Morseova přestavba

Chirurgie nebo Morseova přestavba je transformace hladkých variet , kterou podstoupí varieta úrovně hladké funkce, když prochází nedegenerovaným kritickým bodem ; nejdůležitější konstrukce v diferenciální topologii .

Důležitá role chirurgie v topologii manifoldů se vysvětluje tím, že umožňují „jemně“ (bez porušení té či oné vlastnosti manifoldu) zničit „extra“ homotopické skupiny (operace „slepování buňky“, obvykle použitý pro tento účel v teorii homotopie, okamžitě vede ven z třídy variet) . Téměř všechny klasifikační teorémy pro struktury na varietách jsou založeny na studiu otázky, kdy pro mapování uzavřené variety do buněčného prostoru existuje takový bordismus a takové mapování , že , a je homotopická ekvivalence . Přirozeným způsobem, jak tento problém vyřešit, je zničit jádra homomorfismů řadou operací. $f:M\to X$ $M$ $X$ $(W;M,N)$ $F:W\to X$ $F|_{M}=f$ $F|_{N}:\to X$ $f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ (kde jsou homotopické skupiny ). Pokud se to podaří, pak výsledné zobrazení bude homotopická ekvivalence. Studium odpovídajících překážek (které leží v tzv. Wallových grupách ) bylo jedním z hlavních podnětů ve vývoji algebraické L-teorie . $\pi _{k}$

Konstrukce

Dovolit být hladký- dimenzionální varieta (bez hranic), do kterého je -rozměrná koule (hladce) vnořena . Předpokládejme, že normální svazek koule v manifoldu je triviální, to znamená, že uzavřené trubkové okolí koule v B se rozloží na přímý součin , kde je disk o rozměru . Výběrem takového rozkladu jsme vystřihli interiér sousedství . Získá se manifold, jehož hranice se rozloží na součin koulí. Přesně stejnou hranici má rozdělovač . Identifikací hran těchto variet pomocí difeomorfismu , který zachovává strukturu přímého součinu , opět získáme varietu bez hranic, která se nazývá výsledek manifoldové operace podél koule . $PROTI$ $n$ $(k-1)$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $PROTI$ $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $PROTI$ $T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$ $D^{n-k+1}$ $n-k+1$ $PROTI$ $T$ ${\displaystyle S^{k-1}\times S^{nk))$ ${\displaystyle D^{k}\times S^{nk))$ $PROTI'$ $PROTI$ ${\displaystyle S^{k-1))$

Pro provedení operace je nutné nastavit rozklad okolí koule na přímý součin, tedy trivializaci normálního svazku koule v manifoldu , přičemž různé trivializace (riggingy) mohou dát výrazně odlišné (i homotopie) manifoldy . $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $PROTI$ $PROTI'$

Číslo se nazývá chirurgický index a dvojice se nazývá chirurgický typ. Pokud se získá z typu operace , pak se získá z typu operace . Pro , manifold je disjunktní spojení manifoldu (který může být v tomto případě prázdný) a koule . $k$ $(k,n-k+1)$ $PROTI'$ $PROTI$ $(i, j)$ $PROTI$ $PROTI'$ $(j,i)$ $k=0$ $PROTI'$ $PROTI$ $S^{n}$

Příklady

S a jako výsledek chirurgického zákroku se získá disjunktní spojení dvou sfér as - torus . $V=S^{2}$ $k=2$ $k=1$
Pro a se získá produkt . $V=S^{3}$ $k=2$ $S^{1}\times S^{2}$
Případ je ještě komplikovanější: je-li koule zapuštěna standardním způsobem (velký kruh), pak v závislosti na volbě její trivializace normálního svazku získáme prostory čočky ; pokud povolíme zauzlování koule , pak dostaneme ještě větší sadu trojrozměrných variet. $V=S^{3}$ $k=1$ $S^{1}$ $S^{3}$ $S^{1}$

Vlastnosti

Jestliže je hranice -rozměrného rozdělovače , pak bude hranice rozdělovače získaná z lepení držadla indexu . $PROTI$ $(n+1)$ $M$ $PROTI'$ $M'$ $M$ $k$
- Konkrétně, pokud je hladká funkce na varietě a jsou to čísla taková, že množina je kompaktní a obsahuje jeden kritický bod , který je nedegenerovaný, pak varieta získáme z manifoldu operací indexu , kde je Morseův index kritického bodu . $F$ $M$ $a<b$ $f^{{-1}}([a,b])$ $p$ $V_{b}=f^{-1}(b)$ $V_{a}=f^{-1}(a)$ $k$ $k$ $p$
- Obecněji řečeno, jakékoli přeuspořádání indexové manifoldy definuje určitý bordismus a na triádě existuje $PROTI'$ $PROTI$ $k$ $(W;V,V')$ $(W;V,V')$
Morseova funkce , která má jeden kritický bod indexu a jakýkoli bordismus, na kterém taková Morseova funkce existuje, se získá tímto způsobem. $k$ $(W;V,V')$
- Z toho (a z existence Morseových funkcí na triádách) vyplývá, že dvě manifoldy jsou bordantní právě tehdy, když je jedna z nich získána od druhé konečnou sekvencí operací.
Při určitých opatřeních při manipulaci s orientací bude výsledkem operace na orientovaném potrubí opět orientované potrubí.

Variace a zobecnění

Konstrukce chirurgie může být také provedena pro po částech lineární a topologické rozdělovače.