Spontánní narušení symetrie

Spontánní narušení symetrie je metoda narušení symetrie fyzikálního systému , při které počáteční stav a pohybové rovnice systému jsou invariantní s ohledem na některé transformace symetrie, ale v procesu evoluce systém přechází do stavu pro kterým je porušena invariance vzhledem k některým (včetně všech) transformací počáteční symetrie. Spontánní narušení symetrie je vždy spojeno s degenerací stavu minimální energie zvaného vakuum . Sada všech vakuů má počáteční symetrii, ale každý vakuum samostatně ne. Například koule ve žlabu se dvěma jamkami se kutálí z nestabilního symetrického stavu do stabilního stavu s minimální energií buď doleva nebo doprava, a ničí symetrii s ohledem na změnu zleva doprava (operace inverze).

Spontánní narušení symetrie nastává (pseudo) náhodně a je řízeno fluktuacemi . Tento jev je v přírodě extrémně běžný. V klasické mechanice lze uvést mnoho různých příkladů samovolného narušení symetrie . Jestliže však v mechanice samovolné narušení symetrie má spíše popisný význam, v kvantové teorii pole je to hlavní princip, který zajišťuje generování hmotností kalibračních bosonů . Navíc v kvantové teorii pole lze konstruováním efektivních Lagrangianů některé mezony identifikovat s odpovídajícími Goldstoneovými bosony ( pseudo-Goldstoneovými bosony ). Níže, jako příklad, je π - mezon považován za Goldstoneův boson v rozporu s určitou symetrií kvantové chromodynamiky s bezhmotnými kvarky . Za kvantové pole s odpovídající symetrií lze považovat i látku v určité termodynamické fázi . Pak je spontánní narušení symetrie znázorněno jako fázový přechod .

Existence čtyř základních interakcí v přírodě může být také důsledkem porušení symetrie. Hypoteticky, při dostatečně vysokých energiích (~100 GeV ) se elektromagnetické a slabé jaderné síly spojí do jedné elektroslabé interakce a při ještě vyšších energiích (~ 1014 GeV) se elektroslabé a silné jaderné interakce spojí do elektrojaderné interakce . podle Velké sjednocené teorie .

Mechanismus spontánního porušení symetrie je životně důležitý pro možnost existence supersymetrie . Neporušená supersymetrie předpovídá existenci superpartnera se stejnou hmotností pro každou známou částici, což není v experimentech pozorováno. Předpokládá se, že v důsledku porušení supersymetrie získávají superpartneři částic velké hmotnosti, které jsou pro moderní urychlovače nedosažitelné

Vysavače mohou mít poměrně zajímavou strukturu. Kvantová teorie pole umožňuje existenci konfigurací polního vakua se spontánně rozbitým vakuem, které se mění z bodu do bodu. Takovými stavy jsou například magnetické monopóly , kosmické struny , doménové stěny . Stavy tohoto typu jsou pozorovány ve fyzice kondenzovaných látek, například stěny mezi feromagnetickými doménami. Pro složité konfigurace potenciálu s mnoha minimy existuje několik vakuů. Skutečné vakuum je však pouze stav s nejnižší energií. Všechna ostatní vakua jsou metastabilní a přecházejí do současného pomocí kvantového tunelování .

Spontánní narušení symetrie může hrát velkou roli i v gravitaci. Předpokládá se, že kosmologická inflace je způsobena přechodem z falešného vakua do skutečného během spontánního porušení symetrie Velkého sjednocení . V teoriích masivní gravitace se navíc předpokládá spontánní porušení supersymetrie ( super-Higgsův mechanismus ) . Také jsou vyvíjeny modely gravitačního pole metrického tenzoru jako Higgsovo-Goldstoneovo pole nějaké porušené symetrie .

Spontánní narušení symetrie je tedy extrémně běžný jev ve všech oblastech fyziky, od klasické mechaniky po kvantovou gravitaci .

Jednoduché příklady spontánního narušení symetrie

V klasické mechanice

Rovnice popisující pohyb atomů jakéhokoli nesymetrického fyzického těla, například židle, jsou invariantní vzhledem k trojrozměrným rotacím, nicméně řešení těchto rovnic - skutečná židle - má určitou orientaci v prostoru [ 3] .

Koule, která se nachází uprostřed mezi jamkami dvoujamkového žlabu, se dříve nebo později pod vlivem poruch převalí do jedné z nich a naruší symetrii vzhledem k náhradě . Potenciál tohoto druhu se realizuje např. v problému korálku na kroužku rotujícího kolem svislé osy (viz obrázek). Lagrangeova funkce tohoto problému má tvar $x\rightarrow -x$

L=T-V_{eff}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}} mW^{2}R^{2}\sin ^{2}\phi -mgR(1-\cos \phi )

kde R je poloměr prstence, m je hmotnost korálku, g je gravitační zrychlení a W je úhlová rychlost rotace. Potenciál má minima v bodech, které se liší od středu symetrie při rychlosti rotace . Centrální bod se stává bodem nestabilní rovnováhy a teprve kolísání počátečních parametrů nastavuje novou rovnovážnou polohu [1] . $W^{2}>g/R$

Tužka umístěná na konci stolu nemá žádný preferovaný směr v rovině stolu, ale vlivem perturbací spadne a zvolí si nějaký pseudonáhodný (v závislosti na fluktuacích) směr [4] .

Kruhová kovová tyč, upnutá mezi desky lisu , se při dostatečném zatížení ohne a směr ohybu je libovolný a závisí na kolísání. Počáteční osová symetrie tyče je samovolně porušena [5] .

Když je elastický materiál natažen, jeho délka se zvětšuje a tloušťka klesá. Při určité hodnotě tahové síly se gumička v určitém místě přetrhne, i když u ideální gumičky jsou všechny body přetržení stejně pravděpodobné. Důvodem „narušení“ symetrie je kolísání tloušťky dásně: láme se tam, kde je materiál dásně slabší. Ideální gumička by se natáhla do řetězce N atomů a zlomila se (na blíže neurčeném místě), když by se energie tahové síly rovnala celkové vazebné energii atomů . $E=N\varepsilon$

Ve fyzice kondenzovaných látek

Při krystalizaci kapaliny, která se vyznačuje nejvyšší - izotropní - symetrií, vzniká krystal , ve kterém jsou určité odlišné směry vzhledem ke krystalografickým osám. Orientace krystalografických os je obecně náhodná nebo v důsledku slabých vnějších faktorů nebo fluktuací. V tomto případě se symetrie s ohledem na translace do libovolného vektoru také redukuje na translační symetrii na vektor, který je lineární kombinací vektorů krystalové mřížky .

Kapalina se po ochlazení pod teplotu krystalizace změní na krystal. Čistá kapalina však může být ochlazena pod teplotu krystalizace. Této situace je dosaženo díky absenci krystalizačních center - nejsou zde žádná jádra, na kterých by se mohly tvořit krystaly a objevuje se metastabilní fáze podchlazené kapaliny . Z hlediska symetrie by izotropní a translační symetrie kapaliny měla klesnout na symetrii krystalové mřížky , ale v kapalině nedochází k žádným fluktuacím (krystalizačním centrům), které by tuto symetrii narušovaly.

Podobná situace nastává v přesycené páře nebo přehřáté kapalině . Takové metastabilní stavy se používají například v bublinových komorách a oblačných komorách .

Feromagnety , zahřáté nad Curieovu teplotu , jsou v paramagnetickém stavu, ve kterém neexistuje žádný preferovaný směr magnetizace ; při ochlazení pod Curieovu teplotu však dochází ve feromagnetiku k fázovému přechodu a spontánní magnetizaci , jejíž směr v nepřítomnosti vnějšího magnetického pole je náhodný a závisí na fluktuacích [6] . Spontánní porušení symetrie se vyskytuje téměř ve všech fázových přechodech (viz níže).

V kvantové mechanice

Experiment s dvojitou štěrbinou

Když kvantová částice projde stínítkem se dvěma těsně umístěnými štěrbinami [7] , za každou z nich je umístěn detektor, vystřelí pouze jeden z detektorů. Symetrie je náhodně narušena. Tento příklad se výrazně liší od příkladů uvedených výše v tom, že na základě moderních koncepcí (viz Bellův teorém [8] ) není přítomnost fluktuací pro samovolné narušení symetrie nezbytnou podmínkou a příroda implementuje průchod částice jedním z možné štěrbiny zcela náhodným způsobem.

Měření v kvantové mechanice

Předchozí příklad je možné přímo zobecnit na libovolné měření stavu v kvantové mechanice . V kvantové teorii podle postulátu měření spočívá měření v redukci (okamžitém přechodu) kvantového stavu do jednoho z možných vlastních stavů operátora měřené fyzikální veličiny . V tomto případě počáteční stav náhodně (s pravděpodobností ) přechází do stavu s porušenou počáteční symetrií. $|\psi\rangle$ $|a_{n}\rangle$ $\widehat {A}$ ${A}$ ${\displaystyle |\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2))$

Dekoherence

Dalším příkladem spontánního narušení symetrie v kvantové mechanice, ale již spojeného s přítomností fluktuací, je dekoherence . V důsledku přítomnosti vnějších výkyvů se čistý stav systému přemění na smíšený s porušením počátečních symetrií. Matematicky to odpovídá skutečnosti, že dekoherence způsobuje mizení mimodiagonálních prvků matice hustoty [8] .

Jako příklad uvažujme atom v excitovaném stavu . Atom spontánně emituje foton a přechází na nižší energetickou hladinu. Pokud je atom ve sféricky symetrickém s -stavu, pak emituje foton v libovolném směru a sám přejde do neizotropního l - stavu se spontánně narušenou symetrií vzhledem k rotacím. Příčinou porušení symetrie je přítomnost okolních částic a také náhodné fluktuace fyzikálního vakua .

Pro ilustraci dekoherence můžeme uvažovat o souboru identických kvantových stavů. Systémy v důsledku přítomnosti vnějších výkyvů po určité době budou v různých stavech [8] .

Právě destrukce mimodiagonálních prvků je zodpovědná za samovolné porušení symetrie v prvním příkladu této sekce u křesla [3] .

Spontánní porušení symetrie měřidla

Narušení globální symetrie měřidla

V teorii pole se obvykle uvažuje dynamika pole v blízkosti stavu vakua (minimální potenciální energie), přičemž pole samotná jsou malá [9] . V praxi to vede k rozšíření Lagrangeovy funkce odpovídajícího pole v Taylorově řadě v blízkosti potenciálního energetického minima s následným zanedbáváním členů vyšších mocnin. V tomto případě může být volba vakua nejednoznačná (viz obrázek "Lineární sigma model": možné stavy vakua jsou zobrazeny šedě).

Uvažujme například Lagrangián komplexního (nabitého) Klein-Gordonova pole kde jsou skutečná pole: $\varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2},$ $\varphi ^{1},\;\varphi ^{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -V(\varphi ^{ *}\varphi )={\frac {1}{2}}\částečné ^{\mu }\varphi ^{1}\částečné _{\mu }\varphi ^{1}+{\frac {1}{ 2}}\částečné ^{\mu }\varphi ^{2}\částečné _{\mu }\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\right)

kde je interakční potenciál; indexy označované řeckými písmeny se pohybují všude od 0 do 3. Tento Lagrangian je při transformacích globálního měřidla invariantní [10] $PROTI$

\varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end {pole}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end {pole}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right |

kde je skutečná konstanta. Pro daný model, vakuum není invariantní pod takovými transformacemi měřidla, jestliže funkce má minimum v bodě jiný než nula. Pokud má minimum na nule, pak vakuový bod jednoznačně odpovídá páře . Zcela jiná situace nastává, když . Minimum potenciálu neodpovídá jeden bod, ale kontinuum bodů $\alpha$ $V(x)$ $V(x)$ $\varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0$ $x_{min}=a^{2}\neq 0$

{\displaystyle (\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2))

Odpovídající rotací souřadnicového systému prostoru nábojových stupňů volnosti Klein-Gordonova pole lze vakuum vždy zredukovat do tvaru

{\displaystyle \varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T))

Je snadné vidět, že ačkoli Lagrangián (zejména přibližný) je při kalibračních transformacích invariantní, vakuum nikoliv. Systém přechází do náhodně zvoleného (ve skutečnosti v závislosti na výkyvech) stavu. Toto je spontánní porušení globální symetrie měřidla.

Příklad 1. Narušení symetrie vzhledem k inverzi znaménka skutečného Klein-Gordonova pole

Vezměme si jednoduchý příklad spontánního narušení symetrie pro skutečné Klein-Gordonovo pole, které uvádí Lagrangian

{\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac { 1}{2}}\lambda \varphi ^{4}\right)

kde ,. _ Tento Lagrangian je při změně invariantní [11] . Pole má v tomto případě dvě vakua, což odpovídá přítomnosti dvou minim v potenciální energii při ; žádná z vakua však není invariantní pod počáteční symetrií obrácení znaménka pole. Toto je spontánní porušení symetrie [12] : zde inverze není kalibrační transformace. Vzhledem k symetrii Lagrangianu vzhledem k inverzi znaménka pole (parity) lze zvolit libovolné znaménko vakua. Bez ztráty obecnosti lze zvolit " ". Rozšířením pole v blízkosti vakuového stavu a za předpokladu, že je malé, lze Lagrangián zapsat [13] jako $\lambda >0$ $\mu ^{2}<0$ $\varphi \rightarrow -\varphi$ $\varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda ))$ $+$ $\varphi =a+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L))'=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal { O))(\phi ^{3})=\částečné ^{\mu }\phi \částečné _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O)) (\phi ^{3})

kde . V tomto příkladu je třeba zdůraznit ještě jeden důležitý detail. Lagrangian popisuje bezhmotné pole s interakčním potenciálem . Pole je bezhmotné, protože znak se shoduje se znakem kinetické energie, a proto nemůže být odpovědný za hmotnost. Lagrangián však již popisuje volné Klein-Gordonovo pole s hmotností . Spontánní porušení symetrie tedy může generovat hmotové pole. Dále bude tento jev studován podrobněji. ${\displaystyle m={\sqrt {2\lambda a^{2))}={\sqrt {-2\mu ^{2))))$ $\mathcal{L}$ $\varphi$ $V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}$ $\varphi$ $\mu ^{2}<0$ ${\mathcal {L}}'$ ${\displaystyle m={\sqrt {-2\mu ^{2))))$

Měřicí transformace tvoří Lieovu grupu , a to kompaktní . Zvažte Lagrangiana

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-V( \varphi _{i})

kde je N skutečných skalárních polí. Předpokládejme, že Lagrangian je invariantní při transformacích kalibračních skupin : $\varphi _{i}$ ${\displaystyle \omega _{i}^{j))$ $G$

{\displaystyle \varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j))

. Případ invariantního vakua

Jestliže potenciál má minimum v bodě , pak to může být ukázáno, že vakuum je invariantní pod všemi kalibračními transformacemi, jmenovitě: akce nějaké matice na nulovém vektoru přemění to na nulový vektor. V tomto případě může být potenciál rozšířen v Taylorově řadě v blízkosti nuly. Za předpokladu, že a vezmeme-li v úvahu, že první derivace v extrémním bodě jsou rovné nule a matice druhých derivací v minimálním bodě je kladně definitní , dostaneme $PROTI$ $\varphi _{i}=0$ $V(0)=0$ $(m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}(0)$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3})

S vhodnou ortogonální transformací lze hmotnostní matici redukovat na diagonální tvar. Takto získaný Lagrangian popisuje skutečná skalární pole s hmotnostmi, které jsou určeny vlastními hodnotami matice . ${\displaystyle \varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j))$ $m^{2}$ $N$ $m^{2}$

Případ neinvariantního vakua

Zcela jiná situace nastává, když potenciál má minimum ne na nule. V tomto případě je vždy libovolná volba stavu vakua. Vakuum bude invariantní pouze s ohledem na určitou podgrupu kalibrační grupy (skupina se nazývá malá grupa). Dochází k porušení místní symetrie skupiny měřidel . Uvažujme příklad narušení globální symetrie, který je dán kalibrační skupinou trojrozměrných rotací SO(3) , v lineárním sigma modelu. $PROTI$ $H$ $G$ $H\subset G$ $G$

Příklad 2. Prolomení globální kalibrační symetrie SO(3)

Zvažte Lagrangiana

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}

kde jsou tři skutečná skalární pole . Tento Lagrangian se nazývá lineární sigma model, který je invariantní při grupových transformacích (ortogonální matice s jednotkovým determinantem). Skupinové prvky působí na vektor jako 3D rotační matice. Vakuum tohoto pole je degenerované a leží v bodě na kouli $\varphi _{i}$ $SO(3)$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T))$

{\displaystyle \varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2))

Vhodnými transformacemi souřadnicového systému lze vakuum vždy znázornit ve tvaru

{\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T))

Je zřejmé , že vakuum není invariantní vzhledem k , ale je invariantní vzhledem ke skupině rotací kolem osy . Rozšiřme pole v blízkosti vakua , považujme ho za malé množství. V tomto případě je Lagrangian zastoupen ve formě $SO(3)$ $SO(2)\subset SO(3)$ $\varphi _{3}$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2 }}(\partial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2 }-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

což odpovídá dvěma bezhmotným skalárním polím a poli s hmotností . Jak vidíme, porušení symetrie globálního měřidla může generovat hmotu pole. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $\phi _{3}$ $m=2{\sqrt {\lambda }}a$

Obecně lze ukázat, že platí následující věta:

Goldstoneova věta [14] [15] . Když je symetrie globálního měřidla spontánně narušena, vznikají nehmotná skalární pole a masivní skalární pole . Zde je dimenze vybrané reprezentace (ve skutečnosti je to počáteční počet skutečných skalárních polí). $\dim G-\dim H$ $\phi_i$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\tilde {\phi }}_{i}$ $N$ $G$

V tomto případě se bezhmotná pole, která vznikají při spontánním narušení globální kalibrační symetrie, nazývají Goldstoneovy bosony . Ještě jednou zdůrazňujeme, že jejich počet se rovná počtu porušených symetrií.

Příklad 3. Prolomení globální kalibrační symetrie SO(N)

Zvažte, jako v předchozím příkladu, Lagrangian formuláře

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},

kde již existují skutečná skalární pole . Tento model je při skupinových transformacích invariantní . $N$ $\varphi _{i}$ $SO(N)$

Pokud je symetrie porušena, vakuum bude vzhledem ke skupině invariantní . Rozměr skupiny je . Proto je počet Goldstoneových bosonů, které jsou produkovány při spontánním porušení lokální symetrie, . Pak spontánní porušení globální symetrie dává vzniknout Goldstoneovým bosonům a jednomu masivnímu bosonu. $SO(N-1)\subset SO(N)$ $SO(N)$ $\dim SO(N)=N(N-1)/2$ $\dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1$ $SO(N)$ $N-1$

V případě Goldstoneovy věty získáme dva Goldstoneovy bosony a jedno masivní pole, což bylo přímo ověřeno v předchozím příkladu. $N=3$

Důkaz Goldstoneovy věty

Pro fundamentální reprezentaci grupy označíme generátory malé grupy jako a pro jakoukoli jinou reprezentaci jako . Pak z podmínky vakuové invariance vyplývá, že . Rozšířením exponentu v Taylorově řadě dostaneme, že působením generátorů malé (nepřerušené) skupiny na vakuum se vakuum zničí: $G$ ${\displaystyle t_{H,a))$ $T_{H,a}$ ${\displaystyle \exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0))$

T_{H,a}\varphi _{0}=0

Tato podmínka je důležitým kritériem pro neporušenou symetrii.

Zbývající generátory skupiny budou označeny jako (nebo ). Jejich působení na vakuum nedává nulu, jinak by jimi generované transformace ponechaly vakuum invariantní a patřily by do malé skupiny. Pojďme si představit vektory . Jejich počet je stejný . Jsou lineárně nezávislé a tvoří základ v podprostoru Goldstoneových bosonů (přerušené symetrie). $G$ $t_{G/H,a}$ $T_{G/H,a}$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $\dim G-\dim H$

V celém prostoru je vhodné zavést ortonormální bázi , kde vektory jsou orty Goldstoneova podprostoru složené z lineárních kombinací vektorů a vektory tvoří základ podprostoru, který doplňuje Goldstoneův podprostor k původnímu. prostor. Pak lze skalární pole na takovém základě rozšířit $\{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}$ $e_{k}$ $E_k$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\widetilde {e}}_{k}$

\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}

a Lagrangian v kvadratické aproximaci má tvar

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\částečný ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\částečný _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\částečné ^{2}V(\varphi _{0})}{\částečné \varphi _{i}\částečné \varphi _{j}}}(\phi _ {k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+ {\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

což neukazuje výslovné naplnění Goldstoneovy věty. Nicméně z podmínky kalibrační invariance minima potenciálu (nezaměňovat s vakuem, mluvíme o invarianci hodnoty potenciálu a jeho derivátů)

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j))}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0 \Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{ 0})}{\částečné \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0

Pro neporušenou symetrii platí rovnost , ale pro přerušené symetrie platí vztah , a uvážíme-li, že z lineárních kombinací získáme základ , vyplývá z toho. $T_{H,a}\varphi _{0}=0$ $-iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0$ $E_{a}$ $e_{a}$ $e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))} =0.$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\částečný ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\částečný _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}} (\phi ^{3})

kde jsou masy . Tento závěr dokazuje Goldstoneovu větu. Ve skutečnosti jde v obecném případě o úvahu o samovolném porušení symetrie, což však lze snadno provést v případě specifické symetrie, jako ve výše uvedených příkladech. ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\částečný ^{2}V(\varphi _{0})}{\částečný \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Porušení symetrie místního rozchodu

Goldstoneova věta [14] [15] zvažovaná výše říká, že když je narušena kalibrační symetrie, vznikají bezhmotné bezrotorové bosony. Vzhledem k nepřítomnosti takových částic v přírodě byl Goldstoneův teorém považován za protiargument proti porušeným symetriím. Ukázalo se však, že pokud je narušena spíše lokální než globální kalibrační symetrie, pak neexistují žádné bezhmotné Goldstoneovy bosony a místo toho nabývají hmotnostní pole kalibračních vektorů [16] [17] . Spontánní narušení lokální kalibrační symetrie je důležitým jevem v teorii pole, protože vede k získávání hmotností kalibračními poli (připomeňme, že hmotnostní členy pro kalibrační pole samy o sobě nejsou kalibrační invarianty, takže chybí v Lagrangianu a pole s nepřerušenou symetrií). Takový mechanismus se nazývá Higgsův mechanismus generování hmoty .

Lokální transformace se liší od globálních transformací přítomností souřadnicové závislosti . Tato závislost vede k výskytu kalibračních polí v Lagrangianu (v případě nabitého Klein-Gordonova pole elektromagnetické pole s grupou symetrie a při uvažování třísložkového vektoru skalárních polí se grupou symetrie , kalibrační pole, které lze identifikovat s barevným gluonovým polem silné jaderné interakce atd.). $\alpha =\alpha (x)$ $U(1)$ $NE(3)$

Zvažte Lagrangiana

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

kde je množina skalárních polí, je tenzor odpovídajícího kalibračního pole a je kovariantní derivace . Vektorový potenciál je obecně matice, která působí na vektorový sloupec . Index se pohybuje od 1 do a vyjmenovává složky expanze potenciálu přes generátory skupiny symetrie. Tento Lagrangian je invariantní podle transformací místního měřidla tvořícího skupinu . Pole pod kalibračními transformacemi se transformují následovně: $\varphi _{i}$ $N$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\částečné _{\mu }A_{\nu }^{a}-\částečné _{\nu }A_{\mu }^{a}+\ vlevo[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a))$ ${\mathcal {D}}_{\mu }\varphi _{i}=\částečné _{\mu }\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j }\varphi_{j}$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T))$ $A$ $\dim G$ $\omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),$ $G$

{\displaystyle \varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1 }+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1))

. Případ invariantního vakua

Pokud je minimum realizováno v , pak v tomto případě může být Lagrangian rozšířen v Taylorově řadě v okolí vakua a Lagrangian může být získán v kvadratické aproximaci $PROTI$ $\varphi _{i}=0$

{\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu } A_{\nu }^{a}-\částečné _{\nu }A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O))(\varphi ^{3},\varphi ^ {2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}

který popisuje masivní skalární pole a bezhmotná kalibrační vektorová pole . Vypočítejme počet stupňů volnosti pole množiny těchto polí. Protože skalární pole má jeden stupeň volnosti a bezhmotné vektorové pole má dva, celkový počet stupňů volnosti je . $N$ $\dim G$ $A_{\mu }^{a}$ $N+2\dim G$

Případ neinvariantního vakua

Hlavní rozdíl mezi lokální kalibrační symetrií a globální je v tom, že kalibrační konstanta závisí na souřadnicích . Tato souřadnicová závislost umožňuje pomocí vhodné volby zmizet pole všech bezhmotných Goldstoneových bosonů v celém prostoru. Takové měřidlo se nazývá unitární (lze ukázat, že v případě kompaktních měřidel existuje vždy [18] ). Toto měřidlo však vede k tomu, že se v Lagrangianu objevují masové členy typu , které jsou nicméně měřidlo invariantní. Pod jednotným kalibrem vznikají hmotnostní členy přesně pro kalibrační pole. Vzhledem k tomu, že unitární měřidlo anihiluje Goldstoneovy bosony a dává vzniknout masivním měřidlům bosonů, často se říká, že vektorová pole „požírají“ Goldstoneovy bosony a získávají hmotnosti. Podmínka unitárního měřidla je zapsána pomocí "maticových prvků" generátorů porušené symetrie ve tvaru $\alpha$ $x^{\mu }$ $\alpha(x)$ $\varphi _{i}$ $\dim G-\dim H$ ${\displaystyle a^{2}A^{\mu }A_{\mu ))$ $\dim G-\dim H$

\varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0

Tento vzorec znamená, že pole je ortogonální ke všem vektorům v prostoru přerušovaných symetrií. Spontánní narušení symetrie také vytváří masivní skalární pole nazývaná Higgsovy bosony. Počet polí vzniklých spontánním porušením lokální kalibrační symetrie je určen Higgsovým teorémem. $\varphi$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $N-(\dim G-\dim H)$

Higgsova věta [16] . Při samovolném porušení lokální kalibrační symetrie existují masivní skalární pole (Higgsovy bosony), bezhmotná vektorová pole a masivní vektorová pole (počet masivních kalibračních bosonů se rovná počtu porušených symetrií). $N-(\dim G-\dim H)$ $\dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H$ $\dim G-\dim H$

Nyní zjistíme počet proměnných pole v tomto systému. Vezmeme-li v úvahu, že masivní pole má tři stupně volnosti, celkový počet stupňů volnosti pole je , což se shoduje s výsledkem pro invariantní vakuum. $N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G$

Příklad 4. Porušení místní kalibrační symetrie SO (3)

Zvažte Lagrangiana

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\ frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

kde se index pohybuje od 1 do 3. Stav vakua volíme ve tvaru . Podobně jako v předchozích příkladech rozšíříme funkce polí v okolí vakua . Při aproximaci kvadratického pole je Lagrangian přepsán ve tvaru $i$ ${\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T))$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}( \phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\částečné _{\mu }A_{\nu }^{a}-\částečné _{\nu }A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\částečné _{\mu }\phi _{1}-eaA_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\částečné _{\mu }\phi _{2}+eaA_{\mu }^{1}\vpravo)^ {2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3})

Výsledný Lagrangian je diagonalizovatelný pomocí změny proměnných

{\displaystyle B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea))\částečné _{\mu }\phi _{2},\qquad B_ {\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea))\částečné _{\mu }\phi _{1))

Pak má tvar diagonalizovaný Lagrangian

{\mathcal {L}}\cca {\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2} (\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{3}-\partial _{\nu } A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4))\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{1}-\partial _ {\nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1} )^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\částečné _{\mu }B_{\nu }^{2}-\částečné _{\nu }B_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}

Jak vidíme, Lagrangián získaný v důsledku samovolného porušení symetrie popisuje jedno skalární pole o hmotnosti , jedno bezhmotné vektorové pole a dvě masivní vektorová pole o hmotnosti , což je plně v souladu s obecnými úvahami uvedenými výše. $\phi _{3}$ $m_{\phi }=2a{\sqrt {\lambda ))$ $A^{3}$ $B^{2},\;B^{3}$ $m_{B}=ea$

Stojí za zmínku, že unitární měřidlo zanechává v Lagrangianu určitou symetrii. Skupina této symetrie je malá skupina . V případě porušení symetrie (příklad výše) je malou skupinou skupina rotací kolem osy . Všimněte si, že skupina je izomorfní ke skupině kalibrační symetrie elektromagnetického pole. $H$ $SO(3)$ $SO(2)$ $\phi _{3}$ $SO(2)$ $U(1)$

Důkaz Higgsovy věty

Abychom dokázali Higgsovu větu, analogicky s důkazem Goldstoneovy věty, rozšiřujeme skalární pole . Také rozkládáme kalibrační pole pomocí generátorů kalibračních skupin : . V kvadratické aproximaci má expanze pro skalární pole stejný tvar jako v důkazu Goldstoneovy věty, druhou mocninu tenzoru pole a kovariantní derivaci v první aproximaci (protože lineární aproximace odchylek od vakua je dostatečná získat Lagrangovu kvadratickou odchylku) se zapisuje jako tvar $\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}$ $G$ $A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a} )$ ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left (\částečné _{\mu }A_{\nu }^{a}-\částečné _{\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2))$

{\mathcal {D))_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\částečné _{\mu }\phi _{k}+{\ widetilde {e}}^{k}\částečné _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}

Dosazením těchto výrazů do výsledného Lagrangianu získáme Lagrangian v aproximační kvadratice v polích

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\částečné _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu } ^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\částečné ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\částečné _{\mu } {\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde { \phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

kde . Matice je nedegenerovaná, protože ve skutečnosti jde o přechodovou matici mezi bázemi . Mohou být zavedeny marže (odpovídající unitárnímu rozchodu); pak může být konečný Lagrangian zapsán ve tvaru $K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}$ ${\displaystyle K_{ak))$ ${\displaystyle E_{a}=K_{ak}e^{k))$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\vpravo)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\částečné _{\mu }B_{\nu }^{a}- \partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a }B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\částečné ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\částečné _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi } }_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

kde , , což dokazuje Higgsovu větu. ${\displaystyle (M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\částečný ^{2}V(\varphi _{0})}{\částečný \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Spontánní porušení přibližné symetrie

V předchozích částech jsme se zabývali situací, kdy původní Lagrangian má určitou grupovou symetrii a tato symetrie je spontánně narušena. Uvažujme nyní případ, kdy jsou k Lagrangianu se symetrií přidány malé členy, které symetrii ničí (někdy se přítomnost malých nesymetrických členů, na rozdíl od spontánního porušení symetrie, nazývá měkké porušení symetrie). Spontánní porušení přibližné symetrie dává vzniknout bezotáčkovým polím o malé hmotnosti, nazývaným pseudo-Goldstone bosony [19] . $G$

Nechť potenciální energie nabývá tvaru , kde člen splňuje podmínku invariance s ohledem na grupové transformace : , je porucha, která ničí symetrii, je malý parametr. Termín posouvá stav vakua do bodu . Pak lze minimální podmínku zapsat jako $V(\varphi )=V_{0}(\varphi )+\lambda V_{1}(\varphi )$ $V_{0}(\varphi )$ $G$ $(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0$ $V_{1}(\varphi )$ $\lambda$ $V_{1}(\varphi )$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)))$

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i))}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= 0\Šipka doprava {\frac {\částečné V_{0}(\varphi _{0})}{\částečné \varphi _{i))}+\lambda \left[{\frac {\částečné V_{1}( \varphi _{0})}{\částečné \varphi _{i))}+{\frac {\částečné ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\částečné \varphi _{ i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{ 0})}{\částečný \varphi _{i}}}+{\frac {\částečný ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\částečný \varphi _{i}\částečný \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.

Pokud vynásobíme poslední rovnici a vezmeme-li v úvahu, že druhý člen dává (podmínka, aby hodnota vakua byla invariantní při transformacích kalibračních grup, viz důkaz Goldstoneovy věty), dostaneme ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i))$ $0$

(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0.

Výsledná rovnice se nazývá podmínka nastavení vakua [20] . Pokud tato podmínka není splněna, pak i malá porucha vede k tak velkým změnám , že expanzní členy v okolí nejsou malými korekcemi. Jde -li však o kompaktní Lieovu grupu, je tato podmínka splněna [3] . Analogicky s expanzí v Taylorově řadě v odstavci „Důkaz Goldstoneovy věty“ lze získat hmotnostní matici pseudo-Goldstoneových bosonů. ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\displaystyle {\varphi }_{0))$ $G$

(m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2 }V}{\částečný \varphi _{i}\částečný \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= \lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{ 0})}{\částečné \varphi _{i}\částečné \varphi _{j))}+{\frac {\částečné ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\částečné \varphi _{i}\částečný \varphi _{j}\částečný \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right]

což je pozitivně definitní [3] [19] .

Narušení symetrie kvantového pole

V kvantové teorii přestává být proměnná pole pouze reálnou nebo komplexní funkcí souřadnic, ale stává se lineárním operátorem definovaným v Hilbertově prostoru stavů pole, který má ve Fockově reprezentaci nebo druhé kvantizaci tvar [21] [ 22] $\varphi(x)$ ${\widehat {\Phi }}(x)$

|...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k }}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,

kde je normalizační konstanta, je operátor vytvoření, který zvýší počet částic s určitou hybností o 1; například pro bosony je , , vakuový stav, ve kterém nejsou žádné částice (excitace). Pozorované veličiny jsou průměry operátorů pole na stavech pole , kde je nějaký operátor, který je v operátorech pole polynom . $C$ $b_{\textbf {k}}^{+}$ ${\textbf {k))$ $b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1} }|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle$ $|0\rozsah$ $\langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\widehat {A}$

Lze však ukázat, že průměr operátoru na stavech lze přepsat pomocí vakuového průměru operátoru , který má také polynomický tvar vzhledem k operátorům pole. Takové očekávané hodnoty vakua je vhodné vypočítat jako funkční derivace tzv. generujícího funkcionálu, který se označuje jako funkční integrál . $\widehat {A}$ $|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle$ ${\widehat {B}}$

Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},

kde je klasická akce pro pole [22] . Generující funkcionál je amplituda přechodu "vakuum-vakuum". $S$ $\varphi ,\psi ,...$

Nejčastěji se generující funkcionál a jeho derivace počítají expanzí v blízkosti působení volných neinteragujících polí (Lagrangiánů kvadratických v polích). Opravy teorie bez interakcí se pohodlně počítají pomocí Feynmanových diagramů .

Stejně jako v kvantové mechanice s ohledem na klasickou mechaniku vede operátorská povaha pole k netriviálním kvantovým efektům. Někdy jsou kvantové korekce nevýznamné, ale obecně mohou mít významný (potenciálně nekonečný) přínos. U kvantového pole se často vyskytují kvantové anomálie – zásadní porušení některých symetrií, které jsou vlastní klasické teorii v odpovídajícím kvantovém systému. Fyzický obraz narušení symetrie pro klasické pole prezentovaný v předchozí části proto nelze přímo extrapolovat na kvantový případ a nelze a priori tvrdit, že Goldstoneova nebo Higgsova věta budou platit i v kvantovém případě.

Globální symetrie měřidla

Goldstoneův teorém v kvantovém případě lze snadno formulovat pomocí efektivní akce (potenciál). Tento přístup zavádí další klasické proudy , které interagují se skalárními poli . Generující funkcional lze přepsat jako $J_{i}(x)$ $\varphi _{i}(x)$

Z[J]=\exp {(iW[J])},

kde hodnota je součtem všech připojených vakuových diagramů a diagramy, které jsou navzájem tvořeny permutujícími vrcholy, nejsou považovány za odlišné. Střední hodnoty vakua operátorů pole při daných klasických proudech jsou přepsány pomocí variačních derivací $W[J]$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J))$ $J_{i}(x)$ $W[J]$

\varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)))W[J].

Označujeme proud , pro který je průměr vakuového pole roven předem určenému poli . Legendreova transformace vede ke kvantově efektivní akci [23] $J_{i}(x)$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}=\varphi ^{i))$ $W[J]$ $\Gamma [\varphi ]$

\Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi }(x)+W[J].

Veličina je součtem všech spojených jednočásticových neredukovatelných diagramů za přítomnosti proudu . Dá se to ukázat $\Gamma [\varphi ]$ $J_{i}(x)$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=-J_{i}(x).

Při absenci vnějších proudů a hodnoty očekávaných hodnot vakua jsou určeny jako stacionární body funkčního $J_{i}(x)=0$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=0.

Efektivní akce zohledňuje kvantové korekce všech řádů a zároveň poskytuje klasické ošetření pole očekávaných hodnot vakua operátorů pole. Pokud předpokládáme , že vakuum je při transformacích nehomogenní Lorentzovy grupy invariantní , pak můžeme ukázat , že efektivní akce je zapsána jako $\Gamma [\varphi ]$ $\varphi _{i}(x)$

\Gamma [\varphi ]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi ),

kde je objem časoprostoru a je obvyklá funkce, která se nazývá efektivní potenciál [3] . ${\mathcal {V}}_{4}$ $V(\varphi )$

Podle identit Slavnova-Taylora [24] [25] je efektivní působení invariantní za nekonečně malých transformací vakuových polí (zde libovolným polem, nejen skalárním). Pro širokou třídu takzvaných lineárních infinitezimálních transformací, které zahrnují kalibrační transformace, ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J))$ $\varphi ^{i}(x)$

F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi ^{j}(x),

kde je konstantní matice, efektivní akce je invariantní pod stejnými symetriemi jako původní klasická akce [3] . Pokud tedy taková symetrie není narušena na klasické úrovni, pak nebude narušena kvantovými korekcemi v žádném řádu poruchové teorie . ${\displaystyle A_{j}^{i))$

S využitím efektivního potenciálu lze důkaz Goldstoneovy věty v kvantovém případě provést za použití téměř stejných úvah jako u klasických polí (až do nahrazení potenciálu efektivním potenciálem a klasických polí s očekávanými hodnotami vakua operátorů polí). V kvantové teorii pole je hodnota druhých mocnin bosonových hmot po porušení symetrie určena vlastními hodnotami hmotnostní matice . A protože, jak bylo uvedeno výše, symetrie efektivní akce (potenciálu) s ohledem na kalibrační transformace je stejná jako u původní akce, počet nulových vlastních hodnot matice kvantové hmotnosti je stejný jako u klasický a Goldstoneův teorém platí i v kvantovém případě. ${\displaystyle (m^{2})_{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{i}\partial \varphi ^{j))))$

Místní symetrie rozchodu

V kvantové teorii pole zůstává v platnosti Higgsova věta, i když z důvodů uvedených na začátku oddílu je matematické zpracování problému obtížné. K odstranění "nefyzických" Goldstoneových módů při zvažování porušení místní kalibrační symetrie klasického pole bylo použito unitární měřidlo. Při aplikaci unitárního měřidla v kvantové teorii pole se však ukazuje, že propagátor kalibračního pole má asymptotické chování , a proto není možné jednoduchým způsobem ověřit renormalizovatelnost teorie (počítáním stupňů). V kvantové teorii pole se používá tzv. -gauge, který závisí na reálném parametru, což je zobecnění unitárního měřidla [26] [27] [28] . Výhodou rodiny takových měřidel je asymptotické chování propagátoru měřidla. ${\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})$ $\xi$ ${\displaystyle R_{\xi ))$ ${\mathcal {O}}(k^{-2})$

Tak či onak, volba kalibrace klade další podmínky na proměnné pole, které je třeba vzít v úvahu při kvantování. V teorii pole jsou takové podmínky brány v úvahu v rámci metody Faddeev-Popov [29] . Zvažte Lagrangiana

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi - V(\varphi )-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.

