Projektivní transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Projektivní transformace projektivní roviny je transformace , která převádí čáry na přímky.

Definice

Projektivní transformace je mapování projektivního prostoru jedna ku jedné na sebe, které zachovává řádový vztah částečně uspořádané množiny všech podprostorů. $\phi$

Projektivní transformace přímky je bijektivní transformace přímky, která přebírá harmonickou čtveřici bodů na harmonickou čtveřici bodů.

Projektivní transformace roviny je mapování projektivní roviny jedna ku jedné na sebe tak, že pro jakoukoli přímou linii je obraz také přímou linií. $\phi \colon \pi \to \pi$ $\pi$ $l\podmnožina\pi$ $\phi (l)$

Vlastnosti

Projektivní transformace zachovává duální vztah .
Projektivní transformace je zobrazení množiny bodů projektivní roviny jedna ku jedné a je to také zobrazení množiny čar jedna ku jedné.
Inverzní zobrazení k projektivnímu je projektivní zobrazení. Složení projektivních zobrazení je projektivní zobrazení. Množina projektivních zobrazení tedy tvoří skupinu .
Středové promítání je speciální případ projektivní transformace.
Afinní transformace je speciální případ projektivní transformace.
Každá přímka roviny pod projektivní transformací roviny je promítně mapována na nějakou přímku. Každý svazek paprsků v rovině je promítně mapován na svazek paprsků.
Projektivní transformace přímky je určena zadáním tří dvojic bodů odpovídajících zobrazení. Toto tvrzení se někdy nazývá základní teorém projektivní geometrie.
Projektivní transformace roviny je definována specifikací čtyř párů bodů odpovídajících mapování a žádné tři body ze čtyř obrázků nebo předobrazů neleží na stejné přímce. Pro neidentické mapování je počet pevných bodů nejvýše tři.
Každá projektivní transformace roviny je dána vratnou lineární transformací jí odpovídajícího trojrozměrného prostoru. V homogenních souřadnicích je reprezentován rovnicemi: ${\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{cases}}$

a .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspektiva

Nechť jsou na projektivní rovině 2 různé přímky a bod O , který k nim nepatří . Perspektivní zobrazení přímky na přímku se středem O je zobrazení , kde pro libovolný bod je bod nalezen jako průsečík a . Toto mapování se označuje jako: což zní „ přeloženo do přímky perspektivním mapováním se středem v O “ nebo následovně: které zní „body jsou převáděny perspektivním mapováním se středem v O do bodů “. ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $\psi :u_{1}\to u_{2}$ $A\in u_{1}$ $\psi (A)$ $OA$ ${\displaystyle u_{2))$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,$ $A,B,C,\ldots$ $A',B',C',\ldots$

Perspektivní zobrazení je bijektivní, zachovává průsečík čar a zachovává duální vztah čtveřice bodů . ${\displaystyle u_{1},u_{2))$

Jakékoli projektivní zobrazení z čáry na čáru lze reprezentovat jako složení perspektivních zobrazení. Označuje se projektivní mapování $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABCD\barwedge A'B'C'D'.$

Involuce

Projektivní transformace se nazývá involuce , pokud pro jakýkoli bod P platí, že . $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$

Pokud je involuce, pak . $\phi$ $\phi ^{-1}=\phi$

Jestliže projektivní transformace přímky má alespoň jeden bod P takový, že , pak je involuce. $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$ $\phi$

Pokud má neidentická involuce projektivní přímky pevné body, pak je jejich počet buď dva, nebo nula. Involuce se 2 pevnými body se říká hyperbolická. Hyperbolická involuce zaměňuje body, které jsou harmonicky konjugované s pevnými body. Involuce bez pevných bodů se říká eliptická.

Involuce je definována určením dvou párů odpovídajících bodů.

Tři páry protilehlých stran úplného čtyřúhelníku protínají libovolnou přímku (neprocházející vrcholem) ve třech párech bodů téže involuce (toto tvrzení se nazývá Desarguesova věta, i když jeho původ lze připsat lemě IV Euklidova Porisms in Volume VII of Pappus of Alexandria 's Mathematical Collection ).

Kolineace a korelace

Kolineace je transformace, která přebírá body k bodům, čáry k čarám a zachovává poměr výskytu bodů a čar, stejně jako dvojnásobný poměr libovolných čtyř kolineárních bodů. Kolineace tvoří skupinu. Požadavek na zachování dvojnásobného poměru čtyřnásobku kolineárních bodů je nadbytečný, ale těžko se prokazuje. Kolineace jsou uvažovány společně s korelacemi - transformacemi projektivní roviny, které transformují body na přímky a přímky na body a zachovávají incidenční vztah. Příkladem korelace je polární korespondence, to jest zobrazení, které vezme bod k jeho polární s ohledem na kuželosečku a přímku k jeho pólu.

Homologie

Homologie je neidentická kolineace, pro kterou existuje bodově pevná přímka p , nazývaná osa homologie.

Pro libovolnou homologii existuje pevný bod P (homology center) s vlastností, že jakákoli přímka, která k němu dopadá, je pevná. Kromě středu P a bodů osy p nemá homologie pevných bodů žádné pevné body. Jestliže , pak se homologie nazývá parabolická, jinak se nazývá hyperbolická. $P\in p$

Při rovinné homologii leží bod a jeho obraz na stejné přímce se středem homologie a přímka a její obraz se protínají na ose homologie.

Homologie může být dána středem, osou a dvojicí odpovídajících čar. Homologii lze specifikovat také středem, osou atd. homologická konstanta odlišná od . $0,1,\infty$

Viz také

Literatura

D. A. Grave . Homografie // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
P. S. Alexandrov . Kurz analytické geometrie a lineární algebry. — M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. Základy projektivní geometrie. — M .: Mir, 1970.
H. S. M. Coxeter. Skutečná projektivní rovina / ed. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. co je matematika?
N.V. Efimov . Vyšší geometrie . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . Projektivní geometrie. Učebnice předmětu "Geometrie" pro studenty kombinovaného studia II-III předmětů fyzikálních a matematických fakult. - M .: Vzdělávání, 1980.