Projektivní dualita

Důležitou vlastností projektivní roviny je „ symetrie “ rolí, které hrají body a přímky v definicích a větách, a dualita je formalizací tohoto konceptu. Ke konceptu duality existují dva přístupy: jeden, využívající jazyk „ principu duality “, vám umožňuje deklarovat sadu teorémů, které jsou vůči sobě duální, zatímco duální vůči pravé větě je také pravdivá; a další, funkční přístup založený na speciálním mapování duality. Spojení mezi přístupy spočívá v tom, že duální teorém je získán aplikací mapování duality na každý objekt původního. Možný je i koordinovaný přístup .

Koncept rovinné duality lze snadno rozšířit na dualitu v jakékoli projektivní geometrii s konečnou dimenzí.

Princip duality

Princip duality pro projektivní rovinu říká, že pokud vezmeme jakýkoli pravdivý výrok formulovaný z hlediska projektivní geometrie (jakýkoli projektivní teorém) a nahradíme všechny výskyty každého termínu jeho duálem, opět dostaneme pravdivý výrok. Zejména u výroků o bodech a liniích postačí každý výskyt slova „bod“ nahradit „čárou“ a „čára“ výrazem „bod“ (a také vhodným způsobem nahradit okolní slova, např. "leží na" s "patří"). Takto získaný výrok je považován za dvojí než původní. Například pro projektivní axiom „Každá dvěma body prochází pouze jedna úsečka“ je duální tvrzení dalším projektivním axiomem „Každé dvě přímky se protínají v jednom bodě“.

Tento princip dává dobrý důvod pro použití "symetrického" termínu pro vztah výskytu . Místo věty „bod leží na přímce“ lze tedy říci „bod a přímka jsou incidentní“ a k přeměně výroku na duál stačí přeskupit slova bod a přímka („přímka a bod jsou incident“).

Tento koncept lze zobecnit na dualitu trojrozměrného projektivního prostoru, kde pojmy „bod“ a „rovina“ mění role (a přímé linie zůstávají rovné). [1] To vede k Principu duality pro prostor . Další zobecnění jsou také možná (viz níže).

Dualita složitějších obrazců

Konfigurace bodů a čar se symbolem je množina bodů a čar, takže každým bodem procházejí přesně konfigurační čáry a na každé přímce přesně konfigurační body . Dvojitým objektem konfigurace se symbolem je konfigurace se symbolem . Například duální objekt úplného čtyřstranného objektu je úplný čtyřstranný [2] . $(m_{c},n_{d})$ $m$ $n$ $C$ $d$ $(m_{c},n_{d})$ $(n_{d},m_{c})$

Princip duality umožňuje zobecnění libovolných křivek na projektivní rovině. Pro konstrukci duální křivky je vytvořena přímka duální ke každému bodu dané křivky a poté je uvažována jejich obálka - taková křivka, že všechny získané přímky jsou k ní tečné. Zejména pro křivky druhého řádu na projektivní rovině se ukazuje, že duální křivka je také křivkou druhého řádu.

Obecněji pro kvadriky v projektivním prostoru platí následující tvrzení: množina tečných nadrovin k nedegenerované kvadrice v projektivním prostoru tvoří nedegenerovanou kvadriku v prostoru (hvězdička jako obvykle znamená duální prostor ) [ 3] . Dualitu lze také rozšířit na libovolné projektivní algebraické variety. $P(L)$ $P(L^{*})$

Duální teorémy

Pro skutečnou projektivní rovinu existuje řada dobře známých tvrzení, která jsou vzájemně duální. Mezi nimi: ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

Desarguesova věta ⇔ Inverzní Desarguesova věta
Pascalova věta ⇔ Brianchonova věta
Menelaova věta ⇔ Cevova věta

Dvojité mnohostěny

Ve stereometrii existuje dualita mnohostěnu , kdy body jsou duální k plochám a hrany jsou duální k hranám, takže například dvacetistěn je duální s dvanáctistěnem a krychle je duální s oktaedrem . Jedním ze způsobů, jak konstruovat tuto dualitu, je použít projektivní dualitu.

Formalizace

Jestliže jeden definuje projektivní rovinu axiomaticky jako strukturu dopadu v podmínkách souboru bodů , soubor linek a binární incidenční vztah , který určuje, které body leží na jakých linkách, pak jeden může definovat strukturu dvojité roviny . $P$ $L$ $já$

Pokud si vyměníme role „bodů“ a „přímek“ ve struktuře incidence

C=(P,L,I),

dostaneme duální strukturu

C^{\ast }=(L,P,I^{\ast }),

kde je inverzní vztah k k . je také projektivní rovina, která se nazývá duální rovina pro . ${\displaystyle I^{\ast ))$ $já$ $C^{\ast }$ $C$

Jestliže a jsou izomorfní, pak se nazývá self-dual . Projektivní roviny pro jakékoli pole (nebo obecněji pro jakékoli těleso izomorfní samo sobě) jsou samoduální. Zejména desarguesovské roviny konečného řádu jsou vždy samoduální. Nicméně, mezi non-Desarguesian letadla , tam být oba self-dvojí (například, Hughes letadla ) a non-self-duální (například, Hall letadla). $C$ $C^{\ast }$ $C$ $\operatorname {PG} (2,K)$ $K$

Dualita jako mapování

Dualita (roviny) je zobrazení z projektivní roviny do její duální roviny se zachováním vlastnosti incidence. Dualita tedy mapuje body na čáry a úsečky na body ( a ) takovým způsobem, že pokud bod leží na přímce (označené ), pak . $C=(P,L,I)$ $C^{\ast }=(L,P,I^{\ast })$ $\sigma$ $P^{\sigma }=L$ $L^{\sigma }=P$ $Q$ $m$ $Qim$ $m^{\sigma }I^{\ast }Q^{\sigma }\Leftrightarrow QIm$

Dualita definovaná tímto způsobem není nutně bijekce. Dualita projektivních rovin, což je izomorfismus, se nazývá korelace . [4] [5] Někdy se omezují pouze na případ automorfismu, tedy zobrazení z projektivní roviny do sebe, pak existence korelace znamená sebedualitu projektivní roviny.

Vztah s kolineací

Na pojem korelace se můžete dívat jako na analogii pojmu kolineace. Kolineace je mapování mezi projektivními rovinami, které mapuje body na body a čáry na čáry, to znamená, že zachovává dopad. [6]

Důležitou vlastností kolineací je, že zachovávají dvojí vztah [7] . Korelace také splňují tento požadavek a převádějí dvojitý poměr bodů na dvojitý poměr čar. Při převodu množiny bodů na přímce na tužku čar přes bod se tedy každá harmonická čtveřice bodů převede na harmonickou čtveřici čar.

Vezmeme-li v úvahu složení libovolné korelace se sebou samým, automaticky dostaneme nějakou kolineaci . Pokud se ukáže, že jde o mapování identity, to znamená, pokud je korelace sama o sobě involucí , pak se to nazývá polarita nebo polární korespondence . Někdy se toto jméno používá pouze pro určitý typ korespondence, viz #poles and polars . $\varphi$ $\varphi ^{2}$

Zobrazení se stejnými vlastnostmi lze zavést i v prostorech vyšších dimenzí, všechny argumenty se doslovně opakují.

Klasifikace korelací

Vzhledem k tomu, že složení dvou korelací je kolineace, umožňuje to klasifikaci kolineací, načež je soubor všech korelací popsán jako složení pevné korelace se všemi kolineacemi.

Pojem kolineace úzce souvisí s pojmem projektivní transformace . Formálně je projektivní transformace kolineací, která pochází z lineárního operátoru na . Ukazuje se, že ve skutečném případě nebo pro , tyto pojmy se prostě shodují. Pro projektivní rovinu tvaru , kde je těleso, je podle základní věty projektivní geometrie jakákoli kolineace složením automorfismu a projektivní transformace . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n>2$ $\operatorname {PG} (2,K)$ $K$ $K$

To může být použito k ukázce, že korelace na je dána libovolnou seskvilineární formou na poli spojeném s libovolným antiautomorfismem . V tomto případě je každý podprostor mapován na ortogonální k němu vzhledem k danému tvaru. $\operatorname {PG} (2,K)$ $K^{3}$ $K$

Dualita v homogenních souřadnicích

Dualita projektivní roviny je speciálním případem duality pro projektivní prostory , transformace (které se také označují ), kde je pole, které vyměňuje objekty dimenze s objekty dimenze (= codimension ). V projektivním prostoru tedy rozměry bodu (rozměr 0) budou odpovídat nadrovinám (kodimenze 1), přímky procházející dvěma body (rozměr 1) budou odpovídat průsečíku dvou nadrovin (kodimenze 2) atd. . $\operatorname {PG} (n,K)$ $K\mathbb {P} ^{n}$ $K$ $r$ $n-1-r$ $r+1$ $n$

Body lze považovat za nenulové vektory v ( )-rozměrném vektorovém prostoru nad , ve kterém identifikujeme vektory, které se liší násobením skalárem. Nenulový vektor také definuje -rozměrný podprostor (nadrovinu) , který je k němu ortogonální : $\operatorname {PG} (n,K)$ $n+1$ $K$ $\mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n})$ $K^{n+1}$ $(n-1)$ ${\displaystyle H_{u))$

H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n} =0\}.

Vektor použitý k definování nadroviny budeme označovat a pro označení bodu odpovídajícího konci vektoru použijeme notaci . Pokud jde o obvyklý bodový produkt , . Protože je pole, je bodový součin symetrický, což znamená . Můžete určit korelaci mezi body a nadrovinami. Tato korespondence může být rozšířena na přímky tvořené dvěma body a průsečíkem dvou nadrovin a tak dále. $\mathbf {u}$ $\mathbf {u} _{H}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{P))$ ${\displaystyle H_{u}=\{\mathbf {x} _{P}:\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=0\))$ $K$ $\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_ {n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x} _{H}\cdot \mathbf {u} _{P}$ ${\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}$

Na projektivní rovině s polem máme shodu: homogenní souřadnice jsou přímky dané rovnicemi . V projektivním prostoru vypadá korespondence jako body v homogenních souřadnicích ↔ roviny, dané rovnicemi . Tato korespondence také mapuje přímku danou dvěma body a přímku, která je průsečíkem dvou rovin daných rovnicemi a . $\operatorname {PG} (2,K)$ $K$ $(a,b,c)\leftrightarrow$ $ax+by+cz=0$ $\operatorname {PG} (3,K)$ $(a,b,c,d)$ $ax+by+cz+dw=0$ $(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})$ $(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})$ $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0$

Skalární součin může být nahrazen libovolnou nedegenerovanou bilineární formou, čímž se vytvoří další korelace. $K^{n+1}$

Geometrické konstrukce vzájemné transformace

Korespondence v homogenních souřadnicích může být popsána geometricky. K tomu slouží model reálné projektivní roviny "jednotková koule s identifikací protinožců [8] ", nebo ekvivalentně model přímek a rovin procházejících počátkem prostoru . Porovnejme přímku procházející počátkem souřadnic s jedinou rovinou k ní kolmou, obsahující počátek souřadnic. Pokud jsou v tomto modelu přímky považovány za body a roviny za přímky projektivní roviny , toto srovnání se stane korespondencí (ve skutečnosti polárním zobrazením) projektivní roviny. Sférický model lze získat jako průsečík čar a rovin procházejících počátkem s jednotkovou koulí vycentrovanou v počátku. Čáry protínají kouli ve dvou protilehlých bodech, které jsou identifikovány tak, aby získaly bod v projektivní rovině, zatímco roviny protínají kouli ve velkých kruzích , což jsou linie projektivní roviny. $\operatorname {PG} (2,R)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatorname {PG} (2,R)$

Že takováto juxtapozice „zachovává“ incidenci, lze snadno ukázat na modelu čar a rovin. Bod dopadající na přímku v projektivní rovině odpovídá přímce ležící na rovině v modelu. S dualitou se rovina stává přímkou procházející počátkem a kolmou k rovině. Tento obraz (přímka) je kolmá k jakékoli přímce ležící na původní rovině, a zejména k původní přímce (bod na promítací rovině). Všechny úsečky kolmé k původní úsečce tvoří rovinu, která je obrazem původní úsečky. Obraz přímky tedy leží v obraze roviny, takže dopad je zachován.

