D'Alembertův paradox

D'Alembertův paradox  ( D'Alembert-Eulerův paradox ) je výrok v hydrodynamice ideální tekutiny , podle kterého ve stacionární (ne nutně potenciální [1] [2] a neoddělené [1] [ 3] ) obtéká pevné těleso neomezeným translačním přímočarým prouděním, diskrepance kapalina, za předpokladu, že parametry jsou vyrovnány daleko před a za tělesem, odporová síla je nulová.

Variace jmen pro paradox

Spolu se jménem d'Alembertův paradox [4] se ve vědecké literatuře objevují názvy d'Alembert-Eulerův paradox , Euler-D'Alembertův paradox [5] [6] a Eulerův paradox [7] .

Historické pozadí

Sommerfeld [8] s odkazem na Oseena uvádí Spinozu jako raného badatele paradoxu. Zřejmě mluvíme o práci „Základy Descartovy filozofie, dokázané geometrickou metodou“, ve které Spinoza rozebírá podmínky, za kterých by se „těleso, například naše ruka, mohlo pohybovat libovolným směrem stejným pohybem, aniž by při nejmenším působit proti jiným orgánům a bez odporu jiných orgánů“ [9] . Ve speciálním případě proudění kolem tělesa symetrického podle příčné roviny uvnitř kanálu objevil mizející odpor d'Alembert v roce 1744 [10] . Obecně (pro těleso libovolného tvaru) bylo mizení odporové síly stanoveno Eulerem v roce 1745 [11] . Termín „ paradox “ poprvé použil d'Alembert v roce 1768 k charakterizaci mizejícího odporu [12] .

Různé verze d'Alembertova paradoxu

Na základě Galileiho principu relativity lze také mluvit o d'Alembertově paradoxu v případě translačního přímočarého pohybu tělesa konstantní rychlostí v nekonečném objemu ideální tekutiny, která je v nekonečnu v klidu.

Navíc d'Alembertův paradox platí pro proudění kolem tělesa uzavřeného v nekonečném válcovém kanálu.

Vlastnosti formulace d'Alembertova paradoxu

Je důležité poznamenat, že formulace paradoxu se týká pouze nepřítomnosti složky síly působící na těleso, která je rovnoběžná s prouděním v nekonečnu (nepřítomnost odporové síly ). Silová složka, která je kolmá k proudění ( vztlak ), může být nenulová, i když jsou splněny všechny podmínky paradoxu (tak je tomu například u dvourozměrných úloh: vztlak se počítá pomocí známého Zhukovského vzorec ).

Věnujme pozornost tomu, že moment sil působících na těleso ze strany proudění může být obecně různý od nuly. V případě kontinuálního proudění kolem desky nakloněné k proudění tedy i při nulové rychlosti oběhu (a následně při nulové zdvihové síle) vzniká moment sil, který má tendenci desku otáčet napříč proudem.

Za přítomnosti tělesných sil (například gravitace) může být těleso ovlivněno Archimedovou silou , ale nelze ji považovat za složku odporové síly, protože v klidu nezaniká v tekutině.

Případy porušení d'Alembertova paradoxu

Jak je známo, když kolem tělesa proudí skutečné proudění tekutiny, vždy existuje nenulová odporová síla, jejíž přítomnost je vysvětlena porušením určitých podmínek obsažených ve formulaci d'Alembertova paradoxu. Zejména,

• pokud kapalina není ideální (má konečnou viskozitu), může vzniknout odporová síla, přímo nebo nepřímo související s působením viskózního tření;
• není-li pohyb tělesa v tekutině stacionární, pak i v modelu nevazké tekutiny vzniká setrvačná odporová síla, a to z toho důvodu, že při pohybu tělesa proměnnou rychlostí se kinetická energie okolní tekutiny mění se s časem;
• pokud proudění není spojité (např. jsou v proudění plochy diskontinuity), pak se parametry proudění daleko před a za tělesem nemusí shodovat, což vede k nenulovému odporu. Příklady jsou
  • těleso v plochém toku, které za sebou vytváří řetězec koncentrovaných vírů ( Karmanův model vírové ulice );
  • křídlo konečného rozpětí, od kterého plocha nespojitosti tečné složky rychlosti klesá do nekonečna (tzv. vírová vrstva); odpor spojený s tímto jevem se nazývá induktivní;
  • vznik rázových vln v proudění nadzvukového plynu kolem těla;
• pokud tekutina nezabírá celý prostor kolem těla, pak může být porušen i d'Alembertův paradox. Typickými příklady jsou
  • vznik za tělem dutiny jdoucí do nekonečna naplněné kapalinou v klidu (schéma proudění Kirchhoff-Helmholtzovy trysky, simulující kavitační dutinu);
  • tvorba vln na povrchu kapaliny ( gravitační vlny na vodě), jejichž vytvoření vyžaduje náklady na energii, což vede ke vzniku vlnového odporu ; odpor způsobený výskytem vnitřních vln , když se těleso pohybuje ve stratifikované tekutině (řekněme na hranici dvou vrstev tekutiny s různou hustotou), má podobnou povahu;
• pokud se parametry proudění daleko před a za tělesem nevyrovnají, pak může být odporová síla také nenulová. Zejména se jedná o případ, kdy je toku dodávána tepelná energie nebo když se za tělesem vytvoří oblast („stopa“), jejíž parametry se liší od parametrů hlavního toku v nekonečnu.

Experimentální výsledky

Pokud vytvoříme podmínky, ve kterých se proudění kolem tělesa bude dostatečně blížit podmínkám ve formulaci d'Alembertova paradoxu, například dáme tělesu proudnicový (kapkovitý nebo elipsoidní) tvar, pak je možné dosáhnout významného – desetinásobně a stonásobně – snížení odporu ve srovnání se špatně usměrněným (například ve tvaru krychle) tělesy se stejnou střední částí . Výše uvedené platí pro toky při vysokých Reynoldsových číslech ; v opačném případě malých Reynoldsových čísel (tzv. plazivé proudy ) může být odpor podlouhlých kapkovitých těles s velkým povrchem naopak větší než odpor těles "špatně proudnicových".

Když se částice pohybují v pevných látkách , je znám efekt „superhlubokého průniku“ [13] . Jedno z vysvětlení tohoto efektu je kvalitativně podobné d'Alembertovu paradoxu: snížení odporu je dosaženo tím, že za určitých podmínek se sníží dopad částice na její okolí (kanál vytvořený za částicí se zhroutí [ 14] [15] a dochází k plastickým deformacímvýrazným [16] ).

Literatura

• Grimberg G., Pauls W., Frisch U. Genesis d'Alembertova paradoxu a analytické rozpracování problému odporu  // Physica D. - 2008. - T. 237 .

Odkazy

• D'Alembert-Eulerův paradox - článek z Velké sovětské encyklopedie . 

Viz také

• Duboisův paradox

Poznámky

1. ↑ 1 2 „Při dokazování d'Alembertova paradoxu se obecně nepředpokládá, že pohyb kapaliny je potenciální a že v kapalině nejsou žádné konečné dutiny naplněné plynem, párou nebo kapalinou“ ( Sedov L.I. Continuum Mechanics - M .: Nauka, 1970. - T. 2. - S. 74. - 568 s. ).
2. ↑ Cherny G. G. Dynamika plynu . - M .: Nauka, 1988. - S. 118-120. — 424 s. — ISBN 5-02-013814-2 .
3. ↑ „Pokud by dutina měla konečnou délku, pak by na základě známé vlastnosti ustáleného irrotačního pohybu <...> odporová síla působící ze strany tekutiny na těleso spolu s dutinou byla rovna nula, a proto by se rovnala nule a odporová síla působící na tělo “( Batchelor J. Úvod do dynamiky tekutin / Přeloženo z angličtiny pod vedením G. Yu. Stepanova . - M. : Mir, 1973. - S. 614. - 760 s. ).
4. ↑ Sedov, str. 71.
5. ↑ Černá, str. 120.
6. ↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Teoretická hydromechanika . - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 1. - 584 s.
7. ↑ Chaplygin S. A. Výsledky teoretických studií o pohybu letadel // Selected Works. Mechanika kapalin a plynů. Matematika. Obecná mechanika. - M .: Nauka, 1976. - S. 131-141 .
8. ↑ Sommerfeld A. Mechanika deformovatelných médií / Per. s ním. E. M. Lifshitz . - M. : IL , 1954. - S. 264. - 488 s.
9. ↑ Spinoza B. [libgen.org/book/index.php?md5=BC592FA6208C2CF7A4852EDBDD999B7C Vybraná díla ve dvou svazcích] / General ed. a úvod. článek V. V. Sokolova. - M .: Politizdat , 1957. - T. 1. - S. 256. - 632 s.  (nedostupný odkaz)
10. ↑ Položka 247 a obr. 77 v knize: D'Alembert. Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides . — 1744.
11. ↑ Euler L. Nové základy pro dělostřelectvo  // Ed. BN Okunev Výzkum v balistice. - M .: Fizmatlit, 1961. - S. 7-452 .
12. ↑ D'Alembert. Paradoxe proposé aux Géomètres sur la resist des fluides  // Opuscules mathématiques. - Paříž, 1768. - T. 5 . - S. 132-138 .
13. ↑ Kozorezov K. I., Maksimenko V. N., Usherenko S. M. Zkoumání účinků interakce diskrétních mikročástic s pevnou látkou // Vybrané problémy moderní mechaniky. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1981. - S. 115-119 .
14. ↑ Grigoryan S.S. O povaze „superhlubokého“ pronikání pevných mikročástic do pevných materiálů // DAN SSSR. - 1987. - T. 292 , č. 6 . - S. 1319-1323 .
15. ↑ Cherny G.G. Mechanismus abnormálně nízkého odporu při pohybu těles v pevných médiích // DAN SSSR. - 1987. - T. 292 , č. 6 . - S. 1324-1328 .
16. ↑ Kiselev S.P., Kiselev V.P. O mechanismu superhlubokého pronikání částic do kovové bariéry  // Prikl. - 2000. - T. 41 , č. 2 . - S. 37-46 .