Záporné číslo
Záporné číslo je prvek množiny záporných čísel, který se (spolu s nulou ) objevil v matematice při rozšíření množiny přirozených čísel [1] . Hlavním účelem rozšíření bylo učinit odčítání stejně plnohodnotnou operací jako sčítání . V rámci přirozených čísel lze od většího odečíst pouze menší číslo a komutativní zákon odčítání nezahrnuje – například výraz je platný, ale výraz s permutovanými operandy nikoli.
Přidání záporných čísel a nuly k přirozeným číslům umožňuje odečítání pro jakoukoli dvojici přirozených čísel. Výsledkem takového rozšíření je množina ( kruh ) " celých čísel ". S dalším rozšířením množiny celých čísel na racionální a reálná čísla se pro ně získají odpovídající záporné hodnoty stejným způsobem. Pro komplexní čísla pojem „záporné číslo“ neexistuje.
Konstrukce záporných čísel
Pozice záporných čísel na číselné ose (zvýrazněno červeně)Pro každé přirozené číslo existuje pouze jedno záporné číslo, označované jako doplněk nuly :
Obě čísla se nazývají protiklady . Další přirozená čísla se budou nazývat „kladná“, na rozdíl od „záporných“. Pokud je pozitivní, pak je jeho opak záporný a naopak. Nula je protikladná sama k sobě [1] . Kladné a záporné hodnoty pro racionální a reálná čísla jsou definovány podobně : každé kladné číslo je spojeno se záporem
Pro záporná čísla, stejně jako pro kladná, je definováno řazení , které umožňuje porovnat jedno číslo s druhým. Všechna záporná čísla a pouze ona jsou menší než nula a také menší než kladná čísla. Na číselné ose jsou nalevo od nuly záporná čísla.
Absolutní hodnotou čísla je toto číslo se znaménkem zahozený [2] . Označení:
Příklady:
Odečtení čísla ' od jiného čísla je ekvivalentní přičítání k opačnému pro :
Příklad:
Informace o tom, jak provádět aritmetické operace se zápornými čísly, najdete v tématu Integer#Algebraic Properties .
Vlastnosti záporných čísel
Záporná čísla se řídí téměř stejnými algebraickými pravidly jako přirozená čísla, ale mají některé zvláštnosti.
- Pokud je jakákoli množina kladných čísel ohraničena níže, pak jakákoli množina záporných čísel je ohraničena výše.
- Při násobení celých čísel platí pravidlo znamének : součin čísel s různými znaménky je záporný, se stejným - kladný.
- Když se obě strany nerovnosti vynásobí záporným číslem, znaménko nerovnosti se obrátí. Například vynásobením nerovnosti 3 < 5 −2 dostaneme −6 > −10.
Při dělení zbytkem může mít podíl libovolné znaménko, ale zbytek je podle konvence vždy nezáporný (jinak není jednoznačně určen). Například dělení −24 5 se zbytkem umožňuje dvě reprezentace:
Správná je pouze první z nich, ve které je zbytek nezáporný.
Variace a zobecnění
Koncepty kladných a záporných čísel lze definovat v jakémkoli uspořádaném kruhu . Nejčastěji se tyto pojmy vztahují k jedné z následujících číselných soustav:
Výše uvedené vlastnosti 1-3 platí i v obecném případě. Pojmy „kladný“ a „záporný“ se nevztahují na komplexní čísla .
Historický nástin
Starověký Egypt , Babylon a starověké Řecko nepoužívaly záporná čísla, a pokud byly získány záporné kořeny rovnic (při odečtení), byly zamítnuty jako nemožné. Výjimkou byl Diophantus , který již ve 3. století znal pravidlo znamení a uměl násobit záporná čísla. Považoval je však pouze za mezistupeň, užitečný pro výpočet konečného, pozitivního výsledku.
Poprvé byla záporná čísla částečně legalizována v klasickém čínském pojednání „ Matematika v devíti knihách “ (II. století př. n. l.) a poté (asi od 7. století) v Indii , kde byla interpretována jako dluhy (nedostatek), popř. , jako v Diophantus (III. století našeho letopočtu), byly uznány jako dočasné hodnoty. Násobení a dělení pro záporná čísla ještě nebylo definováno. Užitečnost a zákonnost záporných čísel byla stanovena postupně. Již indický matematik Brahmagupta ( 7. století ) je považoval za rovnocenné s kladnými, všechny čtyři operace definoval se zápornými čísly.
V Evropě došlo k uznání o tisíc let později a i tehdy byla záporná čísla po dlouhou dobu nazývána „falešnými“, „imaginárními“ nebo „absurdními“. První jejich popis v evropské literatuře se objevil v „Knize počítadla“ od Leonarda z Pisy ( 1202 ), který záporná čísla považoval za dluh. Bombelli a Girard ve svých spisech považovali záporná čísla za docela přijatelná a užitečná, zejména k označení nedostatku něčeho. Dokonce v 17. století , Pascal věřil, že , protože “nic nemůže být méně než nic” [3] . Ohlasem té doby je skutečnost, že v moderní aritmetice se operace odčítání a znaménko záporných čísel označují stejným symbolem ( minus ), i když algebraicky jde o zcela odlišné pojmy.
V 17. století , s příchodem analytické geometrie , získala záporná čísla vizuální geometrickou reprezentaci na číselné ose díky zavedení pravoúhlého souřadnicového systému René Descartesem v roce 1637. Od tohoto okamžiku přichází jejich úplná rovnost. Přesto byla teorie záporných čísel dlouhou dobu v plenkách. Například se aktivně diskutovalo o podivném poměru - v něm je první termín vlevo větší než druhý a vpravo - naopak, a ukázalo se, že větší se rovná menšímu (" Arnoův paradox "). Wallis věřil, že záporná čísla jsou menší než nula, ale zároveň více než nekonečno [4] . Také nebylo jasné, jaký význam má násobení záporných čísel a proč je součin záporných čísel kladný; na toto téma se vedly bouřlivé diskuse. Gauss v roce 1831 považoval za nutné objasnit, že záporná čísla mají v zásadě stejná práva jako kladná, a to, že se nevztahují na všechny věci, nic neznamená, protože zlomky také neplatí pro všechny věci (např. nejsou použitelné při počítání osob) [5] .
Kompletní a docela rigorózní teorie záporných čísel byla vytvořena až v 19. století ( William Hamilton a Hermann Grassmann ).
Slavná záporná čísla
| Číslo | Význam čísla | Poznámky |
|---|---|---|
| -273,15 °C | Teplota absolutní nuly | Toto je nula stupňů Kelvina. |
| −1,602 176 565 10 −19 C | Elektronový náboj | Elementární náboj může být i kladný - pro protony a pozitrony . |
| −2,7 10 −9 | De Bruijn-Newmanova konstanta | Číselná hodnota je podle roku 2000. |
Viz také
Poznámky
- ↑ 1 2 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 111-113.
- ↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 114.
- ↑ Sukhotin A. K. Peripetie vědeckých myšlenek. M.: Mol. hlídat. 1991, strana 34.
- ↑ Panov V.F., 2006 , s. 399..
- ↑ Alexandrova N.V. Matematické termíny. (Příručka). Moskva: Vyšší škola, 1978, s. 164.
Literatura
- Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 stran.
- Glazer G.I. Historie matematiky ve škole . - M . : Vzdělávání, 1964. - 376 s.
- Panov VF Záporná čísla // Matematika starověká a mladá. - Ed. 2., opraveno. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 398-401. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
 Slovníky a encyklopedie | |
|---|---|
| V bibliografických katalozích |
|