývá podoby blízké tautologii:

{\frac {dy}{dt}}\,=\,{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

Leibnizova notace má tak dlouhou životnost, protože zasahuje do samotného jádra geometrických a mechanických aplikací analýzy [15] .

Leibnizova notace pro deriváty vyššího řádu

Jestliže , pak je -tá derivace funkce v Leibnizově zápisu dána výrazem [16] $y=f(x)$ $n$ $F$

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n))))

Tento zápis pro druhou derivaci se získá tak, že se použije jako operátor takto [16] : ${\tfrac {d}{dx))$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \že jo)

Třetí derivace, kterou lze zapsat jako:

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

lze získat z:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2))}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\vpravo)\vpravo)

Podobným způsobem lze z instrukcí získat deriváty vyšších řádů. Ačkoli, s pečlivě vybranými definicemi, výraz může být interpretován jako kvocient dvou diferenciálů , nemělo by se to dělat pro diferenciální formy vyššího řádu [17] . ${\tfrac {dy}{dx))$

Toto označení Leibniz nepoužíval. V tištěných dílech nepoužíval ani vícestupňový zápis, ani číselné exponenty (až do roku 1695). Například, aby si zapsal , mohl Leibniz použít tehdy přijatou notaci . Druhá mocnina diferenciálu, která se objevuje například ve vzorci délky křivky , byla zapsána jako . Kromě toho Leibniz použil svůj zápis ve smyslu, ve kterém se nyní používají operátory, to znamená, že mohl napsat druhou derivaci jako , a třetí jako . V 1695, Leibniz začal psát pro a pro a příslušně, ale Lopital , v knize o počtu psané kolem stejného času, používal originální formu Leibniz notace [18] . $x^{3}$ $xxx$ $dxdx$ $d$ $ddy$ $dddy$ $d^{2}\cdot {x}$ $d^{3}\cdot {x}$ $ddx$ $dddx$

Použití v různých vzorcích

Jedním z důvodů, proč Leibnizova notace vydržela tak dlouho v kalkulu, je to, že usnadňuje zapamatování různých vzorců používaných pro diferenciaci a integraci. Například vzorec pro derivování komplexní funkce . Nechť je funkce diferencovatelná vzhledem k a nechť je funkce diferencovatelná vzhledem k . Složení funkcí je diferencovatelné vzhledem k a její derivaci lze vyjádřit v Leibnizově notaci jako [19] $g(x)$ $X$ $y=f(u)$ $u=g(x)$ $y(x)=f(g(x))$ $X$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

Vzorec lze zobecnit tak, aby pracoval se složením několika souvisejících funkcí definovaných vhodným způsobem ${\displaystyle u_{1},u_{2},\tečky ,u_{n))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}

Vzorec pro změnu proměnné v integrálu lze znázornit výrazem [20] :

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

kde je považováno za funkci nové proměnné , funkce nalevo je vyjádřena v podmínkách a napravo v podmínkách . $X$ $u$ $y$ $X$ $u$

Nechť , kde je invertibilní diferencovatelná funkce, pak derivaci inverzní funkce (pokud existuje) lze vyjádřit jako [21] $y=f(x)$ $F$

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right))),

kde jsou závorky přidány pro zdůraznění skutečnosti, že derivace není kvocient, ale výraz je třeba posuzovat jako celek. Při řešení některých typů diferenciálních rovnic je však dovoleno pracovat s diferenciály i samostatně . Zvažte jeden z nejjednodušších typů diferenciálních rovnic [22] ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$ $dy$ $dx$

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

kde a jsou spojité funkce jejich argumentů. Řešení (implicitně) takové rovnice lze získat zkoumáním rovnice v jejím diferenciálním tvaru . $M$ $N$

M(x)\,dx+N(y)\,dy=0

Po integraci dostaneme

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Tato technika pro řešení diferenciálních rovnic se nazývá metoda separace proměnných .

V každém z příkladů se Leibnizův zápis derivátu projevuje jako kvocient, a to navzdory skutečnosti, že v moderní interpretaci se s výrazem nezachází jako se skutečným dělením. ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$

Moderní zdůvodnění infinitezimálů

V 60. letech 20. století, navazující na ranou práci Edwina Hewitta a Jerzyho Losa navrhl Abraham Robinson matematické zdůvodnění Leibnizových infinitesimálů, které bylo přijatelné pro dnešní standardy přísnosti, a vyvinul nestandardní analýzu založenou na těchto myšlenkách. Tento přístup si získal určitou oblibu, Jerome Keisler na jeho základě napsal učebnici pro první kurz „Začátky analýzy: Nekonečně malý přístup“, ale Robinsonovy metody nebyly široce používány.

Z hlediska moderní teorie infinitezimálů je nekonečně malý přírůstek , je odpovídající přírůstek a derivace je standardní součástí nekonečně malého poměru: ${\Delta }x$ $X$ ${\Delta }y$ $y$

{\displaystyle f'(x)={\rm {st)){\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x)){\Bigg )))

Potom dáváme rovnítko , , takže podle definice je vztah k . $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$ $dy$ $dx$

Podobně, ačkoli většina matematiků rozumí integrálu:

\int f(x)\,dx

jako limit:

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\součet _{i}f(x_{i})\,\Delta x

kde je interval obsahující , Leibniz to viděl jako součet (integrální symbol pro něj označoval součet) nekonečně velkého množství nekonečně malých množství . Z hlediska nestandardní analýzy je správné považovat integrál za standardní část takového nekonečného součtu. ${\Delta }x$ $x_{i}$ $f(x)dx$

Výměnou za přesnost konceptu je nutné rozšířit množinu reálných čísel na množinu hyperreálných čísel .

Další Leibnizova označení

Leibniz experimentoval s mnoha různými zápisy v různých oblastech matematiky. Cítil, že dobrý zápis sloužil zásadní roli ve studiu matematiky. V dopise Lopitalovi z roku 1693 píše [23] :

Jedním z tajemství analýzy je charakterizace, tedy umění mistrně používat dostupné symboly, a vidíte, pane, že za malými bariérami [pro determinanty] Vieta a Descartes neviděli všechna tajemství

Postupem času zdokonalil své kritérium dobrého zápisu a pochopil význam „použití symboliky, kterou lze zapsat do řetězce jako jednoduché písmeno, aniž by bylo nutné rozšiřovat šířku řádků, aby bylo možné psát znaky s prostornými částmi“. [24] Například ve své rané tvorbě často používal ke seskupování znaků overbar, ale později k tomu navrhl použít pár závorek, čímž usnadnil práci sazečům, kteří nyní již nepotřebují rozšiřovat mezery mezi řádky na stránku a stránky začaly vypadat atraktivněji [25] .

Mnoho z 200 nových symbolů představených Leibnizem se dodnes používá [26] . Kromě diferenciálů a integrálního znaménka ( ) zavedl také dvojtečku ( ) pro dělení, tečku ( ) pro násobení, geometrické znaky podobnosti ( ) a shody ( ), použití znaménka rovná se záznamu ( ) pro proporce (místo Ottredova zápisu ), a dvojitá přípona pro determinanty [23] . $dx$ $dy$ $\textstyle \int$ $\colon$ $\cdot$ $\sim$ $\cong$ $=$ $\colon \colon$

Viz také

Poznámky

↑ Stewart, 2008 .
↑ 1 2 Katz, 1993 , str. 524.
↑ Katz, 1993 , str. 529.
↑ Mazur, 2014 , str. 166.
↑ Cajori, 1993 , str. sv. II 203 poznámka pod čarou 4.
↑ Swetz, 2015 .
↑ Stillwell, 1989 , s. 110.
↑ Leibniz, 2005 , str. 73–74, 80.
↑ Leibniz, 2008 , str. 288-295, 321-331.
↑ Aldrich, John. Nejstarší použití symbolů počtu . Získáno 20. dubna 2017. Archivováno z originálu 1. května 2015. (neurčitý)
↑ 1 2 Cajori, 1993 , str. sv. II 204.
↑ Leibniz, 2008 , str. 321–331, 328.
↑ Cajori, 1993 , str. sv. II 186.
↑ Jordan, Smith, 2002 , str. 58.
↑ Cajori, 1993 , str. sv. II 262.
↑ 1 2 Briggs, Cochran, 2010 , str. 141.
↑ Swokowski, 1983 , s. 135.
↑ Cajori, 1993 , str. sv. II 204-205.
↑ Briggs, Cochran, 2010 , str. 176.
↑ Swokowski, 1983 , s. 257.
↑ Swokowski, 1983 , s. 369.
↑ Swokowski, 1983 , s. 895.
↑ 1 2 Cajori, 1993 , str. sv. II 185.
↑ Cajori, 1993 , str. sv. II 184.
↑ Mazur, 2014 , str. 167-168.
↑ Mazur, 2014 , str. 167.

Literatura

Florian Cajori. Historie matematických notací . - New York: Dover, 1993. - ISBN 0-486-67766-4 .
Josef Mazur. Osvětlující symboly / Krátká historie matematického zápisu a jeho skrytých schopností. - Princeton University Press, 2014. - ISBN 978-0-691-17337-5 .
James Stewart. Calculus: Rané transcendentály . — 6. — Brooks/Cole , 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
Victor J. Katz Historie matematiky / Úvod . - Addison Wesley Longman, 1993. - ISBN 978-0-321-01618-8 .
Frank J. Swetz. Mathematical Treasure: Leibniz's Papers on Calculus — Integral Calculus . - Mathematical Association of America , 2015. - (Konvergence).
John Stillwell . Matematika a její historie . - Springer, 1989.
Leibniz GW The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz / přeložil JM Child. - Dover, 2005. - S. 73–74, 80. - ISBN 978-0-486-44596-0 .
Leibniz GW Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: // Mathematische Schriften, . - Berlin: Akademie Verlag, 2008. - V. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676. Stránky 288–295 Archivováno 9. října 2021 na Wayback Machine („Analyseos tetragonisticae pars secunda“, 29. října 1675) 321-331 Archivováno 3. října 2016 na Wayback Machine („Methodi tangentium inversae inversae 155“, listopad 36115, listopad 36115 -331 esp. 328 Archivováno 3. října 2016 na Wayback Machine („Methodi tangentium inversae exempla“, 11. listopadu 1675).
Jordan DW, Smith P. Matematické techniky: Úvod do inženýrských, fyzikálních a matematických věd. - Oxford University Press, 2002. - S. 58.
William Briggs, Lyle Cochran. Kalkul / Rané transcendentály / Jedna proměnná . - Addison-Wesley, 2010. - ISBN 978-0-321-66414-3 .
hrabě W. Swokowski. Počet s analytickou geometrií . — Střídat. — Prindle, Weber a Schmidt, 1983. — ISBN 0-87150-341-7 .