Derivace (matematika)

Derivace je základní matematický koncept používaný v různých obměnách (zobecněních) v mnoha odvětvích matematiky. Je to základní konstrukce diferenciálního počtu , umožňující mnoho variant zobecnění používaných v počtu , diferenciální topologii a geometrii a algebře .

Společná věc mezi různými variacemi a zobecněními je, že derivace zobrazení charakterizuje míru změny v obrazu zobrazení s (nekonečně) malou změnou v argumentu. V závislosti na uvažovaných matematických strukturách je obsah tohoto pojmu specifikován.

Je známo asi 20 zobecnění pojmu derivace pouze pro případ topologických lineárních prostorů. [jeden]

Derivace funkce jedné proměnné

Základní definice

Derivace funkce v bodě je definována jako limit poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, protože přírůstek argumentu má tendenci k nule: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim _({\Delta x\rightarrow 0)){\frac {\Delta f}{\Delta x))

, kde .

\Delta x=x-x_{0},\ \Delta f=f(x)-f(x_{0})

Graficky je to sklon tečny v bodě ke křivce představující funkci . $x_{0}$ $f(x)$

Pro dostatečně malé změny v argumentu platí rovnost . V obecném případě je tato forma definice brána jako základ pro zobecnění pojmu derivát. $dx$ $df=f'(x_{0})dx$

Jednostranné deriváty

Definovány jsou také jednostranné derivace, kde se místo odpovídající limity používá jednostranná ( levostranná a pravotočivá ) limita. Pravá derivace nebo derivace vpravo je označena symboly . Levá derivace nebo derivace vlevo je označena symboly . Obyčejná derivace existuje právě tehdy, když existují stejné jednostranné derivace (jejich velikost je rovna derivaci). $f^{+}(x_{0}),\ f'_{+}(x_{0}),\ {\mathrm {D}}^{+}\!f(x_{0})$ $f^{-}(x_{0}),\ f'_{-}(x_{0}),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x_{0})$

Deriváty vyšších řádů

Protože derivace funkce jedné proměnné je zároveň určitou funkcí jedné proměnné, můžeme uvažovat o derivaci derivace - druhé derivaci a obecně o derivaci libovolného řádu (nějakého přirozeného čísla). $n$

Derivace funkcí více proměnných

Parciální derivace

V případě funkcí více proměnných: , nejprve se určí tzv. parciální derivace - derivace vzhledem k jedné z proměnných za předpokladu, že hodnoty zbývajících proměnných jsou pevné: $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\rightarrow x_{0}^{i}}{ \frac {f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0 }^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}$

Přechod

Vlastní derivací (s přihlédnutím ke změnám vektoru proměnných jako celku, tedy všech proměnných) je v případě funkcí více proměnných tzv. gradient funkce - vektor, jehož složkami jsou parciální derivace:

$f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x } } }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},...,{\ frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)$

Analogicky s případem jedné proměnné platí pro malé změny ve vektoru proměnných následující rovnost: $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})$ $\mathbf {x}$

$df({\mathbf {x}})=f'({\mathbf {x_{0}}})d{\mathbf {x}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\ frac {\partial f}{\partial x^{i))}dx^{i}$

Směrová derivace

V případě funkcí více proměnných lze definovat směrovou derivaci , tedy za předpokladu, že se proměnné mění v daném směru. Derivace funkce vzhledem ke směru vektoru je definována takto: $F$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({\mathbf {x}} _{0}+t{\mathbf {e}})-f({\mathbf {x}}_{0})}{t}}$

Pokud se směr shoduje se směrem nějaké souřadnicové osy, pak derivace podél tohoto směru je ve skutečnosti odpovídající parciální derivace. Lze ukázat, že směrová derivace je rovna bodovému součinu vektoru gradientu a normalizovaného směrového vektoru (tj. směrovému vektoru jednotkové délky, který lze získat z libovolného směrového vektoru dělením jeho délkou): $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=(f'({\mathbf {x}}_{0}),{\mathbf {e}} )$

Deriváty vyšších řádů

Analogicky s případem funkcí jedné proměnné lze uvažovat o parciálních derivacích libovolného řádu. Navíc v tomto případě můžete použít jak stejnou proměnnou několikrát, tak několik proměnných současně:

${\frac {\částečné ^{k}f}{\částečné x_{1}^{{k_{1}}}\částečné x_{2}^{{k_{2}}},...,\částečné x_{n}^{{k_{n}}}}}$ , kde $\součet k_{i}=k$

