Rozdělení jednotky

Rozdělení jednotky je konstrukce používaná v topologii pro usnadnění práce s rozdělovačem jako se sadou map .

Rozdělovací jednota se používá k definování zejména integrálu diferenciální formy na různoběžce.

Konstrukce

Nechť je dáno otevřené pokrytí topologického prostoru otevřenými množinami . Oddíl jednoty podřízený pokrytí je množina nezáporných spojitých reálných funkcí na , které mají následující vlastnosti: $M$ $D_{\alpha }$ $\{D_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle f_{\beta ))$ $M$

$0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$
Nosič každé z funkcí je zcela obsažen v jedné ze sad . ${\displaystyle f_{\beta ))$ $D_{\alpha }$
Pro jakýkoli bod máme (tj. pro jakýkoli pro nejvýše spočetnou množinu funkcí , řada , kde konverguje k 1, je také odlišná od nuly . Tato řada konverguje absolutně, takže součet řady nezávisí na pořadí podmínek). $x\v M$ ${\displaystyle \sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1))$ $x\v M$ $f_{\beta }(x)$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)))$ ${\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta }(x)\neq 0\))$

Pokud pro jakýkoli bod existuje okolí takové, že průsečík je neprázdný nanejvýš pro konečný počet indexů , pak se o takovém rozdělení jednoty říká , že je lokálně konečné . $x\v M$ $W\ni x$ ${\displaystyle W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta ))$ $\beta$

Vlastnosti

Pro jakýkoli otevřený kryt parakompaktního T 1 -prostoru existuje lokálně konečné rozdělení jednoty, které je mu podřízeno. A naopak, pokud pro jakékoli otevřené zakrytí -prostoru existuje rozdělení jednoty, které je mu podřízeno, pak je tento prostor parakompaktní. $T_{1}$
Pro každou otevřenou krycí varietu existuje konečný nebo spočetný lokálně konečný oddíl jednoty podřízený obalu, sestávající z funkcí třídy . $C^\infty$ $C^\infty$

Literatura

Engelking R. Obecná topologie / přeložili M.Ya.Antonovsky a A.V.Arkhangelsky. — M .: Mir, 1986. — 752 s.

J. de Ram. Diferencovatelné manifoldy / překlad D.A. Vasilkova. - M . : zahraniční literatura, 1956. - 250 s.