Zvýšený kosinus (filtr)
Zvýšený kosinusový filtr (PCF) je speciální elektronický filtr , který se často vyskytuje v telekomunikačních systémech díky své schopnosti minimalizovat mezisymbolové zkreslení (ISI). Jeho název pochází ze skutečnosti, že nenulová část frekvenčního spektra ve své nejjednodušší podobě ( ) je kosinusová vlna zvednutá tak, že „sedí“ na vodorovné ose .
Matematický popis
FPC je implementací Nyquistova LPF , to znamená, že má vlastnost částečné symetrie. To znamená, že jeho spektrum má lichou symetrii vzhledem k , kde je doba trvání symbolu v komunikačním systému.
K popisu ve frekvenční oblasti se používá po částech funkce daná vzorcem:
![{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1.0,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[ 1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right], &{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{jinak}}\end{cases} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cae5e6f9d08904a542faeeef5a7450d1fe5299)
a je charakterizován dvěma hodnotami; je koeficient vyhlazování a je převrácená hodnota symbolové rychlosti.
Impulzní odezva filtru je popsána vzorcem:
vyjádřeno jako normalizované funkce sinc.
Vyhlazující faktor
Faktor vyhlazování je mírou redundance propustného pásma filtru, tj. frekvenčního pásma mimo Nyquistovo pásmo . Označíme-li redundanci pásma , pak:
kde je symbolová rychlost.
Graf ukazuje frekvenční odezvu při změně z 0 na 1 a odpovídající vliv na impulsní odezvu. Jak je vidět, v časové oblasti se množství zvlnění zvyšuje jako . To znamená, že redundanci pásma filtru lze snížit, ale pouze prodloužením impulsní odezvy.
Jakmile dosáhne 0, vyhlazovací zóna se co nejvíce zúží, proto:
kde je pravoúhlá funkce, impulsní odezva se převede na .
Proto v tomto případě inklinuje k dokonalému nebo obdélníkovému filtru.
Když , nenulová část spektra je čistý zvýšený kosinus, což vede ke zjednodušení:
![{\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\ right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{jinak}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebb76ea6228298ccfcba8c180b1789ca214406c)
Šířka pásma
Šířka pásma FPC je obvykle definována jako šířka nenulové části spektra, tj.
Aplikace
Při použití k filtrování proudu znaků má Nyquistův filtr vlastnost eliminace ISI, protože jeho impulsní odezva je nula ve všech (kde je celé číslo) kromě .
Pokud je tedy vysílaný signál správně navzorkován v přijímači, mohou být původní hodnoty symbolů zcela obnoveny.
Ve většině praktických komunikačních systémů však musí být v přijímači použit přizpůsobený filtr kvůli účinkům bílého šumu. To zavádí následující omezení:
to je:
Pro splnění této podmínky a při zachování podmínky no-ISI je kořen FPC obvykle aplikován na každém konci komunikačního systému. V takovém případě je celkovou odezvou systému zvýšený kosinus.
Literatura
- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digitální komunikace (2. vydání). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4 .
- Proakis, J. (1995). Digitální komunikace (3. vydání). Společnost McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 .