Symbolická dynamika

Symbolická dynamika je sjednocující název pro třídu dynamických systémů , pro které jsou body fázového prostoru sekvencemi v nějaké konečné abecedě „symbolů“ a mapování spočívá v posunutí sekvence o jeden symbol doleva.

Nejjednodušší příklady jsou Bernoulliho posun a Markovův posun . Symbolická dynamika vzniká také při zvažování zobrazení osudu .

Základní příklady

Bernoulliho posun

Nechť je prostor sekvencí v abecedě , tj. $\Sigma _{s}^{{+}}$ $\{1,\tečky ,s\}$

\Sigma _{s}^{{+}}=\{(\omega _{j})_{{j=1}}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\ v \{1,\tečky ,s\}\}.

Bernoulliho posun je dynamický systém , kde je mapování levého posunu, $(\Sigma _{s}^{{+}},\sigma )$ $\sigma$

(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{{j+1}}.\qquad (*)

Uvažujeme také mapování levého posunu na prostoru oboustranně nekonečných sekvencí

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{{j=-\infty }}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1 ,\tečky ,s\}\};

výsledný dynamický systém se také nazývá Bernoulliho posun. Je-li to nutné, abychom objasnili, který ze systémů je myšlen, první systém se nazývá jednostranný Bernoulliho posun a druhý oboustranný . $(\Sigma _{s},\sigma )$

Markov posun

Mapování osudu

Pokud je fázový prostor dynamického systému rozdělen do svazku disjunktních množin,

X=\bigsqcup _{{i=1}}^{N}B_{i},

jakýkoli bod může být spojen s jeho osudem - posloupnost čísel souborů, které jeho oběžná dráha navštíví: $x\in X$

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{{i_{k}}}.\qquad (*)

Navíc u nevratných dynamických systémů je posloupnost jednostranná, tzn. a pro reverzibilní systémy se obvykle uvažuje o dvoustranných nekonečných posloupnostech, . $(i_{k})$ $k=0,1,2,\tečky$ $k\in \mathbb{Z }$

Mapování nebo , dané vzorcem (*), se nazývá mapování osudu (odpovídající danému rozdělení fázového prostoru). Takové mapování automaticky splňuje vztah $h:X\to \Sigma _{N}$ $h:X\to \Sigma _{N}^{+}$

h\circ f=\sigma \circ h.

Přestože mapa osudu není a priori ani surjektivní, ani injektivní, ani spojitá, často se používá při konstrukci konjugací nebo polokonjugací různých zobrazení. V případě, že je mapování osudu injektivní, mluví se o symbolickém kódování dynamiky - protože aplikace mapování se taková „záměna souřadnic“ mění v dynamiku na symbolickém prostoru nebo na jeho části. $\Sigma _{N}$

Vlastnosti

Příklady

Invariantní míry

Literatura

P. Billingsley, Ergodická teorie a informace.
V. I. Arnold, D. V. Anosov, Yu. S. Ilyashenko a kol., Dynamic Systems-1, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů s přehledem posledních úspěchů / Per. z angličtiny. vyd. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .