Ideální (algebra)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. ledna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Ideál je jedním ze základních pojmů obecné algebry . Ideály jsou nejdůležitější v teorii prstenu , ale jsou také definovány pro pologrupy , algebry a některé další algebraické struktury . Název „ideální“ pochází z „ ideálních čísel “, které v roce 1847 zavedl německý matematik E. E. Kummer [1] . Nejjednodušším příkladem ideálu je podkruh sudých čísel v kruhu celých čísel . Ideály poskytují vhodný jazyk pro zobecnění výsledků teorie čísel na obecné okruhy.

Například v kroužcích se místo prvočísel studují prvočísla; jako zobecnění koprimých čísel se zavádějí ideály koprimých; lze prokázat analogii čínské věty o zbytku pro ideály.

V některé důležité třídě prstenů (takzvané Dedekindovy prsteny ) lze dokonce získat analogii základní věty aritmetiky : v těchto prstencích může být každý nenulový ideál jednoznačně reprezentován jako součin prvočíselných ideálů.

Příkladem ideálu je množina celých čísel, která jsou dělitelná 6: když se uvažuje v kruhu . Tato množina je ideální, protože jak součet libovolných dvou takových čísel, tak součin kteréhokoli z nich libovolným celým číslem jsou samy zahrnuty v této množině. V tomto případě nebude stejná množina ideálem v kruhu reálných čísel, protože výsledek vynásobení kteréhokoli z těchto čísel libovolným reálným číslem není v obecném případě zahrnut do této množiny. ${\displaystyle \{\tečky ,-12,-6,0,6,12,18,24\tečky \))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Definice

Pro kruh je ideální podkruh , který je uzavřen pod násobením prvky z . Navíc se ideál nazývá levý (respektive , pravý ), pokud je uzavřen pod násobením vlevo (respektive vpravo) prvky z . Ideál, který je levý i pravý, se nazývá oboustranný . Dvoustranný ideál je často označován jednoduše jako ideál . V komutativním případě se všechny tyto tři pojmy shodují a vždy se používá termín ideál . $R$ $R$ $R$

Přesněji: Ideálem prstenu je podkruh prstenu takový, že $R$ $já$ $R$

$\forall i\in I\;\forall r\in R$ produkt (podmínka správných ideálů); $v I$
$\forall i\in I\;\forall r\in R$ produkt (stav na levých ideálech). $ri\in I$

Podobně pro pologrupu je jejím ideálem podgrupa, pro kterou platí jedna z těchto podmínek (nebo obě pro oboustranný ideál), totéž platí pro algebru.

Poznámka

Pro -algebru ( algebru nad prstencem ) nemusí být ideál prstenu , obecně řečeno, ideálem algebry , protože tento podkruh nemusí být nutně subalgebrou , to znamená, že bude také submodulem . přes . Například, pokud existuje -algebra s nulovým násobením, pak se množina všech ideálů kruhu shoduje s množinou všech podgrup aditivní skupiny a množina všech ideálů algebry se shoduje s množinou všech podprostorů vektorového -prostoru . _ Avšak v případě, kdy je algebra s jednotkou, oba tyto pojmy se shodují. $R$ $A$ $R$ $A$ $A$ $R$ $A$ $k$ $A$ $A$ $A$ $k$ $A$ $A$

Související definice

Pro jakýkoli prsten je sám a nulový ideál (oboustranný) ideál. Takové ideály se nazývají triviální . Vlastní ideály jsou ideály, které tvoří vlastní podmnožinu , to znamená, že se neshodují se vším [2] [3] . $R$ $R$ $0$ $R$
Mnoho tříd kruhů a algeber je definováno podmínkami na jejich ideální nebo ideální mřížce. Například:
- Prsten, který nemá netriviální oboustranné ideály, se nazývá jednoduchý .
- Prsten bez netriviálních ideálů (ne nutně oboustranných) je prsten . Viz také: hlavní ideální prsten , Artinův prsten , Noetheriánský prsten .

Jakýkoli komutativní kruh s jednotkou je spojen s topologickým prostorem — spektrem kruhu, jehož body jsou všechny primární ideály kruhu jiné než , a uzavřené množiny jsou definovány jako množiny primárních ideálů obsahující nějakou množinu prvků kruhu (neboli , což je stejný, ideál generovaný touto množinou). Tato topologie se nazývá Zariski topologie . $\operatorname{Spec} A$ $A$ $A$ $E$ $A$ $já$

Pojem ideál úzce souvisí s pojmem modul . Ideál (pravý nebo levý) lze definovat jako submodul prstence považovaný za pravý nebo levý modul nad ním.

Vlastnosti

Levé ideály v R jsou pravé ideály v tzv. opačný kroužek - kroužek se stejnými prvky a stejným sčítáním jako daný, ale s určitým násobením a naopak. $R^{0}$ $a*b=b*a$
Dvoustranné ideály v kruzích a algebrách hrají stejnou roli jako normální podskupiny ve skupinách :
- Pro každý homomorfismus je jádro ideálem a naopak každý ideál je jádrem nějakého homomorfismu. $f\dvojtečka A\to B$ $\operatorname {Ker}f$
- Navíc ideál jednoznačně (až do izomorfismu ) určuje obraz homomorfismu, jehož je jádrem: je izomorfní s podílovým prstencem ( kvocientová algebra ) . $f(A)$ $A/I$
V kruhu celých čísel jsou všechny ideály hlavní a mají tvar , kde . $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \))$ $n\in \mathbb{N} _{0}$
Průsečík ideálů je také ideálem (často, zejména v komutativní algebře, se průnik nazývá nejmenší společný násobek ).

Typy ideálů

Hlavním ideálem je ideál generovaný jedním prvkem.
Konečně vygenerovaný ideál
Maximální ideál : Správný ideál I se říká , že je maximální , pokud neexistuje žádný správný ideál J takový, že I je vlastní podmnožinou J. Kvocientový prstenec maximálního ideálu je pole .
Modulární ideál
Ideální Nilpotent
Primární ideál
jednoduchý ideál
Radikální ideál je ideál, který se shoduje se svým radikálním .

Základní návrhy

hlavní ideály . Jestliže p patří k R a k je libovolné celé číslo, pak - bude minimální pravý ideál obsahující p a - minimální levý ideál v R . Nazývají se hlavní pravé a levé ideály generované p . V komutativním případě se tyto ideály shodují a označují se také (p) . Jestliže prstenec R obsahuje prvek identity, pak od, hlavní ideály generované p mohou být zapsányresp. Každý ideál obsahující prvek p obsahuje také hlavní ideál jím generovaný. $\{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $\{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $kp=(k*1)p=p(k*1)$ $pR=\{pr:\,r\in R\}$ $Rp=\{rp:\,r\in R\}$

Ideál generovaný množstvím prvků. Průsečíkem libovolné rodiny levých ideálů prstence R je levý ideál prstence R . Proto pro jakoukoli podmnožinu M kruhu R existuje minimální levý ideál, který ji obsahuje, totiž průnik všech levých ideálů obsahujících množinu M . (Totéž platí pro pravé a oboustranné ideály.) Pro kruh R s prvkem identity je minimální levý ideál množinou konečných součtů tvaru , minimálním pravým ideálem je množina konečných součtů tvaru , a minimální oboustranný ideál je množina konečných součtů tvarových prvků množiny M a r i ,r'i jsou libovolné prvky kruhu R . Pokud prsten neobsahuje ani jeden, pak minimální levý ideál bude ve tvaru , minimální pravý , minimální oboustranný , kde všechna jsou libovolná celá čísla. Tyto ideály se nazývají generované množinou M . V komutativním případě se všechny shodují a označují se takto: (M) . Ideály generované konečnou množinou se nazývají konečně generované . ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n))$ ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s))$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_ {s}m'_{s}$ $r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_ {1}+\ldots +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\ldots + k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m' '''_{w}$ $k_{i}(k'_{i})$

suma ideálů. Pokud je v kruhu R uvedena libovolná rodina ideálů , jejich součet je minimálním ideálem, který je všechny obsahuje. Vzniká spojením těchto ideálů a jeho prvky jsou jakékoli konečné součty prvků z jejich spojení (spojení ideálů samo o sobě obvykle není ideálem). S ohledem na součet tvoří všechny (levé, pravé nebo oboustranné) ideály kruhu (nebo algebry) mřížku . Každý ideál je součtem hlavních ideálů. Často, zvláště v komutativní algebře, se součet nazývá největší společný dělitel). $I_{{\alpha }}$ $\součet I_{{\alpha ))$

Průsečík ideálů (jako průnik množin ) je vždy ideálem. Na druhé straně spojení dvou ideálů je ideálem pouze tehdy, je-li jeden z nich podmnožinou druhého. Vskutku, nechť a být dva (levé) ideály, z nichž žádný není podmnožinou toho druhého a je levým ideálem. V tomto případě je samozřejmě nejmenší ideál obsahující a , tedy . Existuje prvek . Pak pro všechny , Protože v tomto případě , Proto a , Proto je rozpor. ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\pohár {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\pohár {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\pohár {\mathfrak b}={\mathfrak a}+{\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak a},a\notin {\mathfrak b}$ $b\in {\mathfrak b}\;a+b\notin {\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak b}$ $a+b\in {\mathfrak a}$ $b\in {\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}\podmnožina {\mathfrak a}$

Produkt ideálů. Součin ideálů I a J je ideální IJ generovaný všemi součiny ab , kde a je prvkem ideálu I , b je prvkem ideálu J . Nekonečný součin ideálů není definován.

Soukromé ideály. V komutativním kruhu je pro nenulový ideál I a ideál J definován jejich kvocient, ideál . Tento ideál se nazývá anihilátor ideálu I v případě, kdy J=(0) , . $I^{{-1}}J=\{x\v R\dvojtečce \,\pro všechny i\v I\,ix\v J\}$

Radikálem ideálního I je množina. Je také ideálem kruhu A , pokudje komutativní pouze kruh A. V případě, že I=(0) , tento ideál se nazývá nilradikál kruhu A . Všechny jeho prvky jsou nilpotentními prvky prstenu. Jestliže komutativní kruh nemá žádné nilpotentní prvky kromě nuly (má nulový nilradikál), pak se nazývá radikál . Ideál I se nazývá radikál, pokud se shoduje se svým radikálem. V tomto případě nemá podílový kruh R/I žádné nilpotentní prvky kromě nuly. ${\sqrt {I}}=\{f\v A:\,\existuje n\v {\mathbb {N}}\,\,f^{n}\v {I}\}$

indukční limit . Pokud je dána rodina (řetězec) ideálů, očíslovaných lineárně uspořádanou množinou A , takže pro všechny indexyz A je ideálobsažen v ideálu, pak je jejich spojení ideálem - indukční limitou tohoto řetězce ideálů. Tento ideál se také shoduje se součtem všech ideálů z řetězce. Skutečnost, že indukční limita vždy existuje, znamená, že množina všech ideálů prstence R je indukčně uspořádaná a platí pro ni Zornovo lemma . Často se používá ke konstrukci maximálních ideálů s některými dalšími vlastnostmi (viz maximální ideál , prvoideál , hlavní ideální prstenec ). $\{I_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $\alpha <\beta$ $I_{{\alpha }}$ $I_{{\beta ))$

Obraz ideálu pod homomorfismem. Obvykle obraz ideálu pod homomorfismem NENÍ ideálem, ale pokud je homomorfismus surjektivní, pak je. Zejména, protože faktorizační homomorfismus je vždy surjektivní, faktorizace přivádí každý ideál k ideálu.

Inverzní obraz ideálu pod homomorfismem . Jestliže je kruhový homomorfismus , jeho jádro je oboustranný ideál. Obecněji, je-li I libovolným ideálem v kruhu B , je jeho úplným předobrazem ideál (levý, pravý nebo oboustranný, podle toho, jaký je ideál I ). $f:\,A\do B$ $\operatorname {Ker}f=\{a\in A:\,f(a)=0\}$ $f^{{-1}}I=\{a\v A:\,f(a)\v I\}$

Faktorizační homomorfismus vzhledem k ideálu. Je-li I oboustranný ideál v kruhu R , lze jej použít k definování vztahu ekvivalence na R pomocí pravidla: x ~ y právě tehdy, když rozdíl xy patří k I . Kontroluje se, že pokud je jeden z operandů v součtu nebo součinu nahrazen ekvivalentním, bude nový výsledek ekvivalentní původnímu. Operace sčítání a násobení se tak definují na množině R/I tříd ekvivalence, čímž ji přeměňují na kruh (komutativnost a přítomnost jednoty jsou přeneseny z kruhu R , pokud existuje). Současně s tímto kruhem je definován faktorizační homomorfismus (kanonický homomorfismus) , který každému prvku a z R přiřadí třídu ekvivalence, ve které je obsažen. Třída ekvivalence prvku a je množina prvků tvaru a+i přes všechna i z ideálu I , proto se označuje a + I , ale někdy se používá i obecný zápis pro třídu ekvivalence [a] . Proto . Kruh R/I se pak nazývá faktorový prstenec kruhu R podle ideálu I . $\pi :\,R\to R/I$ $\pi (a)=[a]=a+I$

Historie

Ideály poprvé představil Dedekind v roce 1876 ve třetím vydání svých Přednášek o teorii čísel. Toto bylo zobecnění pojetí ideálních čísel představené Kummerem .

Později tyto myšlenky rozvinul Hilbert a zejména Noether .

Odkazy

Kurz algebry Vinberg E. B. , - M . : Nakladatelství Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra, V. 1-2, - M .: IL, 1963.
Leng S. Algebra, - M .: Mir, 1968.

Poznámky

↑ Ideální // Kazachstán. Národní encyklopedie . - Almaty: Kazašské encyklopedie , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Ruština) (CC BY SA 3.0)
↑ ' Margherita Barile . Proper Ideal na webu Wolfram MathWorld .
↑ Přednáška o algebře na Moskevské státní univerzitě