Pevný bod

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Pevný bod v matematice je bod, který do něj dané zobrazení převede, jinými slovy, řešení rovnice . $f(x)=x$

Mapování má například pevné body a , protože a . $f(x)=x^2-3x+3$ $x=1$ $x=3$ $f(1)=1$ $f(3)=3$

Ne každé mapování má pevné body – řekněme, že mapování skutečné čáry do sebe nemá žádné pevné body. $f(x)=x+1$

Body, které se k sobě vracejí po určitém počtu iterací, tedy vyřešení rovnice

f(f(\tečky f(x)\tečky))=x

se nazývají periodické (konkrétně pevné body jsou periodické body období ). $jeden$

Atraktivní pevné body

Pevný bod displeje je atraktivní , pokud výsledek následné aplikace na jakýkoli bod dostatečně blízko bude mít tendenci : $x=f(x)$ $F$ $F$ $y$ $X$ $X$

\underbrace {f(f(\dots f(y)\tečky ))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty

V tomto případě je obvykle požadováno, aby výsledek každé iterace neopouštěl nějaké větší okolí bodu – tedy aby byl bod asymptoticky stabilní . $X$ $X$

Zejména postačující podmínkou pro to, aby se bod přitahoval, je podmínka . $|f'(x)|<1$

Newtonova metoda

Jednou z aplikací myšlenky přitahujícího pevného bodu je Newtonova metoda : řešení rovnice se ukáže jako přitahující pevný bod určitého zobrazení, a proto jej lze nalézt jako limit velmi rychle konvergující posloupnosti získaných čísel. jeho opakovanou aplikací.

Nejznámějším příkladem této metody je odmocnina z čísla jako limit iterací mapování $a\geqslant 0$

f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}

Viz také

Literatura

Kolmogorov AN , Fomin SV Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy . - M.: Nauka, 1976. - Ch. 2, položka 4.
Krasnoselsky M. A. , Zabreiko P. P. Geometrické metody nelineární analýzy. - M.: Nauka, 1975. - Ch. 5.
Agarwal R.P., Meehan M., O'Regan D. Teorie a aplikace pevných bodů. - Cambridge University Press , 2001. - ISBN 0-521-80250-4 .
Borisovič Ju. G. , Gel'man BD, Myshkis AD , Obukhovskii VV Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, číslo 6, s. 719-791.
Fitzpatrick PM, Petryshyn WV Věty o pevných bodech pro vícehodnotová nekompaktní acyklická zobrazení // Pacific Journal of Mathematics , 54:2, 1974.
Shashkin Jurij Alekseevič, Pevné body, "NAUKA", Moskva, 1989.