Rozšířením skalárních polí v blízkosti minima to můžeme přepsat jako funkci a : . V tomto případě je měřidlo pevně dané podmínkou a matice byla zavedena v předchozí části při zvažování důkazu Higgsovy věty v klasickém případě. Všechny takové podmínky . Pojďme si představit funkce , které budou brát v úvahu kalibrace. U -rozchod přechází do Landauova rozchodu . Unitární měřidlo se získá v limitu . $\varphi (x)=\varphi _{0}+\phi (x)$ $A$ $\phi$ ${\mathcal {L}}(A,\phi )$ $\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi e\phi _{i}(K^{-1})^{ai}=0$ ${\displaystyle K^{ai))$ $\dim G-\dim H$ $G^{a}={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}(\částečné ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi g\phi _{i }(K^{-1})^{ai})$ $\xi \rightarrow 0$ ${\displaystyle R_{\xi ))$ $\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ $\xi \rightarrow \infty$

Teorie je kvantována pomocí generujícího funkcionálu

Z=C\int ({\mathcal {D}}A)({\mathcal {D}}\phi )\exp \left[i\int d^{4}x({\mathcal {L} }(A,\phi )-{\frac {1}{2}}G^{2})\right]\det \left({\frac {\delta G}{\delta \alpha }}\right) ,

kde jsou parametry měřidla porušených symetrií. Výsledkem je, že Lagrangiánská kvadratika v polích nabývá tvaru $\alpha$

{\mathcal {L}}\approx -{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\delta ^{ab}\left[-\eta ^{\ mu \nu }\částečný ^{2}+(1-{\frac {1}{\xi }}\částečný ^{\mu }\částečný ^{\nu })\right]-\eta ^{\mu \nu }(m_{A}^{2})_{ab}\right)A_{\nu }^{b}+{\frac {1}{2))(\částečné _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{G}^{2})_{ij}\phi _{i}\phi _{j}+{\frac {1}{ 2}}(\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }})^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{H}^{2})_{ij}{ \widetilde {\phi }}_{i}{\widetilde {\phi }}_{j},

kde matice mají tvar , , . ${\displaystyle (m_{A}^{2})_{ab}=g^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m_{G}^{2})_{ij}=\xi g^{2}K_{ia}K_{ja))$ $(m_{H}^{2})_{ij}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{ j}{\frac {\částečný ^{2}V(\varphi _{0})}{\částečný \varphi _{i}\varphi _{j))}+\xi g^{2}K_{ia }K_{ja}$

Determinant pod integrálem může být vzat v úvahu přidáním k Lagrangianu systému Faddeev-Popov duch Lagrangians : . ${\mathcal {L}}_{gh}={\overline {c}}\left(-\partial ^{2}-\xi m_{A}^{2}{\frac {\phi ( x)}{\varphi _{0}}}\right)c$

Přítomnost hmotností Goldstoneových bosonů (které jsou však úměrné ) a -závislost hmotností Higgsových bosonů závisí na měřidlu, což znamená, že nejsou fyzické. Pokud se neberou v úvahu, pak výsledné hmotnostní matice vykazují plnou shodu mezi kvantovou a klasickou Higgsovou větou. Samotné hodnoty hmotnosti se však mohou poněkud změnit kvůli přítomnosti kvantových korekcí. $\sim {\sqrt {\xi ))$ $\xi$

Pí mezony jako pseudogoldstones

Jako příklad narušení symetrie v kvantové teorii pole zvažte porušení chirální symetrie kvantové chromodynamiky pomocí bezhmotných kvarků . Fermionický Lagrangian bezhmotných kvarků má tvar $SU(2)\times SU(2)$

{\mathcal {L}}=i{\overline {u}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }u+i{\overline {d}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }d,

kde sloupec nad polem znamená Diracovu konjugaci a spinory odpovídají kvarkům - a - . Obecně řečeno, kvarkové spinory tvoří barevné trojice, ale nebudeme je zde výslovně psát. Takovýto bezhmotný Lagrangián je invariantní pod transformacemi isospinové dubletové skupiny ${\overline {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}$ $u,\,d$ $u$ $d$ $SU(2)\times SU(2)$

\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|\rightarrow \exp {\left(i\alpha _{V}^ {a}{\frac {\sigma _{a}}{2}}+i\alpha _{A}^{a}\gamma ^{5}{\frac {\sigma _{a}}{2} }\right)}\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|,

kde , a jsou Pauliho matice . Tato symetrie odpovídá proudům vektorové a osové souměrnosti $t_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}$ $\sigma _{a}$

V_{a}^{\mu }=i{\overline {q))\gamma ^{\mu }t_{a}q,\quad A_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}t_{a}q,

s odpovídajícími rovnicemi kontinuity , kde značí isospinový kvarkový dublet. Odpovídající symetrické náboje jsou generátory isospinových a zbytkových symetrií. Tyto operátory působí na kvarková pole a vyvolávají transformace $\partial _{\mu }V_{a}^{\mu }=0,\,\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ ${\displaystyle q=||u,d||^{T))$ ${\widehat {I}}_{a}=\int d^{3}xV_{a}^{0},\;{\widehat {X}}_{a}=\int d^{ 3}xA_{a}^{0}$

[{\widehat {I}}_{a},q]=-t_{a}q,\;[{\widehat {X}}_{a},q]=-\gamma ^{5 }t_{a}q

Pokud symetrie není porušena, pak každý hadron odpovídá svému analogu se stejnými kvantovými čísly ( spin , baryonový náboj ), ale s opačnou paritou . Nebyla však pozorována žádná paritní degenerace hadronového spektra, takže by se mělo předpokládat, že chirální symetrie s generátory je narušena. $SU(2)\times SU(2)$ $X_{a}$

Je však třeba poznamenat, že vzhledem k přítomnosti hmotnostních členů v Lagrangianu je symetrie přibližná. Proto, jak bylo ukázáno v předchozí části, se ve spektru částic objevují nízkohmotné pseudo-Goldstoneovy bosony. Musí být bez rotace, mít nulový baryonový náboj, isospin rovný 1 a zápornou paritu. Nejlehčí ze všech hadronů jsou přesně -mezony ; navíc mají potřebná kvantová čísla. Lze ukázat [3] , že druhá mocnina matice hmotnosti -mezonu udává hmotnost -mezonu 140 MeV při 10 MeV, což odpovídá skutečnosti. $-m_{u}{\overline {u}}u-m_{d}{\overline {d}}d$ $SU(2)\times SU(2)$ $\pi$ $\pi$ $m_{\pi }^{2}\sim (m_{u}+m_{d})$ $\pi$ $m_{u}+m_{d}\sim$

Narušení Higgsova pole a dynamické symetrie

Dynamické narušení symetrie [30] [31] [32] spočívá v narušení symetrie kvantovými efekty vakuové polarizace. Takové polarizační efekty porušují původní klasickou měřickou symetrii skupiny a redukují ji na symetrii s malou skupinou . Vakuová polarizace může vést k získání hmoty původně bezhmotnými částicemi [33] . V takové ideologii je Higgsův boson zaveden do teorie následovně [34] . Nechť existuje systém materiálových a měrných polí, který pro usnadnění označíme jedním písmenem . Nechť odpovídající akce je invariantní při transformacích grupy měřidel . Zaveďme do systému klasické externí Higgsovo pole , které redukuje kalibrační symetrii na malou skupinu . Zapišme si činnost takového systému . Generující funkcionál zapíšeme v následujícím tvaru (s integrací pouze přes pole , za předpokladu, že pole je dáno): $G$ $H$ $\varphi$ $S[\varphi ]$ $G$ $\sigma$ $H$ $S[\varphi ,\sigma ]$ $\varphi$ $\sigma$

Z_{\sigma }=\int [d\varphi ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]}

Nyní přidejte akci „seed“ pro pole Higgs k akci a přidejte integraci přes pole ve generujícím funkcionálu : $S[\varphi ,\sigma ]$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$ $\sigma$

Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}

Integrace pole generuje některé účinné akce pro pole Higgs: $\varphi$

Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}=\int [d\sigma ]e^{iS_{eff} +iS_{\sigma ))

Výhodou tohoto přístupu je získání netriviálního příspěvku k Higgsovu poli, který pochází z výchozího systému polí . Analogickými metodami v kvantové elektrodynamice se získávají nelineární korekce na Lagrangian [35] . $\varphi$

Narušení symetrie ve statistické fyzice

Různé statistické systémy mohou být reprezentovány jako nějaká kvantovaná pole. Systém Boseových částic (například 4 He) je tedy komplexní skalární pole, Fermiho systém ( 3 He) je reprezentován jako spinorové pole. Lagrangiánci v kvantové statistické fyzice jsou však nejčastěji efektivní a fenomenologické a odpovídající pole popisují určité excitace v systému ( Ginzburg-Landauova teorie [36] , plasmony , fonony , excitony atd.).

Matematický aparát kvantové teorie pole je aplikován na studium statistických systémů mnoha částic. Přitom ve statistické fyzice mají termíny kvantové teorie pole své analogie. Takže například analogem generujícího funkcionálu je statistický součet , který je reprezentován jako funkcionální integrál

Z=e^{-\beta F[\varphi ]}=\int ({\mathcal {D))\varphi )\exp {\left(-\beta \int d^{3}x\left [e(x)-\mu (T)\varphi ^{\dagger }\varphi \right]\right)},

kde je Helmholtzova volná energie , což má význam analogie klasického působení v kvantové teorii pole, je množina modelových polí, je reciproční teplota, je hustota energie v okolí bodu , je chemický potenciál . $F$ $\varphi$ $\beta =1/T$ $e(x)$ $X$ $\mu$

Je jasné, že stejně jako v případě kvantové teorie pole, i při kvantování statistického systému vznikají kvantové korekce, které mohou mít na systém jakýkoli vliv. Analogicky s předchozí částí však můžeme představit efektivní potenciál, který je vhodné využít ke studiu systému. Pokud to stačí, pak je možné pracovat se střední aproximací pole, v rámci které se předpokládá, že

F\approx E=\int d^{3}x\left[e(x)-\mu \varphi ^{\dagger }\varphi \right].

Fázové přechody jako spontánní porušení symetrie

Při změně teploty se mění jak hustota energie systému (v důsledku změny interakčního potenciálu), tak chemický potenciál; proto se může stát, že při teplotách nad určitou kritickou teplotou se minimální energie nachází v jedné konfiguraci systému a pod ní v jiné. Systém přechází ze stavu, který již není při dané teplotě stabilní, do nového stabilního stavu. Makroskopicky je pozorován fázový přechod . $T_{c}$

Pole odchylky od stavu vakua jsou identifikovány s termodynamickými fluktuacemi. Při samovolném narušení symetrie ve statistické fyzice kromě masivních skalárů vždy vznikají i bezhmotné fluktuační módy, kterým se říká Goldstoneovy (často Nambu-Goldstoneovy) bosony. Přítomnost nehmotných Goldstoneových módů vede k bezmezerovému energetickému spektru systému ( Hugenholtz-Pinesův teorém [37] ). Goldstoneův mód je také zodpovědný za kolísání korelující v celém systému (tzv. off-diagonal long-range order; např. v případě směsi Bose Boseův kondenzát). Ve fyzice kondenzované hmoty jsou masivní vibrační módy někdy nesprávně označovány jako Higgsovy bosony.

Téměř všechny fázové přechody lze interpretovat jako spontánní porušení symetrie. Přesto existují stavy hmoty, které nelze reprezentovat jako spontánně narušené konfigurace pole. Mezi takové stavy patří spinové kapaliny a také elektronový plyn ve frakčním kvantovém Hallově jevu [38] .

Supratekutost

Jako příklad samovolného narušení symetrie v teorii fázových přechodů je uvažován přechod kapaliny do supratekutého stavu. Jak bylo uvedeno dříve, Boseova kapalina může být popsána jediným komplexním polem . V teorii supratekuté kapaliny Bose, za předpokladu, že atomy kapaliny jsou pevné koule, které interagují pouze při přímých srážkách ( -interakce), a neexistují žádné interakce na dlouhé vzdálenosti, lze hustotu energie zapsat jako [39] $^{4}On$ $\psi$ $\delta$

e(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2M}}|\nabla \psi |^{2}+{\frac {g}{2}}|\psi |^{ čtyři},

kde je komplexní pole odpovídající vlnové funkci atomů kapaliny, M je hmotnost atomů kapaliny a g je parametr interakce. Chemický potenciál má tvar . Tento výraz pro hustotu energie odpovídá Lagrangianu v teorii Ginzburg–Landau [36] bez vnějšího magnetického pole. První úvahu o supratekutosti v kvantovém poli provedl Pitaevskii [40] . Při teplotách nad kritickou hodnotou má energie minimum při . Současně s poklesem teploty pod kritickou hodnotu se minimum realizuje při . Základní stav se stává nekonečně degenerovaným vzhledem k fázi . Specifická volná energie (tj. volná energie na jednotku objemu) nad kritickou teplotou je nulová: . Avšak pod kritickou teplotou (bez ohledu na hodnotu fáze) , kde . Tepelná kapacita na jednotku objemu $\psi$ $\mu =-\mu _{0}\left(T/T_{c}-1\right)$ $\psi =0$ $|\psi |=a={\sqrt {-\mu _{0}(T/T_{c}-1)/V))$ ${\displaystyle \phi =\arg {\psi ))$ $f(T>T_{C})=0$ $f(T<T_{C})=-f_{0}\left(T/T_{c}-1\right)^{2}$ $f_{0}={\frac {\mu _{0}^{2}}{2V}}$

c=-T{\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}=\left\{{\begin{array}{c}0,\;T>T_ {c};\\{\frac {\mu _{0}^{2}}{V}}{\frac {T}{T_{c}^{2}}},\;T>T_{c }.\end{array}}\right.

Toto chování tepelné kapacity odpovídá fázovému přechodu druhého řádu . Rozšířením polí a ve vakuovém sousedství získáme $|\psi (x)|=a+\rho (x)$ $\phi (x)=\phi _{0}+\gamma (x)$

\epsilon =\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\left((\nabla \rho (x))^{2}+(-2m^{2 })\rho (x)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}a^{2}(\nabla \gamma (x))^{2}\right]

kde ,. _ Odchylka od vakua, která je v rovnovážných hodnotách, odpovídá excitačním polím. Jak můžete vidět, existují dva režimy oscilace: masivní režim a bezhmotný Goldstoneův režim . Oscilační módy jsou charakterizovány korelační délkou , která nastavuje exponenciální zákon tlumení excitací se vzdáleností . Nad kritickým bodem existují dva režimy s délkou korelace $\epsilon =2ME/\hbar ^{2}$ $m^{2}=-\mu 2M/h^{2}>0$ $\rho$ $\gamma$ ${\displaystyle \xi _{\varphi }=1/m_{\varphi ))$ ${\displaystyle e^{-|x|/\xi ))$

{\displaystyle \xi _{\psi }={\frac {1}{m}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {T/T_{c}-1))))

Pod kritickým bodem pro Goldstoneovy bezhmotnostní módy je korelační délka nekonečná (to znamená ve skutečnosti ne exponenciální, ale mocninné chování buzení), což odpovídá korelaci fázových fluktuací v celém systému (např. Boseův kondenzát). Pro masivní mód v supratekutém stavu máme teplotní závislost korelační délky v blízkosti kritického bodu fázového přechodu

\xi _{\rho }={\frac {1}{\sqrt {2|m^{2}|}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0)))){\frac {1}{\sqrt {1-T/T_{c))))

Sjednocení základních interakcí

Model Glashow-Weinberg-Salam

Glashow-Weinberg-Salamův model [41] [42] [43] popisuje sjednocenou elektroslabou interakci se skupinou kalibrační symetrie a čtyřmi kalibračními vektorovými bosony , kde index nahoře ukazuje elektrický náboj bosonu. Jak energie klesá, skupina symetrie se rozpadá na elektrodynamickou skupinu s jedním kalibračním bosonem , fotonem . Všimněte si, že nenarušená skupina je skupina hypernábojového pole a ne elektromagnetického pole. V teorii se také objevuje skalární pole, které se transformuje podle základní reprezentace grupy , takže má podobu dvousložkového komplexního skaláru . V modelu jsou navíc materiálová pole, která pro jednoduchost nebudeme brát v úvahu. Lagrangián kalibračních polí (přesněji bosonického sektoru) má tvar ${\displaystyle SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $B^{0},\;W^{0},\;W^{+},\;W^{-}$ ${\displaystyle SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $U(1)_{Y}$ $NE(2)$ ${\displaystyle \varphi =||\varphi _{1},\varphi _{2}||^{T))$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{Y}^{\mu \nu })^{2}-{\frac {1}{4}} (F_{L}^{a,\mu \nu })^{2}+{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi ^{\dagger }{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi -\lambda \left(\varphi ^{\dagger }\varphi -a^{2}\right)^{2},

kde kovariantní derivát je zapsán jako $\varphi$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\částečné ^{\mu }\varphi +{\frac {i}{2}}e_{Y}Z_{U(1)}^ {\mu }\varphi +ie_{L}W_{SU(2)}^{a,\mu }{\frac {\sigma _{a}}{2}}\varphi ,

kde a jsou konstanty interakce odpovídajících polí a je kombinací matice identity a Pauliho matice . Stav vakua volíme ve tvaru . Je zřejmé, že vakuum je invariantní působením prvků malé skupiny , jejichž generátorem je matice . Právě tato skupina odpovídá kalibračním transformacím elektrodynamiky. Je vhodné zavést trojici matic a také přepsat parametry a z hlediska nových parametrů a $e_{Y}$ $e_{L}$ $\sigma _{a}$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \varphi _{0}=||0,a||^{T))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $t_{A}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$ $t_{i}=\sigma _{i}/2$ $e_{Y}$ $e_{L}$ $E$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

e=e_{Y}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}=e_{L}\sin {\mathcal {\theta }}_{W},

navíc se ukáže, že parametr je roven elementárnímu elektrickému náboji a parametr se nazývá Weinbergův úhel . V tomto případě bude kovariantní derivát zapsán ve tvaru $E$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\částečné ^{\mu }\varphi +ie\left(A^{\mu }-{\rm {tg}}{\mathcal { \theta }}_{W}Z^{\mu }\right)t_{A}\varphi +i\left({\frac {e_{2}}{\cos {\mathcal {\theta }}_{ W))}Z^{\mu }t_{3}+e_{2}W_{+}^{\mu }t_{1}+e_{2}W_{-}^{\mu }t_{2} \right)\varphi ,

kde , , . ${\begin{pmatrix}A_{\mu }\\Z_{\mu }\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W }\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{\mu }\\W_{\mu }^{3}\ konec{pmatrix}}$ ${\displaystyle W_{\mu }^{+}=W_{\mu }^{1))$ ${\displaystyle W_{\mu }^{-}=W_{\mu }^{2))$

V unitary gauge , kde je skutečné skalární pole odpovídající Higgsovu bosonu , experimentálně objevenému v roce 2012. V kvadratické aproximaci lze Lagrangian s porušenou symetrií zapsat jako ${\displaystyle \varphi =||0,a+\phi ||^{T))$ $\phi$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })^ {2}-{\frac {1}{4}}(\částečné _{\mu }Z_{\nu }-\částečné _{\nu }Z_{\mu })^{2}+m_{Z} ^{2}Z^{2}-\sum _{i=\pm }\left[{\frac {1}{4}}(\částečné _{\mu }W_{\nu }^{i}- \partial _{\nu }W_{\mu }^{i})^{2}+m_{W}^{2}(W^{i})^{2}\right]+(\partial _{ \mu }\phi )^{2}-m_{\phi }^{2}\phi ^{2},

kde , , . ${\displaystyle m_{W}={\frac {e_{2}a}{\sqrt {2))))$ $m_{Z}={\frac {e_{2}a}{{\sqrt {2}}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}$ $m_{\phi }=2{\sqrt {\lambda }}a$

Je třeba dodat, že kvantové korekce vedou ke změně hmotností bosonů a energetické závislosti interakčních konstant.

SU(5) model Grand Unified Georgie-Glashow

Při vysokých energiích (~10 14 GeV) se elektroslabé a silné nukleární interakce spojí do jediného pole s nějakou kalibrační symetrickou skupinou, která se při nižších energiích spontánně rozpadne na standardní modelovou skupinu . V této části zvažte Georgie-Glashowův model] s nejmenší skupinou měřidel , která umožňuje velké sjednocení ${\displaystyle SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $SU(5)$

V této teorii jsou všechny fermiony sloučeny do tří generací 15-komponentních multipletů , sestávajících z 5- a 10-komponentních multipletů, které odpovídají nejmenším rozměrům reprezentací neredukovatelných grup . 5složkový sektor 15složkového multipletu obsahuje pravostranný barevný triplet kvarků typu (jedna složka pro každou barvu) a levtonový isospinový dublet ( elektron a neutrino ): . 10složkový sektor obsahuje levý a pravý kvarkový triplet , levý kvarkový triplet a pravý elektron: . $SU(5)$ $d$ $5=||d_{R};e_{L}^{-},\nu _{L}||$ $u$ $d$ $10=||u;d_{L};e_{R}^{-}||$

Při přesné symetrii skupina obsahuje bosony bez hmotnosti. Existují tři bosony zodpovědné za přechody v leptonovém kvintetu a související skupinou , stejně jako boson odpovídající skupině . Stejně jako ve standardním modelu jsou foton a -boson ortogonální superpozice polí a . Existuje také 8 gluonů , které vytvářejí přechody mezi třemi barevnými kvarky a jsou generátory skupin . Zbývajících dvanáct kalibračních bosonů jsou čtyři barevné trojice a . Bosony a jsou zodpovědné za interakce , , a , , resp. $SU(5)$ $5\times 5-1=24$ $W^{+},Z^{0},W^{-}$ $SU(2)_{L}\subset SU(5)$ ${\displaystyle B^{0))$ $U(1)_{Y}$ $Z^0$ ${\displaystyle W^{0))$ ${\displaystyle B^{0))$ ${\displaystyle SU(3)_{C))$ ${\displaystyle X_{\pm 4/3))$ ${\displaystyle Y_{\pm 4/3))$ $X$ $Y$ $\nu _{e}-d_{R}$ $e_{R}^{-}-u_{L}$ ${\displaystyle d_{L}-u_{R))$ ${\displaystyle e_{L}-d_{R))$ $e_{R}-d_{L}$ ${\displaystyle u_{L}-u_{R))$

Jak energie klesá, symetrie se rozpadá na . V tomto případě měřidlo - a -bosony získávají hmotnosti 10 14 GeV. $SU(5)$ ${\displaystyle SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $X$ $Y$

Navíc je možné do modelu zavést masivní pravotočivá neutrina (jako singlet ). Taková neutrina mohou interagovat s kvintetem pomocí Higgsových bosonů, které vznikají spontánním porušením symetrie Grand Unified. $SU(5)$ $SU(5)$

Georgi-Glashowův model předpovídá životnost protonů ~10 29 let [45] , nicméně moderní experimenty v Super-Kamiokanda dávají nižší odhad životnosti protonů 10 32 let, což zcela vylučuje možnost realizace symetrie v nejjednodušší verzi. modelu. $SU(5)$

SO(10) model a modely s vyššími kalibračními skupinami

Další skupinou minimálního kalibru, která může popsat Velké sjednocení, je skupina [46] , kde fermiony tvoří 16-komponentní multiplet: levé neutrino je přidáno k 15 fermionům. Lze ukázat, že existuje celkem kalibračních bosonů, které mohou získat hmotu spontánním porušením symetrie . Takový model je také vyloučen kvůli absenci rozpadu protonů. $SO(10)$ $SU(5)$ $10\times 9/2=45$ $SO(10)$

Uvažují se však i vyšší skupiny a (například , atd .), stejně jako modely, kde je měřidlo součinem dvou nebo více jednoduchých skupin: [47] , atd. Zvláštní pozornost je věnována řetězci výjimečných skupiny $Slunce)$ $SO(n)$ $SU(8)$ $SO(16)$ $SU(4)\times SU(4)$ $SU(3)\times SU(3)\times SU(3)$

E_{4}=SU(5)\subset E_{5}=SO(10)\subset

E 6 E 8 .

\subset E_{7}\subset

které vznikají v teoriích vícerozměrné gravitace a teorie strun . Skupiny E 8 jsou dostatečně velké , aby pojaly různé generace částic. $E_7$

Přes velký počet polí ve skupinách vyšších řádů je mechanismus spontánního narušení symetrie v odpovídajících teoriích stejný, jak je popsáno výše.

Spontánní porušení supersymetrie

Spontánní porušení supersymetrie (na rozdíl od měkké a dynamické) spočívá v získání nesupersymetrické (explicitně) teorie v sousedství vakua se supersymetrií. Narušení supersymetrie je nezbytný proces, aby se zabránilo konfliktu mezi supersymetrickými modely a experimentem. Faktem je, že přesná supersymetrie předpokládá, že superpartneři (jejichž počet se shoduje s počtem obyčejných částic) mají stejnou hmotnost jako jejich partneři (obyčejné částice), což není v experimentu pozorováno. Při porušení supersymetrie získávají superpartneři značnou dodatečnou hmotu a stávají se tak v dosavadních experimentech nedosažitelnými.

Pokud jde o buzení kalibrační symetrie, lze ukázat, že kvantové korekce nenaruší supersymetrii, pokud není porušena na klasické úrovni [48] . Zásadním rozdílem mezi porušením supersymetrie a kalibrační symetrií je však tvrzení následující věty:

Věta [48] . V jakékoli teorii se supersymetrií jsou buď všechny supersymetrie porušeny, nebo žádná z nich není porušena.

Kritéria pro porušení supersymetrie

Nenulové průměry vakua

Supersymetrie je narušena tehdy a jen tehdy, když supernáboje nezničí vakuový stav: . Pro vakuový průměr variace pole lze napsat . Jinými slovy, supersymetrie je narušena právě tehdy, když očekávaná hodnota vakua v některém poli není rovna 0. To vyžaduje Lorentzovu invarianci vakua. $Q_{a}$ $Q_{a}|0\rangle \neq 0$ $\varphi$ $\langle \delta \varphi \rangle _{0}=\langle \left[\varphi ,Q_{\alpha }\right]\rangle _{0}\neq 0$

Například pro model Wess-Tsumino [49]

S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }A)^{2}-{\frac {1}{2 }}(\partial _{\mu }B)^{2}-{\frac {1}{2}}\chi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\chi +{\frac {1}{2}}D^{2}+{\frac {1}{2}}F^{2}\right)

s bosonickými poli a fermionem Majorana . Pole jsou komplementární a mizí na hmotovém obalu, jejich přítomnost je nezbytná pro rovnost bosonických a fermionických stupňů volnosti na hmotovém obalu i mimo něj. Pro tento model, s přihlédnutím k požadavku Lorentzovy invariance vakua, vyplývá, že , , . Nenulový průměr variace pole má tvar . Supersymetrie je tedy narušena tehdy a pouze tehdy, když očekávané hodnoty vakua dalších polí nejsou rovné 0. $A,B,D,F$ $\chi$ $D,F$ $\langle \chi _{\alpha }\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }A\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }B\rangle =0$ $\langle \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }\rangle =((\langle F\rangle +i\gamma _{5}\langle D\rangle )\varepsilon )_{\alpha }$

Nulová potenciální hodnota

Hamiltonián supersymetrické teorie se supernáboji se zapisuje jako $Q_{a}$

H=\sum _{a}(Q_{a}Q_{a}^{\dagger }+Q_{a}^{\dagger }Q_{a})

A to zase vede k následujícímu tvrzení: supersymetrický vakuový stav musí mít nulovou energii; pokud je energie vakua kladná, supersymetrie je porušena. Hamiltonián očekávání vakua skutečně nerovnosti vyhovuje

\langle H\rangle =\sum _{a}(||Q_{a}|0\rangle ||^{2}+||Q_{a}^{\dagger }|0\rangle || ^{2})\geqslant 0

Zde je rovnosti dosaženo pouze v případě neporušené supersymetrie . $Q_{a}|0\rangle =0$

To je základní rozdíl mezi spontánním porušením supersymetrie a spontánním porušením symetrie měřidla. U toho druhého je důležitá invariance minima potenciálu a u supersymetrie hodnota jeho minima. Porušení symetrie měřidla je tedy v určitém smyslu nezávislé na porušení supersymetrie. Pokud má minimum vakua porušeného vzhledem k symetrii měřidla nulovou energii, pak supersymetrie není porušena.

Goldstino a Higgsino

Když je porušena supersymetrie chirálního superpole , kde , jsou Grassmannovy souřadnice superprostoru, dojde k takzvanému porušení supersymetrie -typu, když je očekávaná hodnota vakua dynamického skalárního a doplňkového pole . Když je porušena supersymetrie vektorového superpole a odpovídající porušení supersymetrie se nazývá -type . $\Phi (x,\theta ,{\overline {\theta )))=\varphi (y)+\theta \chi (y)+\theta \theta F(y),$ $y=xi\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}$ $\theta ,\;{\overline {\theta ))$ $F$ $\langle F\rangle _{0}\neq 0$ $\langle D\rangle _{0}\neq 0$ $D$

U obou typů porušení supersymetrie je spinor, který působením supersymetrických transformací získává nehomogenní člen

\delta _{\varepsilon }\lambda _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle D\rangle +o(\varepsilon ),\qquad \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle F\rangle +o(\varepsilon).

Takový spinor se nazývá Goldstone fermion nebo goldstino.

Analogicky s Higgsovým mechanismem, kde vektorový boson „požírá“ Goldstoneův boson a stává se masivním, v supergravitaci gravitino „sežere“ goldstino (vektorový supermultiplet „sežere“ chirální) a stane se masivním. Takový mechanismus se nazývá super-Higgsův mechanismus [50] [51] .

Model O'Reiferty

Zvažte porušení supersymetrie na příkladu O'Reifertyho modelu [52] s chirálními supermultiplety , který je dán Lagrangiánem $n$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\int d^{2}\theta d^{2}{\overline {\theta }}\sum _{i}{\overline {\Phi }}_{i}\Phi ^{i}+ \int d^{2}\theta W(\Phi )+hc,

kde pruh nad polem znamená Dirac nebo komplexní konjugaci, označuje hermitovský konjugovaný termín a superpotenciál $h.c.$

W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}

Nyní změnou akce získáme rovnici pro další pole . Dosazením získaného řešení získáme potenciální energii ${\overline {F}}_{i}=-{\frac {\partial W}{\partial \varphi ^{i}}}=-(a_{i}+m_{ij}\varphi ^ {j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j}\varphi ^{k})$

V=\sum _{i}{\overline {F}}_{i}F^{i}=\sum _{i}\left|-{\frac {\partial W}{\partial \ varphi ^{i}}}\right|^{2}=\sum _{i}|a_{i}+m_{ij}\varphi ^{j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j} \varphi ^{k}|^{2}.

Supersymetrie v tomto modelu je narušena, pokud není možné najít takovou sadu pro všechny komponenty. $\langle \varphi _{i}\rangle$ $\langle F^{i}\rangle =0$

Neinvariantní vakuum

Při zvažování porušení kvantové symetrie pole jsme předpokládali, že vakuová konfigurace pole je invariantní při transformacích nehomogenní Lorentzovy grupy (rotace, boosty a translace). Toto je velmi silné neodůvodněné omezení konfigurací vakua, které vede k tomu, že vakuum v poli je stejné ve všech bodech prostoru. Ukazuje se však, že netriviální konfigurace pole vakua závislé na souřadnicích jsou skutečně možné. Navíc takové konfigurace mohou být důležité při výpočtu generujícího funkcionálu, protože jejich vliv není malý (například instanton [53] příspěvek v kvantové chromodynamice ). Takovým netriviálním vakuem jsou také magnetické monopóly [54] [55] , kosmické struny [56] a doménové stěny [57] , které se v principu mohou vyskytovat ve Vesmíru a lze s nimi zacházet jako s topologickými defekty časoprostoru s nepřerušeným elektroslabým kalibrem. symetrie nebo symetrie Velkého sjednocení . Takové neinvariantní stavy vakua realizují akční funkční extrém a jsou stabilní vůči excitacím.

Takové konfigurace jsou dobře známé ve fyzice kondenzovaných látek. Například stěny domén mezi oblastmi vesmíru s různými porušeními symetrie jsou analogické s doménovými stěnami ve feromagnetech (odtud jejich název) a kosmické struny jsou podobné vírovým čarám v supravodiči .

Některé konfigurace s neinvariantním vakuem, které jsou uvažovány teoretiky, jsou uvedeny níže.

Mechanický model Unruhu

Níže je uveden jednoduchý mechanický model navržený Unruhem. Vezměme si sadu tužek, které jsou umístěny koncem ke konci na stůl a jejich ostré konce jsou navzájem spojeny gumičkami. Takový systém je ve stavu nestabilní rovnováhy – jakékoli narušení způsobí pád tužek a přechod z nestabilního stavu do stabilního stavu vakua. Směr pádu je však náhodný. Obraz rovnovážného stavu má mnoho různých variant. Samozřejmě je možné, že tužky padnou jedním směrem. Může se však také stát, že kolem určité tužky padnou všechny ostatní tužky opačným směrem. Potom na centrální tužku ze všech stran izotropně působí stejné tažné síly elastických pásků z již spadlých tužek. Protože napínací síla působí rovnoměrně, dříve nestabilní stav vakua ve zvoleném bodě se ustálí a tužka nespadne. Vzniká bod, který se liší od ostatních bodů, kde není porušena symetrie.

Vakuové konfigurace s lokálně neporušenou symetrií měřidla

Pokud jde o mechanický model, pokud je symetrie měřidla porušena, jsou možné stabilní stavy s bodově nepřerušenou symetrií. Taková řešení se nazývají Polyakov-t'Hoft monopoles [54] [55] .

Když je symetrie určitých skupin (například ) rozbita na skupinu symetrie elektromagnetického měřidla , je pole Polyakov-t'Hoftova monopolu podobné magnetickému poli, proto je identifikováno s magnetickými monopoly . V tomto případě lze ukázat, že monopól má magnetický náboj, který je násobkem , kde je elementární elektrický náboj. Monopolové konfigurace s velkým magnetickým nábojem jsou také možné, ale ty se rozpadají na monopoly s elementárním magnetickým nábojem [58] . Konfigurace skalárních a kalibračních polí pro Polyakov - t'Hoftův monopol může být zvolena v kalibru ve tvaru $G$ $NE(2)$ $U(1)$ $g={\frac {\pm 1}{e}}$ $E$ $G$ $A_{a0}=0$ $\varphi _{i}={\textbf {e}}_{i}\langle \varphi \rangle F(r),$ $A_{ai}={\frac {\varepsilon _{ail}{\textbf {e}}_{l}}{er}}G(r)$ ${\textbf {e}}_{i}={\frac {x_{i}}{r}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $A$ $F(r),\,G(r)$

Pole Polyakov-t'Hoftova monopolu v měřidlu pro skalární pole, kde je symbol Kroneckerovy delty , má tvar ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \delta _{i3))$ $\delta _{{ij}}$

B_{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}(\partial _{j}A_{k}^{3}-\partial _{k}A_{j} ^{3})=-{\frac {{\textbf {e}}_{i}}{er^{2}}}.

Počet monopolů, které by měly vzniknout v důsledku porušení symetrie Velkého sjednocení , je jeden monopol na 10 3 nukleonů, což je v rozporu s pozorovanými údaji. Absence monopolů se vysvětluje inflací . Předpokládá se, že vznikly před fázovým přechodem pole se symetrií Grand Unified k symetrii Standardního modelu a inflace doprovázející tento přechod vedla ke zkapalnění plynu monopolů [59] . Absence magnetických monopólů je navíc považována za jeden z argumentů na podporu inflační teorie evoluce vesmíru.

Existují také bodové konfigurace vakuového pole - dyony, které mají elektrický i magnetický náboj [60] .

Možné jsou také konfigurace pole s lokálně nepřerušenou kalibrační symetrií velkých rozměrů – jedná se o jednorozměrné kosmické řetězce [56] a doménové stěny [57] .

Instantony

Pro nelineární teorie pole (například kvantová chromodynamika ) jsou možné netriviální konfigurace pole v (1 + 3)-prostoru, které se nazývají instantony [53] . Jsou zobecněním solitonu do (1 + 3)-rozměrného prostoru. Takové konfigurace realizují extrém akce. Jsou neperturbativní (nelze je získat v žádném pořadí poruchové teorie).

Přesto je příspěvek instantonů a fluktuací v okolí instantního stavu ke generujícímu funkcionálu významný. Instantony řeší problém porušení chirální symetrie [61] . V teorii elektroslabých interakcí jsou to instantonové konfigurace slabého pole , které vysvětlují porušení baryonových a leptonových čísel [62] . Instantonské stavy také hrají důležitou roli při rozpadu falešného vakua (viz níže) [63] [64] . $U(1)$ ${\displaystyle SU(2)_{L))$

Skyrmions

Efektivní teorie pole s lineárním Lagrangianem typu sigma dobře popisují chování nízkoenergetických mezonů . Pro konzistenci výpočtu interakčních parametrů mezonů při vysokých energiích je však nutné doplnit Lagrangián o členy s vyšší mocninou v derivacích pole:

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\sigma }(\varphi )+f_{abcd}{\varphi }\partial _{\mu }\varphi ^{a}\ částečný ^{\mu }\varphi ^{b}\částečný _{\nu }\varphi ^{c}\částečný ^{\nu }\varphi ^{d}+....

Přítomnost vyšších stupňů derivací může umožnit stabilní netriviální konfiguraci vakuového pole, která se nazývá skyrmiony [65] .

Skyrmioni mohou také vzniknout ve statistické fyzice [66] a při dynamickém narušování symetrie.

Diagonalizace okamžitého Hamiltoniánu

Pro neinvariantní vakuum není jasné, co přesně by mělo být považováno za částice a zda je vůbec možné o částicích mluvit v případě libovolné konfigurace vakua. V kvantové teorii pole je operátor pole reprezentován jako funkce operátorů vytvoření a zániku , které splňují určité (anti)komutační vztahy, jejichž forma závisí na Lagrangianu a typu pole (fermionické nebo bosonické). Pokud je odpovídající Hamiltonián teorie vzhledem k těmto operátorům diagonální, pak má pojem částice jednoduchý výklad. Stav vakua je určen z rovnice a odpovídá stavu s nejmenším vlastním číslem Hamiltoniánu, tedy stavu bez částic. Stav je považován za částici s hybností . ${\widehat {\Phi ))$ $b_{\textbf {k}}^{+},\,b_{\textbf {k}}$ $b_{\textbf {k}}|0\rangle =0$ ${\textbf {k))$ $|1_{\textbf {k}}\rangle =b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle$

V případě závislosti hamiltoniánu (a následně vakua a excitovaných stavů) na čase se však ukazuje, že stav, který je v daném časovém okamžiku interpretován jako částice, již nebude částice v následujících okamžicích. Přesto je možné v případě nestacionárního vakua vyvinout jednoduchý formalismus, metodu diagonalizace okamžitého Hamiltoniánu [67] . Podle této metody se předpokládá, že v určitém okamžiku, například , je hamiltonián diagonalizován a jsou nalezeny operátory vytvoření a anihilace ; zde index označuje všechna kvantová čísla pole. Hledání takového vakua lze provést uvažováním v neinteragujících polích a adiabaticky včetně interakce (parametrů interakce) pomocí faktoru . $t_{0}=-\infty$ $b_{A}^{+}(t_{0}),\,b_{A}(t_{0})$ $A$ $t=-\infty$ ${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow +0}e^{\lambda t))$

Operátory zrození a zániku ve všech následujících okamžicích času jsou získány pomocí Bogolyubovových transformací

b_{A}(t)=u_{A}^{B}(t)b_{B}(t_{0})+v_{A}^{B}(t)b_{B}^{ +}(t_{0})

a transformace získané z dané konjugace (hermitovské nebo komplexní). Funkce jsou určeny z podmínky splnění příslušných komutačních vztahů a diagonalizace hamiltoniánu v daném časovém okamžiku . V tomto formalismu, kvůli neekvivalenci vakua, v různých časech během evoluce systému budou pozorována zrození a zániky částic (analogické s Unruhovým efektem ). Počet částic, které se v daném okamžiku zrodí, se rovná $u(t),\,v(t)$ $t$ $t$

N_{0}(t)=\sum _{A}\langle t_{0}|a_{A}^{+}(t)a_{A}(t)|t_{0}\rangle .

Taková korpuskulární interpretace neinvariantního vakua není jediná možná.

Gravitace jako Higgsovo-Goldstoneovo pole

Poprvé o možnosti zacházet s gravitonem jako se zlatým kamenem[ upřesnit ] Geisenberg a Ivaněnko poukázali . Později byla tato myšlenka rozvinuta z různých úhlů pohledu [68] [69] [70] [71] [72] [73] . Tato část poskytuje stručný úvod do problému.

Měřicí gravitace

Podle moderních názorů vznikají pole fundamentálních interakcí z potřeby invariance Lagrangeovy funkce hmotného pole s ohledem na transformace lokálního kalibru. Jak bylo ukázáno dříve, pro zahrnutí interakce mezi polem hmoty a měřicím polem je obyčejná derivace pole nahrazena kovariantní derivací . Kromě toho se pole měřidla určitým způsobem mění působením transformací měřidla. Měřicí transformace tvoří kompaktní Lieovu grupu .

Z geometrického hlediska jsou kalibrační pole spoje ve vláknitém prostoru v případě vnitřních kalibračních symetrií - v prostoru s lokálně triviálním svazkem . Vláknitý prostor zobecňuje koncept tečného svazku a nahrazuje tečný prostor v každém bodě manifoldu libovolným vektorovým prostorem – například komplexním prostorem v případě nabitého Klein-Gordonova pole nebo prostorem leptonového páru . ( ). Geometrie teorie kalibračních polí je tedy velmi podobná teorii relativity . ${\displaystyle e,\,\nu _{e))$

Na druhé straně by gravitační pole mělo být považováno za kalibrační pole s určitou skupinou symetrie . Ukazuje se však, že pro gravitační pole existují dvě kalibrační symetrie. První je dán obecnými kovariančními transformacemi tenzorových veličin

{T'}_{\nu _{1}...\nu _{n))^{\mu _{1}...\mu _{m))={\frac {\partial x'^{\mu _{1))}{\částečné x^{\alpha _{1))))\cdot ...\cdot {\frac {\částečné x'^{\mu _{m} }}{\částečné x^{\alpha _{m}}}}{\frac {\částečné x^{\beta _{1}}}{\částečné x'^{\nu _{1}}}} \cdot ...\cdot {\frac {\částečné x^{\beta _{n))}{\částečné x'^{\nu _{n))))T_{\beta _{1}.. .\beta _{n}}^{\alpha _{1}...\alpha _{m}},

které představují matematický odraz Einsteinova obecného principu relativity . Tyto transformace tvoří skupinu . $GL(4,R)$

Samotný princip relativity však (1 + 3)-rozměrnou pseudoeuklidovskou strukturu časoprostoru nijak nefixuje. Navíc obecné kovariantní transformace neberou v úvahu ještě jednu symetrii v obecné teorii relativity, a to symetrii pod rotacemi, boosty a translacemi v lokálních vztažných soustavách (prostoročasových rozmanitých prostorech). Pro zohlednění těchto skutečností je do teorie zaveden metrický tenzor . Metrický tenzor je vhodné reprezentovat ve formě tetrád , kde indexy označené latinkou odrážejí místní Lorentzovy indexy, tetrády definují přechod mezi obecnými kovariantními a lokálními Lorentzovými indexy a jedná se o Minkowského tenzor. ${\displaystyle g^{\mu \nu ))$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }=\eta ^{ab}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu ))$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu ))$ ${\displaystyle \eta ^{ab}={\rm {diag}}{(1,-1,-1,-1)))$

Pole měrné obecné kovariantní symetrie lze snadno identifikovat se spojením gravitačního pole ( Christoffelovy symboly ) . Výrazy pro kovariantní derivaci a kalibrační transformace spojení se skutečně podobají podobným výrazům pro Yang-Millsovo pole ${\displaystyle \Gamma _{\mu \beta }^{\alpha ))$

\nabla _{\mu }A_{\beta }=\částečné _{\mu }A_{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }A_{\alpha },

{\Gamma '}_{\mu \beta }^{\alpha }={\frac {\částečné x'^{\alpha }}{\částečné x^{\gamma }}}\left(\ Gama _{\nu \sigma }^{\gamma }{\frac {\částečné x^{\nu }}{\částečné x'^{\mu }}}\right){\frac {\částečné x^{ \sigma }}{\částečné x'^{\beta }}}+{\frac {\částečné x'^{\alpha }}{\částečné x^{\gamma }}}\částečné '_{\mu } {\frac {\částečné x^{\gamma }}{\částečné x'^{\beta }}}.

