Vzdálenost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. července 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Vzdálenost , v širokém slova smyslu, míra (míra) vzdálenosti objektů od sebe.

Vzdálenost je základním konceptem geometrie . Termín je často používán v jiných vědách a disciplínách: astronomie , geografie , geodézie , navigace a další. V různých oborech má jako termín jinou definici, která je uvedena níže.

Vzdálenost v matematice

Vzdálenost v algebře

Obsah pojmu "vzdálenost" v algebře souvisí s pojmem metrický a metrický prostor .

Množina X se nazývá metrický prostor, pokud takové zobrazení, nazývané metrika, X² do množiny nezáporných čísel je dáno tak, že pro libovolné prvky a, b, c množiny X platí následující axiomy, nazývané Fréchetovy axiomy, držte :

1) , navíc je rovnost splněna právě tehdy, když jsou prvky a a b stejné; $\rho (a;b)\geq 0$

2) ; $\rho (a;b)=\rho (b;a)$

3) . $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$

Pro třetí axiom je speciálním případem trojúhelníková nerovnost .

Vzdálenost v množině reálných čísel Zavedení metrik

Pro množinu všech reálných čísel je vzdálenost od čísla a k číslu b považována matematiky za číslo . $|ab|$

Je snadné vidět, že množina reálných čísel s danou metrikou je metrický prostor.

Důkaz

První podmínka je splněna, protože modul libovolného reálného čísla z definice je nezáporné číslo, navíc modul čísla je roven nule právě tehdy, když je výraz pod modulem roven nule, odkud, pokud je splněna rovnost, pak jsou čísla stejná.

Druhá vlastnost je pravdivá, jelikož z vlastností číselného modulu: . $|ab|=|ba|$

Třetí vlastnost platí, protože samotná vlastnost je ekvivalentní , ale , a modul součtu vždy nepřesahuje součet modulů. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ $(ac)+(cb)=ab$

Vzdálenost v množině párů reálných čísel

Z hlavních metrik v množině párů reálných čísel (a v grafické interpretaci - množina všech bodů roviny) se rozlišují dvě: Descartova metrika a Euklidova metrika .

Descartesova metrika Zavedení metrik

Pro množinu párů reálných čísel je dána Descartova metrika:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Ujistíme se, že množina párů reálných čísel (R²) se zavedenou Descartovou metrikou je metrický prostor.

Důkaz

První vlastnost samozřejmě platí, protože součet modulů, z nichž každý je nezáporné číslo, je také nezáporné číslo. Navíc je rovnost splněna tehdy a jen tehdy, když jsou oba výrazy pod modulem rovny nule, ale pak jsou si rovny i uvažované dvojice prvků množiny.

Druhá vlastnost je splněna, protože . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Dokažme třetí vlastnost:

Nechť jsou dány tři dvojice reálných čísel (a; b), (c; d), (e; f). Potom lze požadovanou nerovnost zapsat v následujícím tvaru:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Tato nerovnost je pravdivá, což vyplývá ze sečtení následujících dvou nerovností prokázaných dříve:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ a . $|bd|\leq |by|+|yd|$

Euklidova metrika Zavedení metrik

Pro množinu párů reálných čísel je dána euklidovská metrika:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))))$ .

Ověřte, že množina R² se zavedenou euklidovskou metrikou je metrický prostor.

Důkaz

První vlastnost platí, protože aritmetický kořen nezáporného čísla je vždy nezáporný. Pokud je naopak splněna rovnost nule, pak oba výrazy na druhou jsou rovny nule, takže požadované je zřejmé.

Druhá vlastnost je splněna, protože . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Dokažme třetí vlastnost:

Nechť jsou dány tři dvojice reálných čísel (a; b), (c; d), (e; f). Potom lze požadovanou nerovnost zapsat v následujícím tvaru:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ sqrt {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . Po umocnění a transformaci tohoto výrazu dospějeme k následující nerovnosti:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd )^{2})}}$ , což je pravda, což vyplývá z Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti (s vhodnou změnou rozdílů čísel).

Vzdálenost v geometrii

V geometrii je vzdálenost mezi obrazci minimální možnou délkou segmentu mezi bodem patřícím prvnímu obrazci a bodem patřícím druhému obrazci.

Vzdálenost v technologii

Vzdálenost mezi objekty je délka úsečky spojující dva objekty. Vzdálenost v tomto smyslu je fyzikální veličina s rozměrem délky, hodnota vzdálenosti se vyjadřuje v jednotkách délky.

Vzdálenost ve fyzice

Vzdálenost
s
Jednotky
SI	m
GHS	cm

Ve fyzice se vzdálenost měří v jednotkách délky , což je ve většině systémů měření jedna ze základních jednotek měření . V mezinárodní soustavě jednotek (SI) je jednotkou délky metr . Vzdálenost se také nazývá délka cesty , kterou objekt urazí. V tomto případě je derivací vzdálenosti (vektoru poloměru) s ohledem na čas rychlost .

Další použití

V proxemice se pojem vzdálenosti používá k popisu osobního prostoru člověka.

Viz také

Poznámky

Literatura

Zenith distance // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.