Póly a polárky

Na euklidovské rovině upevníme kružnici se středem a poloměrem . Pro každý bod odlišný od definujeme obraz na paprsku podle pravidla . Takto definované zobrazení se nazývá kruhová inverze . Přímka procházející skrz a kolmá k se nazývá polární bodu vzhledem ke kružnici . $C$ $Ó$ $r$ $P$ $Ó$ $P'=Q$ $OP$ $OP\cdot OQ=r^{2}$ $P\mapsto Q$ $C$ $q$ $P$ $OP$ $Q$ $C$

Nechť je čára neprocházející skrz . Pusťme kolmici z bodu na přímku . Dovolit být obraz bodu pod inverzí s ohledem na . Pak říkají, že to je pól čáry . Pokud bod leží na přímce (neprochází ), pak pól přímky leží na polárně bodu a naopak. Tedy mapování, které bere body a čáry k jejich polárám a pólům s ohledem na , zachovává dopad a je projektivní transformací . [9] $q$ $Ó$ $OP$ $Ó$ $q$ $Q$ $P$ $C$ $Q$ $q$ $M$ $q$ $Ó$ $Q$ $q$ $m$ $M$ $C$

Aby se tento proces stal transformací jedna ku jedné a změnil se na korelaci , musí být euklidovská rovina rozšířena na projektivní rovinu přidáním přímky v nekonečnu a bodů v nekonečnu , které leží na této přímce v bodě nekonečno. V této rozšířené rovině definujeme poláru bodu jako přímku v nekonečnu (a bod je pól přímky v nekonečnu) a póly přímek procházejících jako body v nekonečnu, kde, pokud má přímka sklon , jeho pól je bod v nekonečnu odpovídající třídě rovnoběžných přímek se sklonem . Pól pro osu je bod v nekonečnu svislých čar a pól osy je bod v nekonečnu vodorovných čar. $Ó$ $Ó$ $Ó$ $s(\neq 0)$ $-1/s$ $X$ $y$

Konstrukce polární transformace pro inverzi o kružnici uvedená výše může být zobecněna pomocí inverze o kuželosečkách (na prodloužené reálné rovině). Takto konstruovaná vzájemná transformace je projektivní korelací řádu 2, tedy polární transformace.

Mapování koule na rovinu

Projektivní rovinný model s jednotkovou koulí je izomorfní (s přihlédnutím k incidenční vlastnosti) rovinného modelu, kde je rovina prodloužena o projektivní přímku v nekonečnu. V tomto modelu jsou opačné body koule (vzhledem ke středu) považovány za jeden bod.

Abychom spojili body koule s body v rovině, předpokládáme, že se koule dotýká roviny v nějakém bodě a tento bod zvolíme jako počátek roviny. Nyní nakreslíme čáru procházející bodem na kouli a středem koule. Tato čára bude v určitém bodě protínat kouli. Výsledný bod lze použít k vytvoření mapování jedna ku jedné

f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow {\mathbb {R}}P^{2}.

Pokud jsou body v uvedeny v homogenních souřadnicích , pak ${\mathbb {R}}P^{2}$

f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta],

f^{{-1}}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \ přes z}\vpravo)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\vpravo).

Čáry na rovinném modelu jsou projekce velkých kružnic koule, protože rovinu lze nakreslit čárou na rovině a počátkem 3-rozměrných souřadnic a tato rovina protne kouli podél velké kružnice.

Jak je vidět, každá velká kružnice na kouli může být spojena s projektivním bodem odpovídajícím jedné přímce kolmé k rovině, na které kružnice leží a kterou lze definovat jako duální. Tato přímka protíná tečnou rovinu a to ukazuje, jak spojit jeden bod roviny s libovolnou přímkou této roviny tak, že bod bude s přímkou duální.

Poznámky

↑ J.V. Jung. Projektivní geometrie. - Moskva: Stát. vyd. Zahraniční literatura, 1949. - S. 30.
↑ Coxeter, 2003 , str. 26
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. 11, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Pevsner, 1980 , s. 68-69 § 13 Kolineace
↑ Dembowski, 1968 s.151.
↑ Body, které leží na stejné přímce, se nazývají kolineární, to znamená, že leží na stejné přímce. Kolineární transformace zachovává vlastnost kolineity. Viz Volberg, 1949
↑ Pevzner, 1980 , s. 45-46, Dvojitý vztah bodů a přímek v rovině
↑ protilehlé body koule (konce průměru) se nazývají antipody .
↑ Coxeter a Greitzer, 1978 str . 165

Literatura

A. Adrian Albert, Reuben Sandler. Úvod do konečných projektivních rovin. — New York: Holt, Rinehart a Winston, 1968.
F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlín.
R. Baer. Lineární algebra a projektivní geometrie. - Moskva: Nakladatelství zahraniční literatury, 1955.
MK Bennett. Afinní a projektivní geometrie . - New York: Wiley, 1995. - ISBN 0-471-11315-8 .
Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projektivní geometrie: od základů k aplikacím. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - ISBN 0-521-48277-1 .
Ray Casse. Projektivní geometrie: Úvod. - New York: Oxford University Press, 2006. - ISBN 0-19-929886-6 .
Judith N. Cederberg. Kurz moderní geometrie. - New York: Springer-Verlag, 2001. - ISBN 0-387-98972-2 .
G.S.M. Coxeter. Skutečná projektivní rovina. - Moskva: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1959.
Coxeter, HSM Projective Geometry. — 2. vyd. - Springer Verlag, 2003. - ISBN 978-0-387-40623-7 .
G.S.M. Coxeter. Úvod do geometrie. - Moskva: "Nauka" Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1968.
G.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Nová setkání s geometrií. - Moskva: "Nauka" Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1978. - (Knihovna matematického kroužku).
Dembowski Peter. Konečné geometrie. Berlín: Springer Verlag, 1968.
Lynn E Garner. Nástin projektivní geometrie. - New York: Severní Holandsko, 1981. - ISBN 0-444-00423-8 .
Greenberg, MJ Euklidovské a neeuklidovské geometrie. — 4. vyd. — Freeman, 2007.
R. Hartshorne. Základy projektivní geometrie. - Moskva: "Mir", 1970. - (Populární řada "Moderní matematika").
Hartshorne Robin. Geometrie: Euclid and Beyond. - Springer, 2000.
D. Gilbert, S. Cohn-Vossen. vizuální geometrie. - Moskva, Leningrad: Hlavní vydání obecné technické literatury a nomografie, 1936.
DR Hughes, FC Piper. projektivní roviny. - Springer, 1973.
F. Karteszi. Úvod do konečných geometrií. - Amsterdam: North-Holland, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
RJ Mihálek. Projektivní geometrie a algebraické struktury . - New York: Academic Press, 1972. - ISBN 0-12-495550-9 .
S. Ramanan. Projektivní geometrie // Rezonance. - Springer India, srpen 1997. - svazek 2 , č. 8 . — S. 87–94 . — ISSN 0971-8044 . - doi : 10.1007/BF02835009 .
Pierre Samuel. Projektivní geometrie . - New York: Springer-Verlag, 1988. - ISBN 0-387-96752-4 .
Frederick W. Stevenson. projektivní roviny. - San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
Oswald Veblen, JWA Young. projektivní geometrie. - Boston: Ginn & Co., 1938. - ISBN 978-1-4181-8285-4 .
O.A. Volberg. Základní myšlenky projektivní geometrie. - Moskva, Leningrad: Uchpedgiz, 1949.
S.L. Pevzner. Projektivní geometrie. - Moskva: "Osvícení", 1980. - S. 68-69 § 13 Kolineace.
PEKLO. Alexandrov , N. Yu. Netsvetajev. Geometrie. - Moskva: Nauka, 1990.
IR. Shafarevič , A.O. Remizov. Lineární algebra a geometrie. — Moskva: Fizmatlit, 2009.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Princip duality (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .