Subsekvence

V matematice je sekvence očíslovaná množina některých objektů, mezi nimiž jsou povolena opakování a na pořadí objektů záleží. K číslování dochází nejčastěji u přirozených čísel . Pro obecnější případy viz Variace a zobecnění .

V tomto článku se předpokládá, že sekvence je nekonečná; případy konečné posloupnosti jsou specifikovány samostatně.

Příklady

Příklady číselné řady:

Příkladem konečné posloupnosti může být posloupnost domů na ulici.
Polynom v jedné proměnné lze považovat za konečnou posloupnost jejích koeficientů nebo za nekonečnou za předpokladu . ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\tečky +a_{n}x^{n))$ $a_{i}=0$ $i>n$
Posloupnost prvočísel je jednou z nejznámějších netriviálních nekonečných číselných posloupností .
Každé reálné číslo může být spojeno se svou vlastní posloupností, nazývanou pokračující zlomek - navíc pro racionální čísla je vždy konečné, pro algebraická iracionální čísla je nekonečné (pro kvadratické iracionality je periodické ) a pro transcendentální čísla je nekonečné a není periodická, i když jednotlivá čísla se v ní mohou vyskytovat nekonečněkrát. Například pokračující zlomek čísla je konečný a rovná se , a pokračující zlomek čísla je již nekonečný, není periodický a vypadá takto: . ${\frac {13}{9}}$ $[1;2,4]$ $\pi$ $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\tečky ]$
V geometrii se často uvažuje o sledu pravidelných mnohoúhelníků , jejichž tvar závisí pouze na počtu vrcholů.
Posloupnost se může skládat i z množin - například můžete sestavit posloupnost, ve které -tá pozice obsahuje množinu všech polynomů stupně s celočíselnými koeficienty v jedné proměnné. $n$ $n$

Číselná řada

Přísná definice

Nechť je uveden nějaký soubor prvků libovolné povahy. $X$

Jakékoli zobrazení množiny přirozených čísel do dané množiny se nazývá posloupnost [1] (prvků množiny ). $f\colon {\mathbb {N}}\to X$ $\mathbb {N}$ $X$ $X$

Notace

Sekvence formuláře

x_{1},x_{2},x_{3},\dots

Je obvyklé psát kompaktně pomocí závorek:

(x_{n})

nebo .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}

Kudrnaté rovnátka se někdy používají:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }

Koncové sekvence mohou být zapsány v následujícím tvaru:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

Sekvence může být také zapsána jako

(f(n))

pokud byla funkce definována dříve, nebo její zápis lze nahradit funkcí samotnou. Například pro , lze sekvenci zapsat jako . $F$ ${\displaystyle f(n)=n^{3))$ $(n^{3})$

Související definice

Obraz přirozeného čísla , konkrétně prvku , se nazývá -tý člen posloupnosti a pořadové číslo člena posloupnosti se nazývá jeho index . $n$ $x_{n}=f(n)$ $n$ $n$ $x_{n}$
Podmnožina množiny , která je tvořena prvky posloupnosti, se nazývá nositel posloupnosti : zatímco index prochází množinou přirozených čísel, bod „znázorňující“ členy posloupnosti se „pohybuje“ podél dopravce. $f\left[{\mathbb {N}}\right]$ $X$
Dílčí posloupnost posloupnosti je posloupnost , která závisí na , kde je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Podsekvenci lze získat z původní sekvence odstraněním některých členů z ní. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Poznámky

Jakékoli mapování z množiny na sebe je také posloupností. $\mathbb {N}$
Posloupnost prvků množiny lze považovat za uspořádanou podmnožinu , izomorfní množině přirozených čísel . $X$ $X$

Způsoby zadávání číselných posloupností

Analytic , kde vzorec definuje sekvenci n-tého členu, například: $a_{n}={\frac {n}{n+1))$
Recurrent , Například Fibonacciho čísla , kde kterýkoli člen posloupnosti je vyjádřen v termínech předchozích: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
slovní ; Například pro libovolný nekonečný desetinný zlomek můžete sestavit posloupnost jeho desetinných aproximací ve smyslu nedostatku nebo přebytku, přičemž zlomek v každé iteraci zaokrouhlíte nahoru nebo dolů.

Posloupnost akcí

„Algoritmus je přísná a logická posloupnost akcí pro řešení problému (matematického, informačního atd.). [3] [4]

Posloupnosti v matematice

V matematice jsou zvažovány různé typy sekvencí:

číselné posloupnosti ;
posloupnosti prvků metrického prostoru ;
časové řady číselné i nečíselné povahy;
sekvence prvků funkčního prostoru ;
sekvence stavů řídicích systémů a automatů .

Prakticky důležité úkoly vznikající při studiu sekvencí:

Zjištění, zda je daná posloupnost konečná nebo nekonečná. Například pro rok 2020 je známo 51 Mersennových prvočísel , ale nebylo prokázáno, že by více takových čísel nebylo.
Hledejte vzory mezi členy posloupnosti.
Hledejte analytický vzorec, který může sloužit jako dobrá aproximace pro -tý člen posloupnosti. Například pro té prvočíslo je dobrá aproximace dána vzorcem: (existují přesnější). $n$ $n$ $n\ln(n)$
Predikce budoucích stavů, především dotaz, zda daná posloupnost konverguje ke konečné nebo nekonečné limitě , numerické nebo nenumerické , v závislosti na typu množiny $($ $X).$

Variace a zobecnění

Členy posloupnosti nemusí být číslovány přirozenými čísly – například Fibonacciho posloupnost lze rozšířit na záporná celá čísla .
Existují také tzv. vícerozměrné sekvence číslované prvky kartézského součinu . Patří mezi ně například vícerozměrné rozšíření Thue-Morseovy sekvence . Také polynom v několika proměnných může být považován za konečnou dimenzionální posloupnost, kde poloha je koeficient součinu . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\tečky x_{n-1},x_{n))$ $n$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\tečky x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ n}}$

Viz také

Poznámky

↑ Sekvence // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika: Referenční materiály . - Moskva: Vzdělávání, 1988. - 416 s. (Ruština)
↑ Explanatory Dictionary / ed. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 s. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ I.G. Semakin, A.P. Shestakov. základy algoritmizace a programování . - Moskva: Publikační centrum "Akademie", 2016. - S. 10. - 303 s. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Archivováno 21. ledna 2022 na Wayback Machine

Literatura

Pořadí // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - S. 242 -245. — 352 s.

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux