Nevlastní integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. srpna 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Určitý integrál se nazývá nevlastní , pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek.

Oblast integrace je nekonečná. Například je nekonečný rozsah . $[a,+\infty)$
Funkce je neomezená v blízkosti některých bodů integračního oboru. $f(x)$

Jestliže je interval konečný a funkce je Riemannově integrovatelná , pak hodnota nevlastního integrálu se shoduje s hodnotou určitého integrálu . $[a,b]$

Nevlastní integrály prvního druhu

Dovolit být definován a spojitý na intervalu a . Pak: $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Jestliže , pak se používá zápis a integrál se nazývá nevlastní Riemannův integrál prvního druhu . V tomto případě se nazývá konvergentní. $\exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$
Pokud neexistuje žádné konečné ( nebo ), pak se integrál nazývá divergentní k " ", " " nebo jednoduše divergentní. $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\nexistuje$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Dovolit být definován a spojitý na množině od a . Pak: $f(x)$ $(-\infty,b]$ $\forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx$

Jestliže , pak se používá zápis a integrál se nazývá nevlastní Riemannův integrál prvního druhu . V tomto případě se nazývá konvergentní. $\exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$
Pokud neexistuje žádné konečné ( nebo ), pak se integrál nazývá divergentní k " ", " " nebo jednoduše divergentní. $\lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\nexistuje$ $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Pokud je funkce definovaná a spojitá na celé reálné čáře, pak může existovat nevlastní integrál této funkce se dvěma nekonečnými limity integrace, který je určen vzorcem: $f(x)$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+ \infty} f(x)dx$ , kde c je libovolné číslo.

Geometrický význam nevlastního integrálu prvního druhu

Nevlastní integrál prvního druhu vyjadřuje plochu nekonečně dlouhého křivočarého lichoběžníku.

Příklady

$\int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^ {-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{ a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1$

Nevlastní integrály druhého druhu

Let je definován na , trpí nekonečnou diskontinuitou v bodě x = a a . Pak: $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Jestliže , pak se používá zápis a integrál se nazývá nevlastní Riemannův integrál druhého druhu . V tomto případě se integrál nazývá konvergentní. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Jestliže nebo , pak je označení zachováno, ale nazývá se divergentní k " ", " " nebo jednoduše divergentní. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\nexistuje)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Dovolit je definováno na , trpí nekonečnou diskontinuitou pro x = b a . Pak: $f(x)$ $[a, b)$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Jestliže , pak se používá zápis a integrál se nazývá nevlastní Riemannův integrál druhého druhu . V tomto případě se integrál nazývá konvergentní. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Jestliže nebo , pak je označení zachováno, ale nazývá se divergentní k " ", " " nebo jednoduše divergentní. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\nexistuje)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Pokud funkce trpí nespojitostí ve vnitřním bodě segmentu , pak je nevlastní integrál druhého druhu určen vzorcem: $f(x)$ $C$ $[a;b]$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b} f(x)dx.$

Geometrický význam nevlastních integrálů druhého druhu

Nevlastní integrál druhého druhu vyjadřuje plochu nekonečně vysokého křivočarého lichoběžníku.

Příklad

$\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln|x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty$

Jediný případ

Nechť je funkce definována na celé reálné ose a má v bodech nespojitost . $f(x)$ $x_1, x_2,\tečky ,x_k$

Pak můžeme najít nevlastní integrál $\int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k -1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx$

Cauchyho kritérium

1. Nechť je definováno na množině od a . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Poté konverguje

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{ A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

2. Nechť být definován na a . $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx$

Poté konverguje

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left |\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

Absolutní konvergence

Integrál se nazývá absolutně konvergentní , pokud konverguje. Pokud integrál konverguje absolutně, pak konverguje. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$

Podmíněná konvergence

Integrál se nazývá podmíněně konvergentní , pokud konverguje, ale diverguje. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \$

Viz také

Riemannův integrál
Lebesgueův integrál
Samokishova metoda je numerická metoda pro výpočet integrálů se singularitami.

Literatura

Dmitrij napsal. Poznámky k přednáškám z vyšší matematiky, část 1. - Iris Press, 2007. - S. 233-237.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus