Duální prostor

Duální prostor (někdy duální prostor ) je prostor lineárních funkcionálů na daném vektorovém prostoru .

Definice

Množina všech spojitých lineárních funkcionálů definovaných na topologickém vektorovém prostoru tvoří také vektorový prostor. Tento prostor se nazývá dual to , obvykle se označuje . Množina všech lineárních funkcionálů na , nemusí být nutně spojitá, se nazývá algebraicky sdružená k , obvykle se označuje [1] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$ $E$ $E^{\#}$

V případě (obvykle uvažovaném v lineární algebře), kdy je vektorový prostor konečně-rozměrný, jsou všechny lineární funkcionály automaticky spojité a duální prostor se jednoduše skládá ze všech lineárních funkcionalí (funkcí) na . V případě (obvykle uvažovaném ve funkcionální analýze), kdy je obecně řečeno nekonečně-rozměrný [1] . $E$ $E^{*}=E^{\#}$ $E$ $E$ $E^{*}\neq E^{\#}$

V tensor kalkulu se označení používá pro prvky (horní nebo kontravariantní index) a pro prvky (dolní nebo kovariantní index). $x^{k}$ $E$ $x_k$ $E^{*}$

Duální mapování

Duální mapování je lineární mapování mezi vektorovými prostory duálními k datům, vyvolané mapováním mezi samotnými prostory.

Dovolit být vektorové prostory a být duální vektorové prostory. Pro jakékoli lineární mapování je duální mapování (v opačném pořadí) definováno jako $V,W$ $V^{*},W^{*}$ $f:V\to W$ $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$

f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,

pro jakýkoli . $\varphi \in W^{*}$

Vlastnosti

Konečně-dimenzionální prostory [2]

Duální prostor má stejný rozměr jako prostor nad polem . Proto jsou prostory a izomorfní . $E^{*}$ $E$ $F$ $E$ $E^{*}$
Každá prostorová báze může být spojena s tzv. duální (nebo reciproční ) prostorovou bází , kde funkcionál je projekce na vektor : ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n))$ $E$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $E^{*}$ $e_{i}$ ${\displaystyle e^{i))$ $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i} ,\quad \forall x\in E.$
Pokud je prostor euklidovský , tedy skalární součin je na něm definován , pak mezi a existuje tzv. kanonický izomorfismus (tedy izomorfismus, který nezávisí na zvolených bázích), definovaný vztahem $E$ $E$ $E^{*}$ $v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$
Druhý duální prostor je izomorfní k . Navíc existuje kanonický izomorfismus mezi a (nepředpokládá se, že prostor je euklidovský) definovaný vztahem $E^{{**}}$ $E$ $E$ $E^{{**}}$ $E$ $x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.$
Výše definovaný kanonický izomorfismus ukazuje, že prostory a hrají symetrickou roli: každý z nich je duální vůči druhému. Pro zvýraznění této symetrie se for často píše jako tečka. $E\to E^{**}$ $E$ $E^{*}$ $x\in E,\ f\in E^{*}$ $f(x)=(x,f)$

Nekonečně-rozměrné prostory

Je-li vektorový prostor normovaný , pak má duální prostor přirozenou normu - to je operátorová norma spojitých funkcionalí. Prostor je Banach [3] [1] . $E$ $E^{*}$ $E^{*}$

Je-li prostorem Hilbert , pak podle Rieszovy věty existuje izomorfismus mezi a a podobně jako v konečně-dimenzionálním případě lze každý lineárně ohraničený funkcionál reprezentovat vnitřním součinem pomocí nějakého prostorového prvku [4] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$

Konjugát k prostoru $L^{p}$ , , je prostor , kde . Podobně je konjugováno s , , se stejným vztahem mezi p a q . $1<p<\infty$ $L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $l^{p}$ $1<p<\infty$ ${\displaystyle l^{q))$

Variace a zobecnění

Termín duální prostor může mít pro vektorové prostory nad polem komplexních čísel různý význam : prostor shodný s reálným vektorovým prostorem, ale s odlišnou strukturou násobení komplexními čísly: $\bar E$ $E$ ${{\bar c}}{{\bar x}}=\overline {cx}$
Pokud je v prostoru hermitovská metrika (například v Hilbertově prostoru ), lineárně sdružené a komplexně sdružené prostory se shodují.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýza. - Jakékoli vydání.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. III, § 7. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, 2. vyd. Moskva: Nauka, 1965, s. 147.
↑ Halmos P. Teorie míry. M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1953.