Obdobou druhé derivace v případě funkce více proměnných je matice druhých parciálních derivací - Hessova matice , což je derivace vektorově hodnotné funkce (viz dále) - gradientu skalární funkce. Prvky této matice jsou druhé derivace . ${\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x^{i}\částečné x^{j))}$

Celkový derivát

V mnoha případech je nutné vyhodnotit závislost funkce na změně dané proměnné v situaci, kdy se jiné proměnné mění určitým způsobem v závislosti na , to znamená, že změna této proměnné ovlivňuje hodnotu funkce jak přímo (což je vyjádřeno parciální derivací) a nepřímo změnou jiných proměnných . Celkový vliv je vyjádřen jako celková derivace : $F$ $x^{j}$ $x^{j}$ $F$

${\frac {df}{dx^{j}}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\částečné x^{i}}{\částečné x^{j}}}$

V obecném případě lze uvažovat trajektorii nezávislých proměnných v parametrickém tvaru , kde je nějaký parametr (ve fyzice je to nejčastěji čas). Pak můžeme uvažovat celkovou derivaci s ohledem na tento parametr: $x^{i}(t)$ $t$

${\frac {df}{dt}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\částečné f}{\částečné x^{i}}}{\frac {dx^{ i}}{dt}}$

V tomto případě může jedna z proměnných fungovat jako parametr . $t$ $x^i$

Lagrangeova derivace zohledňuje změny v důsledku časové závislosti a pohybu prostorem po vektorovém poli.

Sada funkcí několika proměnných

Množinu funkcí několika proměnných lze interpretovat jako funkci s vektorovou hodnotou: . Derivací takové funkce je tzv. Jacobiho matice , jejíž řádky jsou gradienty funkcí , které tvoří množinu , to znamená, že prvek -tého řádku a -tého sloupce se rovná parciální derivaci. funkce vzhledem k proměnné : $\mathbf {F}$ $f_{i}$ ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $J$ $f_{i}$ $\mathbf {F}$ $i$ $j$ $f_{i}$ $x^{j}$

$J_F=\mathbf{F}'(\mathbf{x}_0)=\left[\frac {\partial f_i}{\partial x^j}\right]$

Analogicky se skalárními funkcemi pro malé změny ve vektoru argumentů platí rovnost: $d{\mathbf {x}}$

$d{\mathbf {F}}={\mathbf {F}}'({\mathbf {x}}_{0})d{\mathbf {x}}$

Speciálním případem derivace vektorově hodnotné funkce je derivace gradientu nějaké skalární funkce , protože gradient je ve skutečnosti vektorem několika parciálních derivačních funkcí. Tato derivace, jak bylo uvedeno výše, je v podstatě druhou derivací skalární funkce a je maticí parciálních derivací druhého řádu této funkce - Hessovské matice ( ) nebo Hessovské matice (hessián se obvykle nazývá determinant hessovské funkce matice). $F$ $H_{f}$

Derivace zobrazení libovolných lineárních prostorů

Předběžné zobecnění

Skalární funkce několika proměnných byla výše formálně uvažována jako funkce vektoru, jehož komponenty jsou nezávislé proměnné. V obecném případě bychom měli uvažovat skalární (numerické) funkce na libovolných vektorových prostorech nějaké dimenze. Potom v každé pevné bázi lze takové zobrazení považovat za funkci několika proměnných. Všechny výše uvažované koncepty lze tedy interpretovat jako souřadnicové definice derivací pro pevnou bázi libovolného prostoru (vybaveného pro tyto účely postačující topologickou strukturou). $f:X\šipka doprava R$ $X$

Podobně byly hodnoty množiny funkcí také formálně považovány za součásti nějakého vektoru a tato množina funkcí byla (formálně) považována za mapování z jednoho vektoru do druhého. V obecném případě by se mělo uvažovat o mapování mezi libovolnými vektorovými prostory a různých dimenzí a povahy (vybavených nezbytnou topologickou strukturou). Pokud zafixujeme báze v obou prostorech, pak je toto zobrazení analogické s výše uvažovanou množinou funkcí několika proměnných. Všechny odpovídající definice jsou tedy v obecném případě interpretovány jako souřadnicové definice derivací pod pevnými bázemi odpovídajících prostorů. $F:X\šipka doprava Y$ $X$ $Y$

Tato interpretace zároveň znamená, že přestože souřadnicová reprezentace derivátů závisí na bázi (ty se mění při přechodu z jedné báze na druhou), neměly by samotné pojmy derivátů záviset na volbě bází. Obecně řečeno jsou tedy vyžadovány obecnější definice derivátů, které přímo nesouvisejí s volbou báze a jejich souřadnicovou reprezentací. Navíc jsou tyto definice zobecněny na případ prostorů nekonečné dimenze, který se používá například ve funkcionální analýze a variačním počtu.

Gateau derivát

Poněkud obecný pojem derivace je zvažován ve funkční analýze , kde je pojem směrové derivace zobecněn na libovolné lokálně konvexní topologické vektorové prostory . Odpovídající derivace se obvykle nazývá Gateauxova derivace nebo slabá derivace. Definice Gateauxovy derivace je v podstatě stejná jako směrová derivace pro případ funkce několika proměnných:

$f'_{{e}}({x}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({x}_{0}+t{e})-f ({x}_{0})}{t}}$

Fréchetův derivát

V případě Banachových prostorů je definována Fréchetova derivace nebo silná derivace . Fréchetova derivace zobrazení je takový lineární operátor, pro který platí následující rovnost: $F:X\šipka doprava Y$ $F'$

$\lim _{{||h||_{X}\rightarrow 0}}{\frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}} {||h||_{X}}}=0$ ,

To znamená, že pro dostatečně malé (podle normy prostoru ) změny v argumentu změna konverguje (podle normy prostoru Y) k , což lze formálně zapsat jako rovnost: $X$ $dx$ $X$ $dF$ $F'(x)dx$

d F ( X ) = F ' ( X ) d X {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx} $dF(x)=F'(x)dx$

Pokud tato derivace existuje, pak se shoduje s derivací Gateaux. Pro konečně-rozměrné prostory v reprezentaci souřadnic je Jacobian matice, a jestliže , pak je gradient skalární funkce. $F'(x)$ $Y=R$

Variační derivace

Ve variačním počtu , kde jsou integrální funkcionály uvažovány na prostoru funkcí, ve kterém je zaveden skalární součin (ve formě integrálu dvojice funkcí), je pojem variační derivace , nazývaný také funkční derivace . představil . Variační derivace funkcionálu je funkce (obecně řečeno zobecněná funkce ) , pro kterou při malé variaci funkce platí následující rovnost: $F(f)$ $\delta F/\delta f$ $\delta f$ $F$

5 F = F ( F + 5 F ) − F ( F ) = ( 5 F / 5 F , 5 F ) = ∫ 5 F ( F ( X ) ) 5 F 5 F ( X ) d X {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx} $\delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx$

Lze ukázat, že v podstatě variační derivace je Fréchetova derivace.

Derivace s ohledem na míru

V teorii míry , Radon-Nikodim derivát zobecňuje Jacobian užitý na rozlišné proměnné k mírám. Vyjadřuje jedno opatření pomocí jiného opatření (za určitých podmínek). $\mu$ $\nu$

Derivace také umožňuje zobecnění do prostoru distribucí pomocí integrace po částech ve vhodném přehledném podprostoru.

Diferenciální operátory v konečněrozměrných prostorech

1. Divergence (divergence) funkcí s vektorovou hodnotou ( vektorová pole ) v konečně-dimenzionálním prostoru udává míru toho, jak silný je v tomto bodě „zdroj“ nebo „propad“. Lze jej použít k výpočtu toku pomocí věty o divergenci . V souřadnicovém zobrazení (v kartézských souřadnicích) je divergence $F:X\šipka doprava X$ $X$

$\operatorname {div}{\mathbf {F}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\částečné F_{{x^{i}}}}{\částečné x^{ já}}}$

2. Rotor vektorových polí v trojrozměrném prostoru měří "rotaci" vektorového pole v tomto bodě. V souřadnicovém zobrazení (v kartézských souřadnicích) je: $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y }+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\left({\frac {\částečné F_{z)){\částečné y))-{\frac {\částečné F_{y)){ \partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}} {\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x} }{\částečné y}}\vpravo)\mathbf {e} _{z}.$

( F je vektorové pole s kartézskými složkami a jsou orty kartézských souřadnic) $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

3. Laplacián je divergence (divergence) gradientu skalární funkce (skalárního pole) v konečném prostoru. Často se označuje jako nebo jako . V souřadnicovém zobrazení (v kartézských souřadnicích) je: $\Delta$ $\nabla ^{2}$

$\operatorname {div}\operatorname {grad}f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}f} {\částečné x_{i}^{2))}$

4. D'Alembertian - definován podobně jako Laplacián, ale místo euklidovské prostorové metriky používá Minkowského prostorovou metriku . Ve fyzice se uvažuje pro čtyřrozměrný časoprostor. V souřadnicovém zobrazení (v kartézských souřadnicích) je:

\čtverec f={\frac {\částečný ^{2}f}{\částečný x^{2))}+{\frac {\částečný ^{2}f}{\částečný y^{2))}+ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{ \částečné t^{2}}}.

Deriváty v diferenciální topologii, geometrii a tenzorové analýze

Tečné vektory a tečné mapování

V diferenciální topologii je pro hladké skalární funkce na hladké varietě (dále jen varieta a jen funkce) zaveden koncept tečného vektoru v bodě . Tyto funkce tvoří algebru pomocí bodových operací sčítání a násobení a násobení číslem. Vektor tečny je definován jako lineární funkcionál na algebře takových funkcí, která splňuje Leibnizovo pravidlo . Pro variety, které jsou podmnožinami , bude tento tečný vektor analogický s orientovanou derivací v bodě definovaném výše. $f:M\rightarrow R$ $M$ $p\in M$ $\mathbb {R} ^{n}$

Lineární operátor na algebře funkcí, který splňuje Leibnizovo pravidlo, je ve skutečnosti odvozením algebry těchto funkcí a ve skutečnosti určuje derivaci skalárních funkcí. Takové lineární operátory na algebře skalárních funkcí tvoří vektorové pole na varietě. Toto vektorové pole lze také definovat jako mapování, které přiřadí každému bodu manifoldu tečný vektor k tomuto bodu.

Množina všech tečných vektorů k danému bodu manifoldu tvoří prostor tečny k danému bodu . $T_{p}M$

Pro hladká zobrazení variet libovolných rozměrů je diferenciál v bodě lineárním operátorem , který pro libovolný tečný vektor spočívá v derivování funkce pro libovolnou numerickou funkci f na varietě N . $F\colon M\to N$ $p\in M$ $d_{p}F:T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N$ $X\in T_{p}M$ $g(p)=f(F(p))$

V reprezentaci souřadnic je diferenciál jakobiánskou maticí . Báze v tečných prostorech jsou definovány jako parciální derivace numerických funkcí souřadnicové reprezentace bodu p. $\left\{{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\right\}$

Sjednocení všech tečných prostorů (považovaných za disjunktní množiny) pro všechny body variety se nazývá tečný svazek variety (má rozměr 2n, protože tečný svazek je v podstatě množina dvojic - bod a tečný vektor k to). Přesněji řečeno, tečný svazek je zobrazení prostoru TM do variety M. Tangentní zobrazení ( angl. pushforward ) je zobecněním jakobiánského konceptu a působí na tečné svazky variet: . Argumenty tečného zobrazení jsou bod a vektor . Pro pevný bod je mapováním výše uvedený rozdíl v bodě - lineární mapování z prostoru tečny do prostoru tečny . $TM$ $dF\colon \,TM\to TN$ $p\in M$ $\xi \inTM$ $p\in M$ $dF(x,\cdot )\colon \,T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ $T_{p}$ $T_{F(p)}N$

Vektorové pole na varietě je zobrazení variety M na TM, to znamená takové, které přiřazuje každému bodu variety tečný vektor k tomuto bodu. Vektorové pole lze považovat za úsek tečného svazku - zobrazení M do TM. Vektorová pole lze také považovat za odvození algebry funkcí, které mapují každou funkci algebry na jinou funkci stejné algebry. Toto je lineární mapování, které splňuje Leibnizovo pravidlo.

Pro Riemannovské variety je gradient skalární funkce f definován jako prostorový vektor tečny takový, že pro jakýkoli vektor tečny X je diferenciál funkce roven skalárnímu součinu . V reprezentaci souřadnic je to konvoluce prostorové metriky parciálními derivacemi funkce: $\nabla f$ $T_{x}M$ $(d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)$ $\nabla f=g^{ij}\partial _{i}f$

Derivace lži

Lieova derivace je rychlost změny tenzorového pole (zejména skalárního nebo vektorového pole) ve směru daného vektorového pole. V případě skalárního pole se Lieova derivace shoduje se směrovou derivací . Pro vektorová pole je Lieova derivace rovna tzv. Lieově závorce . Toto je příklad aplikace Lieovy závorky (vektorová pole tvoří Lieovu algebru na grupě difeomorfismu variety). Toto je derivace 0. řádu v algebře.

Externí a vnitřní deriváty

Na vnější algebře diferenciálních forem přes hladkou varietu je vnější derivace jedinečným lineárním zobrazením, které splňuje ordinální verzi Leibnizova zákona a je nulové, když je na druhou. Toto je derivace 1. řádu na vnější algebře.

Vnitřní derivace je "-1" derivace řádu na vnější algebře forem. Spolu vnější derivace, Lieova derivace a vnitřní derivace tvoří Lieovskou superalgebru .

Kovariantní derivát

V diferenciální geometrii (a výsledné tenzorové analýze ) se pomocí kovariantní derivace odebírají derivace ve směrech vektorových polí podél křivek nebo obecně v křivočarém souřadnicovém systému. Toto rozšiřuje směrovou derivaci skalárních funkcí na části vektorových svazků nebo hlavních svazků . V Riemannově geometrii existence metriky umožňuje kanonickou volbu kovariantní derivace bez zkroucení známé jako Levi-Civita spojení .

Pro skalární funkce je kovariantní derivace stejná jako derivace s ohledem na směr vektorového pole. Kovariantní derivace vektorového pole vzhledem k vektorovému poli může být formálně definována jako zobrazení, které je F-lineární v (tj. v součtu a násobení skalární funkcí), aditivitě v a standardním Leibnizově pravidle pro součin skalární pole a vektorové pole . V obecném případě tenzorových polí je pro jejich tenzorový součin vyžadováno Leibnizovo pravidlo. $F$ $D_{v}f$ $proti$ $u$ $proti$ $proti$ $u$ $F$ $u$

V případě vektorového pole lze kovariantní derivaci v reprezentaci souřadnic zapsat jako:

D_{j}u^{i}=\částečné _{j}u^{i}+\Gamma _{{kj}}^{i}u^{k}

kde je obyčejná parciální derivace s ohledem na souřadnici a jsou Christoffelovy symboly . $\partial _{j}u^{i}$ $x^{j}$ $\Gamma _{{kj}}^{i}$

V případě kartézských souřadnic jsou Christoffelovy symboly nulové, takže kovariantní derivace je rovna obyčejné derivaci.

Vnější kovariantní derivace rozšiřuje vnější derivaci na vektorově hodnotné formy.

Derivace v jiných odvětvích matematiky

Deriváty v komplexní analýze

V komplexní analýze (analýze funkcí komplexních proměnných) jsou ústředními předměty studia holomorfní funkce , což jsou funkce s komplexní hodnotou v rovině komplexních čísel a splňují odpovídající rozšířenou definici diferencovatelnosti.

Schwartzova derivace popisuje, jak je komplexní funkce aproximována lineárním zlomkovým zobrazením , podobně jako obyčejná derivace popisuje, jak je funkce aproximována lineárním zobrazením.

Deriváty v algebře a algebraické geometrii

Odvození v obecné algebře je lineární zobrazení na prstenci nebo algebře , které splňuje Leibnizův zákon ( pravidlo součinu ). Jsou studovány v čistém algebraickém nastavení v Galoisově diferenciální teorii , ale objevují se také v mnoha jiných oblastech, kde se často používají s méně přísnými algebraickými definicemi derivátů.

V algebraické Kahlerově geometrii diferenciál umožňuje rozšířit definici vnější derivace na libovolné algebraické variety , namísto pouze hladkých variet .

Další zobecnění

Je docela možné kombinovat dva nebo více různých konceptů rozšíření nebo abstrakce jednoduché derivace. Například Finslerova geometrie studuje prostory, které lokálně vypadají jako Banachovy prostory . Tímto způsobem je možné vytvořit derivaci s některými znaky funkční derivace a kovariantní derivace .

V poli kvantových grup je -derivát -deformací obvyklé derivace funkce. $q$

Zlomkové deriváty

Kromě tých derivací libovolného přirozeného čísla je možné pomocí různých metod zavádět derivace ve zlomkových mocninách, čímž se získávají tzv. zlomkové derivace . Derivace záporných řádů budou odpovídat integraci, odkud pochází termín differentintegral . Studium různých možných definic a zápisu derivátů nepřirozených řádů je známé jako zlomkový počet . $n$ $n$

Potřebuje definici

Dini derivát
Maticový počet
Pinkerleho derivát
Parametrická derivace
Polodiferencovatelnost

Viz také

Poznámky

↑ Frölicher, 1970 , s. 131.

Literatura

Frölicher, A., Bucher W. Diferenciální počet ve vektorových prostorech bez normy. — M .: Mir, 1970.

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata