Kompletní metrický prostor

Úplný metrický prostor je metrický prostor , ve kterém každá základní posloupnost konverguje (k prvku stejného prostoru) [1] .

Ve většině případů se berou v úvahu úplné metrické prostory. U neúplných prostorů existuje operace kompletace , která umožňuje při dostavbě původní prostor považovat za hustý soubor . Operace doplnění je v mnoha ohledech podobná operaci uzavření pro podmnožiny.

Doplnění

Jakýkoli metrický prostor lze vložit do úplného prostoru takovým způsobem, že metrika rozšiřuje metriku a podprostor je všude hustý v . Takový prostor se nazývá dokončení a obvykle se značí . $X=(X,\rho)$ $Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $\bar X$

Konstrukce

Pro metrický prostor lze na množinu základních sekvencí v jednom zavést vztah ekvivalence $X=(X,\rho)$ $X$

(x_n)\sim(y_n)\Šipka doleva \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Sada tříd ekvivalence s definovanou metrikou $\bar X$

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

je metrický prostor. Samotný prostor je do něj izometricky vložen následujícím způsobem: bod odpovídá třídě konstantní posloupnosti . Výsledný prostor bude dokončením . $(X,\rho)$ $x\in X$ $x_n=x$ $(\bar X,\bar \rho)$ $X$

Vlastnosti

Dokončení metrického prostoru je jedinečné , až do izometrie .
Dokončení metrického prostoru je izometrické vzhledem k uzavření obrazu pod vložením Kuratowski $M$
Úplnost je zděděna uzavřenými podmnožinami úplného metrického prostoru.
Úplné metrické prostory jsou prostory druhé kategorie Baire . To znamená, že pokud je celkový prostor vyčerpán spočetným spojením uzavřených množin, pak alespoň jedna z nich má vnitřní body.
Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a zcela ohraničený ; to znamená, že jakýkoli prostor může být pokryt konečným počtem kuliček o poloměru . $X$ $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon$
Banachova věta o pevném bodě . Kontrakce zobrazení úplného metrického prostoru do sebe mají pevný bod.
Úplnost metrického prostoru není topologická vlastnost. To znamená, že úplný metrický prostor nemusí být úplný, když je metrika nahrazena ekvivalentní, tj. metrikou, která generuje stejnou topologii jako původní metrika.
- Topologická vlastnost je přítomnost alespoň jedné kompletní metriky ve třídě metrik generujících topologii metrického prostoru (tzv. metrická topologická úplnost neboli metrizabilita úplnou metrikou).

Příklady

Vyplňte metrické prostory

Sada reálných (reálných) čísel je ve standardní metrice kompletní . $\mathbb {R}$ $d(x, y) = |x - y|$
Obecně, nějaký konečný -dimenzionální Euclidean nebo unitární prostor je kompletní [1] .
Vlastnost úplnosti je povinná v definici Banachova prostoru , zejména Hilbertova prostoru .
Prostor funkcí spojitých na intervalu s jednotnou metrikou je úplný metrický prostor, a proto je Banachovým prostorem, pokud jej považujeme za normovaný lineární prostor.

Neúplné metrické prostory

Racionální čísla se standardní vzdáleností jsou neúplný metrický prostor. Výsledkem vyplnění tohoto prostoru bude množina všech reálných čísel . $\mathbb {Q}$ $d(x,y)=|xy|$ $\mathbb {R}$
Racionální čísla mohou být také vybavena p-adickým ohodnocením , jehož doplnění vede k oboru p-adických čísel . $\mathbb Q_p$
Prostor integrovatelných (podle Riemanna) funkcí na segmentu v integrální metrice . Výsledkem doplnění tohoto prostoru bude prostor Lebesgueových integrovatelných funkcí definovaných na stejném intervalu. $d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Variace a zobecnění

Pokud má algebraickou strukturu shodnou s metrikou, jako je topologický kruh , pak tato struktura přirozeně přechází do jejího dokončení. $X$

Poznámky

↑ 1 2 Shilov, 1961 , str. 40.

Literatura

Zorich V.A. Matematická analýza. — T. 2. IX, §5.
Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.