Vektorová mřížka

Vektorová mřížka ( -lineární , Reesův prostor , v raných ruských zdrojích také lineární struktura ) je skutečný nebo komplexní vektorový prostor vybavený strukturou algebraické mřížky . První zvažovaný Reesem v roce 1928, s použitím konstrukcí na něm založených, byly získány důležité výsledky ve funkční analýze . $K$

Vektorovou mřížku lze definovat axiomaticky na vektorovém prostoru s libovolně rozlišenou podtřídou prvků , nazývanou kladné prvky ( ), zavedením relace částečného pořadí takto: (v tomto případě ), pokud jsou také splněny následující podmínky: $X$ $X_{+}\subset X$ ${\displaystyle 0\notin X_{+))$ ${\displaystyle x>y\Leftrightarrow xy\in X_{+))$ $x\in X_{+}\Rightarrow x>0$

pokud , tak , $x>0$ $x\neq 0$
jestli a pak $x>0$ $y>0$ $x+y>0$
pro jakékoli dva prvky existuje jejich supremum , $x,y\v X$ $x\vee y$
if a pro prvek číselného pole , , pak [1] . $x>0$ $\lambda$ $\lambda>0$ $\lambda x>0$

Libovolná vektorová mřížka je distributivní [2] .

Důležitou vlastností ve vektorových mřížích je reprezentovatelnost libovolného prvku jako rozdíl dvou kladných prvků , kde se nazývá kladná část prvku , a je jeho záporná část. V těchto termínech je také představen koncept modulu prvku takto: , a je vždy splněno . Pro ohraničenost množiny ve vektorové mřížce je nutné a postačující, aby množina modulů jejích prvků byla ohraničená [3] . $x\in X$ ${\displaystyle x=x_{+}-x_{-))$ $x_{+}=x\vee 0$ $X$ $x_{-}=(-x)\vee 0$ $|x|=x_{+}+x_{-}$ $x\leqslant x_{+}\leqslant |x|$ $U\in X$ ${\displaystyle U^{*}=\{|x|,\,x\in U\))$

Zvláště zajímavé ve funkcionální analýze jsou vektorové mřížky s další prostorovou strukturou, jako jsou Banachovy mřížky [4] .

Poznámky

↑ Vulikh, 1961 , str. 59-60.
↑ Vulikh, 1961 , str. 69-69.
↑ Vulikh, 1961 , str. 68.
↑ Bukhvalov, 1979 .

Literatura

A. V. Buchvalov, A. I. Veksler, G. Ya. Lozanovsky. Banachovy mřížky – některé Banachovy aspekty teorie // Pokroky v matematických vědách . - 1979. - T. 34 , č. 2 (206) . — S. 137–183 .
Vulikh B. Z. Kapitola III. Lineární struktury // Úvod do teorie polouspořádaných prostorů. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - 408 s. - 9000 výtisků.