Primitivní kořen jednoty

Primitivní kořen (nebo primitivní kořen ) jednoty v poli je prvek jako pro jakýkoli přirozený . $m$ $K$ $\xi \in K$ $\xi ^{m}=1$ $\xi ^{\ell }\not =1$ $\ell <m$

Jestliže je obor komplexních čísel , pak mocniny primitivního kořene tvoří cyklickou skupinu kořenů řádu z jednoty. $K$ $\xi$ $m$

Vlastnosti

Jestliže tam je primitivní kořen míry v poli , pak to je coprime s charakteristikou pole . $K$ $m$ $m$ $K$
Algebraicky uzavřené pole obsahuje primitivní kořen libovolného stupně coprime s charakteristikou pole.
Jestliže je primitivní kořen stupně , pak pro každé relativně prvočíslo c je prvek také primitivním kořenem. Z toho zejména vyplývá, že počet všech primitivních kořenů stupně (pokud existují) se rovná hodnotě Eulerovy funkce . $\xi$ $m$ $\ell$ $m$ ${\displaystyle \xi ^{\ell ))$ $m$ $\varphi(m)$
V oboru komplexních čísel mají primitivní kořeny stupně m tvar: $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m))+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m }}$ , kde je coprime s . $\ell$ $m$

V konečném poli , kde q je mocnina prvočísla , je primitivní kořen stupně generátorem (cyklické) multiplikativní grupy tohoto pole a nazývá se primitivní prvek . $\mathbb {F} _{q}$ $q-1$

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra. Definice, věty, vzorce . - Petrohrad. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
Milne, James S. Algebraická teorie čísel . Poznámky ke kurzu (2014). Získáno 1. října 2014. Archivováno z originálu 17. prosince 2014. (neurčitý)