Zároveň neexistuje analogický výraz pro metrický tenzor (tetradové pole) a jeho stav měřidla zůstává nejasný.

Metrika jako Higgsovo-Goldstoneovo pole

Tuto myšlenku do značné míry rozvinuli Ivaněnko a Sardanashvili [72] [74] . V této části uvádíme jeho hlavní podstatu.

V nepřítomnosti gravitačního pole je časoprostorová varieta, stejně jako působení hmotných polí, při transformacích nehomogenní Lorentzovy grupy invariantní . Když je však zapnuta gravitace, Lorentzova invariance systému je narušena. Tam, kde je Higgsovo-Goldstoneovo pole spojeno s metrikou, dochází k porušení symetrie . ${\displaystyle g^{\mu \nu ))$

Nicméně, stejně jako v případě porušení symetrií vnitřního měřidla, lze v metrice rozlišit Lorentzovu invariantní Higgsovu složku, Minkowského tenzor . Odchylky od Minkowského metriky (nebo ekvivalentně tetrád ) hrají roli Goldstoneových komponent. Nicméně, na rozdíl od Yang-Millsova obrázku narušujícího symetrii pole, Goldstoneova gravitační pole mohou být v každém bodě časoprostoru vynulována nějakým výběrem měřidla (jak bylo řečeno, unitární měřidlo ruší Goldstoneovy módy pouze pro kompaktní skupiny Lieova měřidla) . Geometrickým důvodem je to, že lokální transformace v tečných prostorech působí na derivace jako na vektory pouze v plochém prostoru, pro který je tečný prostor stejný jako on sám. V křivočarém prostoru jsou vektory s ohledem na lokální transformace veličiny . Pokus popsat celý křivočarý časoprostor výhradně Minkowského Higgsovou metrikou tedy vede pouze k přechodu k tetradovému formalismu [74] . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu ))$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu ))$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu ))$ $\částečné_\mu$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu }\partial _{\mu ))$

Gravitace jako efekt vakuové polarizace

Náznakem, že gravitační pole lze interpretovat podobným způsobem jako Higgsův boson, je možnost získat Lagrangián gravitačního pole s přihlédnutím k polarizaci vakua [75] , stejně jako výše byl získán efektivní Lagrangián pro Higgsovo pole. Uvažujme systém polí v křivočarém prostoru. Pokud se jedná o skalární neinteragující pole, pak má odpovídající akce tvar $\varphi$

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{ \mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi ^{2}+\xi R\varphi ^{2}\right),

kde je determinant metrického tenzoru ; _ _ _ Pokud zavedeme určitý počáteční termín a přidáme integraci přes metrické pole a poté integrujeme přes skalární pole, můžeme získat efektivní akci , ze které pak můžeme vybrat formu nezávislou na Lagrangeovi. ${\sqrt {-g))$ $R$ $\xi$ $\xi =1/6$ $G$ ${\displaystyle S_{eff))$ $\varphi$

{\mathcal {L}}_{gr}={\sqrt {-g}}\left[-A+BR+CR_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \ mu \nu }+DR_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+E\částečné ^{2}R+FR+GC_{\alpha \beta \mu \nu }C^{\alpha \beta \mu \nu }\right],

kde jsou nějaké konstanty, jejichž hodnoty závisí na typu , je Riemannův tenzor křivosti , je Ricciho tenzor , je Weilův tenzor . V případě skalárních polí , , , , je konstanta vyjádřena pomocí spinu pole, konstanty nejsou omezeny, když je odstraněna regularizace konstanty, ale mohou být renormalizovány a vyjádřeny pomocí kosmologické konstanty a gravitační konstanta . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $\varphi$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu ))$ $R_{\mu \nu }$ $C_{\alpha \beta \mu \nu }$ $C={\frac {a}{180}}$ $D=-{\frac {a}{180}}$ $E={\frac {a}{5}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)$ $F={\frac {a}{2}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)^{2}$ $G=0$ $A$ $A,\,B$

Zajímavé také je, že pro určitou množinu konstant lze kvantovat volné gravitační pole ( ) a odpovídající teorie je renormalizovatelná [76] . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $R_{\mu \nu }=0$

Rozbití falešného vakua

Potenciální energie (efektivní potenciál v kvantovém případě) často nemá jedno minimum, ale několik. Různé vakuum odpovídají různým energiím. Vakuum s nejnižší energií se nazývá pravdivé a všechny ostatní se nazývají nepravdivé (nepravdivé). Pokud se po porušení symetrie a vytvoření dalších vakuů stav systému, který byl skutečným vakuem, stal nepravdivým, systém okamžitě nepřejde do skutečného vakua (například potenciál dvouvrtů s malým otvorem na místo , kde se systém nachází). Pokud je vrt mělký, pak dostatečně intenzivní vnější výkyvy mohou přenést systém do sousedního vakua s menší energií. Pokud je potenciální studna dostatečně hluboká, pak k přechodu systému z metastabilního falešného vakua do skutečného dochází v důsledku kvantového tunelování . $\varphi=0$

Dynamika rozpadu je následující. V určitém bodě prostoru se vytvoří skutečné vakuum, které vede ke vzniku stejného skutečného vakua ve všech sousedních bodech – bublina začne růst rychlostí světla , dokud nenarazí na expanzní čelo další bubliny. Hustota energie je soustředěna především na hranici bublin a uvnitř jsou prázdné.

Matematicky je při výpočtu amplitudy přechodu zvolena taková integrační kontura, aby bylo možné vzít v úvahu existující konfiguraci instantonu , která udává převažující exponenciální faktor pro amplitudu přechodu , kde je hodnota akce pro instanton [ 63] . ${\displaystyle \varphi _{inst))$ ${\displaystyle \exp {(-S[\varphi _{inst}])))$ $S[\varphi _{inst}]>0$

Inflace jako kolaps falešného vakua

Desítky faktorů naznačují přítomnost fáze exponenciální expanze - inflace v rané fázi vývoje vesmíru . Na druhou stranu z Friedmanova kosmologického modelu vyplývá, že zrychlení , které těleso získá působením gravitace hmoty, se rovná $A$

a=-{\frac {4}{3}}\pi G(\varepsilon +3P)R,

kde je gravitační konstanta , je hustota energie a tlak hmoty ve vesmíru, je poloměr koule obsahující hmotu (poloměr vesmíru). Z rovnice stavu hmoty, která souvisí s tlakem a hustotou, lze vypočítat zrychlení. Pro všechna pole hmoty jsou tedy tlak a energie kladné hodnoty a vesmír se smršťuje. $G$ $\varepsilon ,\,P$ $R$ $a<0$

Pro fyzikální vakuum, ve kterém probíhají nepřetržité procesy tvorby a zániku virtuálních párů částice-antičástice, je tlak záporný a modulově se rovná hustotě energie: . V tomto případě při absenci hmotných polí ${\displaystyle P_{vac}=-\varepsilon _{vac))$

a={\frac {8\pi G\varepsilon _{vac}}{3}}R={\frac {\Lambda }{3}}R.

Pak lze ukázat , že vesmír se rozpíná exponenciálně ( de Sitterova expanze ). $R(t)=R_{0}\exp {({\sqrt {\Lambda /3}}t)}$

Během ochlazování horkého Vesmíru v období před inflací byl však naplněn kvanty polí Velkého sjednocení (například pole ) o hustotě g/cm 3 , to znamená, že nebyl prázdný. vůbec. Ale v tomto okamžiku už vesmír vychladl natolik, že toto vakuum bylo falešné (viz obrázek) a začaly se v něm tvořit bubliny skutečného vakua o velikosti ~ 10 −20 cm, jejichž poloměr se zvětšoval s rychlostí světla. Vzhledem k tomu, že bublina je uvnitř prázdná, její rozpínání bylo exponenciální. Na konci inflace byla velikost bubliny 10 32 - 10 40 cm (velikost vesmíru, který je nyní viditelný, je 10 28 cm, to znamená, že žijeme zcela v jedné takové bublině) [77] [78] . $SU(5)$ ${\displaystyle \varepsilon _{vac}/c^{2}\cca 10^{74))$

Nobelovy ceny za výzkum spontánního narušení symetrie

Níže je uveden seznam nositelů Nobelovy ceny, jejichž výzkum souvisí nebo přímo souvisí se spontánním narušením symetrie (2008, 2013).

1979 – Sheldon Glashow , Steven Weinberg a Abdus Salam – „za jejich příspěvky k jednotné teorii slabých a elektromagnetických interakcí mezi elementárními částicemi, včetně predikce slabých neutrálních proudů“ [79] .
1982 – Kenneth Wilson – „pro teorii kritických jevů v souvislosti s fázovými přechody“ [80] .
1999 – Gerard 't Hooft a Martinus Veltman – „za objasnění kvantové struktury elektroslabých interakcí“ [81] .
2008 - Yoichiro Nambu - "za objev mechanismu spontánního narušení symetrie v subatomární fyzice "; a Makoto Kobayashi a Toshihide Masukawa „za objev zdroje narušení symetrie, který umožnil předpovědět existenci nejméně tří generací kvarků v přírodě“ [82] .
2013 – François Engler a Peter Higgs – „za teoretický objev mechanismu , který nám pomáhá pochopit původ hmoty subatomárních částic , nedávno potvrzený objevem předpovězené elementární částice v experimentech ATLAS a CMS na Velkém hadronovém urychlovači v CERNu [83] .

Poznámky

↑ 1 2 Greenberger, Daniel M. Esoterické jevy elementárních částic v pregraduální fyzice – spontánní narušení symetrie a invariance měřítka // American Journal of Physics. - 1978. - T. 46 . - S. 394-398 .
↑ Raviola, Lisandro A a Veliz, Maximiliano E a Salomone, Horacio D a Olivieri, Nestor A a Rodriguez, Eduardo E. Opětovná návštěva korálku na rotující obruči: neočekávaná rezonance // European Journal of Physics. - 2016. - T. 38 . - S. 015005 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Weinberg, Steven. Kvantová teorie polí. Svazek 2. Moderní aplikace (neopr.) . - Cambridge University Press , 1996. - ISBN 0521670543 .
↑ Olga Zakutnyaya. asymetrická odezva . http://www.itogi.ru/ . Výsledky (27. října 2008). Získáno 26. října 2019. Archivováno z originálu dne 26. října 2019. (Ruština)
↑ Encyklopedický slovník mladého fyzika / Komp. V. A. Čujanov .. - M . : Pedagogika, 1984. - S. 257 . — 252 s.
↑ John Earman. Curieův princip a spontánní narušení symetrie // Mezinárodní studia ve filozofii vědy. - 2004. - T. 18 . - S. 173-198 . - doi : 10.1080/0269859042000311299 . Archivováno z originálu 14. srpna 2017.
↑ Vakarchuk, I. O. Kvantová mechanika (neopr.) . - Lvov: LNU im. já Franka, 2012. - S. 35-36. - ISBN 978-966-613-921-7 . Archivováno 4. června 2016 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 Tkachuk, V.M. Základní problémy kvantové mechaniky (neopr.) . - Lvov: LNU im. já Frank, 2011. - ISBN 978-966-613-850-0 . Archivováno 20. ledna 2021 na Wayback Machine
↑ Cheng T.P., Li L.F. Měřicí teorie ve fyzice částic . - M .: "Mir", 1987. - 624 s. - ISBN 978-5-458-27042-7 .
↑ Cheng T.P., Li L.F., 1987 , s. 156.
↑ Miranský VA, 1994 , s. 41.
↑ Miranský VA, 1994 , s. 42.
↑ Miranský VA, 1994 , s. 43.
↑ 1 2 Goldstone J. Teorie pole se "supravodičovými" řešeními // Nuovo Cimento. - 1961. - T. 19 . - S. 154-164 . - doi : 10.1007/BF02812722 . Archivováno z originálu 6. července 2020.
↑ 1 2 Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Broken symetries // Phys. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 . Archivováno z originálu 26. října 2019.
↑ 1 2 Higgs, Peter W. Broken Symmetries and the Masses of Gauge bosons // Phys. Rev. Lett.. - 1964. - T. 13 . - S. 508-509 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 . Archivováno 27. května 2020.
↑ Englert, F. a Brout, R. Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons // Phys. Rev. Lett.. - 1964. - T. 13 . - S. 321-323 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.321 . Archivováno z originálu 28. října 2019.
↑ Steven Weinberg. Obecná teorie porušených lokálních symetrií // Phys. Rev. D. - 1973. - T. 7 . - S. 1068-1082 . - doi : 10.1103/PhysRevD.7.1068 . Archivováno z originálu 24. února 2019.
↑ 12 Steven Weinberg . Přibližné symetrie a pseudo-Goldstone bosony // Phys. Rev. Lett.. - 1972. - T. 29 . - S. 1698-1701 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.29.1698 . Archivováno z originálu 2. března 2019.
↑ Roger Dashen. Chirální SU(3)⊗SU(3) jako symetrie silných interakcí // Phys. Rev.. - 1969. - T. 183 . - S. 1245-1260 . - doi : 10.1103/PhysRev.183.1245 .
↑ Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantová pole . - Moskva: "Nauka", 1980.
↑ 1 2 Weinberg, Steven. Kvantová teorie polí. Svazek 1. Základy (neopr.) . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0521550017 .
↑ Goldstone, Jeffrey a Salam, Abdus a Weinberg, Steven. Zlomené symetrie // Phys. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965-970 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 .
↑ A. A. Slavnov. Wardovy identity v teoriích měřidel // TMF. - 1972. - T. 10 . - S. 153-161 . - doi : 10.1007/BF01090719 .
↑ Taylor, JC Ward Identity a renormalizace náboje v poli Yang-Mills // Nucl. Fyzik.. - 1971. - T. B33 . - S. 436-444 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90297-5 .
↑ t Hoofte, Gerarde. Renormalizovatelné lagrangiány pro masivní pole Yang-Mills // Nucl. Fyzik.. - 1971. - T. B35 . - S. 167-188 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90139-8 . Archivováno z originálu 26. října 2019.
↑ Lee, Benjamin W. Renormalizable Massive Vector-Meson Theory-Perturbation Theory of Higgs Fenomén // Phys. Rev. D. - 1972. - T. 5 . - S. 823 . - doi : 10.1103/PhysRevD.5.823 .
↑ Fujikawa, K. a Lee, BW a Sanda, AI Generalized Renormalizable Gauge Formulation of Spontaneously Broken Gauge Theories // Phys. Rev.. - 1972. - T. D6 . - S. 2923-2943 . - doi : 10.1103/PhysRevD.6.2923 .
↑ Faddeev, LD a Popov, VN Feynmanovy diagramy pro pole Yang-Mills // Phys. Lett.. - 1967. - T. 25B . - S. 29-30 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90067-6 .
↑ Nambu, Yoichiro a Jona-Lasinio, G. Dynamický model elementárních částic založený na analogii se supravodivostí. 1 // Phys. Rev.. - 1961. - T. 122 . - S. 345-358 . - doi : 10.1103/PhysRev.122.345 .
↑ Nambu, Yoichiro a Jona-Lasinio, G. Dynamický model elementárních částic založený na analogii se supravodivostí. 2 // Phys. Rev.. - 1961. - T. 124 . - S. 246-254 . - doi : 10.1103/PhysRev.124.246 .
↑ Jackiw, R. a Johnson, K. Dynamical Model of Spontaneously Broken Gauge Symmetries // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 2386-2398 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.2386 .
↑ Schwinger, Julian S. Gauge invariance and mass // Phys. Rev.. - 1962. - T. 125 . - S. 397-398 . - doi : 10.1103/PhysRev.125.397 .
↑ Haymaker, Richard W. Dynamical Symmetry Breaking // Acta Phys. Polon.. - 1982. - T. B13 . - S. 575-605 . Archivováno z originálu 26. října 2019.
↑ Bjorken, JD Dynamický původ pro elektromagnetické pole // Annals Phys.. - 1963. - Vol 24 . - S. 174-187 . - doi : 10.1016/0003-4916(63)90069-1 .
↑ 1 2 Ginzburg, V. L. a Landau, L. D. K teorii supravodivosti // JETP . - 1950. - T. 20 . - S. 1064 . (Ruština)
↑ Hugenholtz, NM a Pines, D. Energie a excitační spektrum pozemního stavu systému interagujících bosonů // Phys. Rev.. - 1959. - T. 116 . - S. 489-506 . - doi : 10.1103/PhysRev.116.489 .
↑ Chen, Xie a Gu, Zheng Cheng a Wen, Xiao Gang. Lokální unitární transformace, kvantové zapletení na dlouhé vzdálenosti, renormalizace vlnové funkce a topologické uspořádání // Phys. Rev. B. - 2010. - T. 82 . - S. 155138 . - doi : 10.1103/PhysRevB.82.155138 . - arXiv : 1004.3835 .
↑ Rovenchak, A.A. Fyzika Boseových systémů (neopr.) . — Lvov: Vydavnichesky centrum LNU im. I.Franka, 2015.
↑ Pitaevsky, L. P. Vířivá vlákna v neideálním Boseově plynu // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1961. - T. 40 . - S. 646-651 .
↑ Glashow, S. L. Částečné symetrie slabých interakcí. - 1961. - T. 22 . - S. 579-588 . - doi : 10.1016/0029-5582(61)90469-2 .
↑ Weinberg, Steven. Model leptonů. - 1967. - T. 19 . - S. 1264-1266 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .
↑ Salam A. Teorie elementárních částic: relativistické grupy a analytika / Nils Svartholm. - Almqvist & Wiksell, 1968. - S. 367. - ISBN 978-0-470-83842-6 .
↑ Georgi, H. a Glashow, S. L. Jednota všech elementárních částicových sil // Phys. Rev. Lett.. - 1974. - T. 32 . - S. 438-441 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.32.438 .
↑ Okun L. B. Leptony a kvarky . - URSS, 2012. - S. 254-255. - ISBN 978-5-382-01375-6 .
↑ Georgi H., Částice a pole - 1974, ed. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, NY, 1975).
↑ Pati, Jogesh C. a Salam, Abdus. Sjednocená lepton-hadronová symetrie a teorie měření základních interakcí // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 1240-1251 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.1240 .
↑ 1 2 Witten, Edward. Dynamical Breaking of Supersymetry // Nucl. Phys.. - 1981. - T. B188 . - S. 513 . - doi : 10.1016/0550-3213(81)90006-7 .
↑ Wess, J. and Zumino, B. Supergauge Transformations in Four-Dimensions // Nucl. Fyzik.. - 1974. - T. B70 . - S. 39-50 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90355-1 .
↑ Volkov, D.V. a Soroka, V.A. Higgsův efekt pro částice Goldstone s rotací 1/2 // JETP Letters. — 1973}. - T. 18 . - S. 529-532 .
↑ Deser, Stanley a Zumino, B. Broken Supersymmetry and Supergravity, Phys. Rev. Lett.. - 1977. - T. 38 . - S. 1433-1436 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.38.1433 .
↑ O'Raifeartaigh, L. Spontánní narušení symetrie pro chirální skalární superpole // Nucl. Phys.. - 1975. - T. B96 . - S. 331-352 . - doi : 10.1016/0550-3213(75)90585-4 .
↑ 1 2 Belavin AA, Polyakov AM, Schwarz AS, Tyupkin Yu.S., Pseudočásticová řešení Yang-Millsových rovnic, Phys. Lett. B 59 , 85 (1975).
↑ 1 2 Polyakov, AM. Particle Spectrum in Quantum Field Theory // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1974. - T. 20 . - S. 430-433 .
↑ 1 2 't Hoofte, Gerarde. Magnetické monopoly v Unified Gauge Theories // Nucl. Phys.. - 1974. - T. B79 . - S. 276-284 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90486-6 .
↑ 1 2 Nielsen, Holger Bech a Olesen, P. Modely Vortex Line pro duální struny // Nucl. Fyzik.. - 1973. - T. B61 . - S. 45-61 . - doi : 10.1016/0550-3213(73)90350-7 .
↑ 1 2 Ya. B. Zel'dovich, I. Yu. Kobzarev a L. B. Okun', Cosmological Consequences of Spontaneous Breaking of Discrete Symmetry, JETP 40 , 2 (1975).
↑ Bogomolny, E. B. Stabilita klasických roztoků // Nuclear Physics. — 1976}. - T. 24 . - S. 861-870 .
↑ Zeldovich, Ya. B. a Khlopov, M. Yu. O koncentraci reliktních magnetických monopólů ve vesmíru // Physics Letters B. - 1978. - T. 79 . - S. 239-241 .
↑ Julia, B. a Zee, A. Póly s magnetickým i elektrickým nábojem v nenabelovské teorii měření // Phys. Rev.. - 1975. - T. D11 . - S. 2227-2232 . - doi : 10.1103/PhysRevD.11.2227 .
↑ 't Hoofte, Gerarde. Výpočet kvantových efektů v důsledku čtyřrozměrné pseudočástice // Phys. Rev.. - 1976. - T. D14 . - S. 3432-3450 . - doi : 10.1103/PhysRevD.18.2199.3, 10.1103/PhysRevD.14.3432 .
↑ 't Hoofte, Gerarde. Symmetry Breaking Through Bell-Jackiw anomálie // Phys. Rev. Lett.. - 1976. - T. 37 . - S. 8-11 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.37.8 .
↑ 1 2 Coleman, Sidney R. Osud falešného vakua. 1. Semiklasická teorie // Fyzik. Rev.. - 1977. - T. D15 . - S. 2929-2936 . - doi : 10.1103/PhysRevD.15.2929, 10.1103/PhysRevD.16.1248 .
↑ Callan, Jr., Curtis G. a Coleman, Sidney R. The Fate of the False Vacuum. 2. První kvantové korekce, Phys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 1762-1768 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.1762 .
↑ Skyrme, THR A Nelineární teorie pole // Proc. Royi. soc. Londýn.. - 1961. - T. A260 . - S. 127-138 . - doi : 10.1098/rspa.1961.0018 .
↑ Al Khawaja, Usama a Stoof, Henk. Skyrmionové ve feromagnetickém Bose--Einsteinově kondenzátu // Příroda . - 2001. - Sv. 411 . — S. 918 .
↑ Grib A. A., Mamaev S. G., Mostepanenko V. M., Kvantové efekty v intenzivních vnějších polích, Moskva: Atomizdat, 1980.
↑ Joseph, A. and Solomon, AI Globální a infinitezimální nelineární chirální transformace // J. Math. Fyzik.. - 1970. - T. 11 . - S. 748-761 . - doi : 10.1063/1.1665205 .
↑ Isham, CJ a Salam, Abdus a Strathdee, JA Nelineární realizace časoprostorových symetrií. Skalární a tenzorová gravitace // Annals Phys.. - 1971. - T. 62 . - S. 98-119 . - doi : 10.1016/0003-4916(71)90269-7 .
↑ Ogievetsky V.I., Polubarinov I.V., ZhETF 21 , 1093 (1965).
↑ Ne'eman, Yuval a Sherry, TN Graded Spin-Extension of the Algebra of Volume Preserving Deformations // Phys. Lett.. - 1978. - T. 76B . - S. 413 . - doi : 10.1016/0370-2693(78)90895-X .
↑ 1 2 Sardanashvili G. A. (1998), disertační práce „Higgsův model klasického gravitačního pole“, http://www.g-sardanashvily.ru/D.Sc-Sard.pdf
↑ Sardanashvily, G. Gauge gravitation theory: Gravity as a Higgs field // Int. J. Geom. Meth. Mod. Fyz.. - 2016. - T. 13 . - S. 1650086 . - doi : 10.1142/S0219887816500869 . - arXiv : 1602.06776 .
↑ 1 2 Ivanenko D.D., Pronin P.I., Sardanashvili G.A. Měřicí teorie gravitace (neopr.) . - Moskva: Nakladatelství MGU, 1985.
↑ Adler, Stephen L. Einstein Gravitace jako efekt narušující symetrii v kvantové teorii pole // Rev. Mod. Fyzik.. - 1982. - T. 54 . - S. 729 . - doi : 10.1103/RevModPhys.54.729 .
↑ Stelle, KS Renormalizace vyšší derivační kvantové gravitace // Phys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 953-969 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.953 .
↑ Linde, Andrei D. Scénář nového inflačního vesmíru: možné řešení problémů horizontu, plochosti, homogenity, izotropie a primordiálních monopolů // Physics Letters B. - 1982. - V. 108 . - S. 389-393 .
↑ Albrecht, Andreas a Steinhardt, Paul J. Kosmologie pro velké sjednocené teorie s radiativně indukovaným porušením symetrie // Phys. Rev. Lett.. - 1982. - T. 48 . - S. 1220-1223 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1220 .
↑ Nobelova cena za fyziku 1979 . Nobelova nadace . Získáno 17. června 2012. Archivováno z originálu 22. června 2012.
↑ Nobelova cena za fyziku 1982 . Nobelova nadace . Získáno 17. června 2012. Archivováno z originálu 22. června 2012.
↑ Nobelova cena za fyziku 1999 . Nobelova nadace . Získáno 17. června 2012. Archivováno z originálu 22. června 2012.
↑ Nobelova cena za fyziku 2008 . Nobelova nadace . Získáno 17. června 2012. Archivováno z originálu 22. června 2012.
↑ Nobelova cena za fyziku 2013 . Nobelova nadace . Získáno 8. října 2013. Archivováno z originálu dne 4. dubna 2015.

Literatura

V. P. Shelest. SPONTÁNNÍ PORUŠENÍ SYMETRIE . Fyzická encyklopedie. Staženo: 30. září 2019. (Ruština)
Miransky VA Dynamické narušení symetrie v kvantových teoriích pole. - Singapur: World Scientific, 1994. - 533 s. — ISBN 981-02-1558-4 .

Klasifikace částic
Rychlost vzhledem k rychlosti světla	Tardioni ( nebo bradyoni) Luxony Hypotetické: Tachyony nadměrné bradyony
Přítomností vnitřní struktury a oddělitelnosti	elementární částice ( fundamentální částice ) složená částice
Fermiony přítomností antičástice	Diracovy fermiony Majoránka fermionská
Vzniká při radioaktivním rozpadu	α β γ 5 ε n
Kandidáti na roli částic temné hmoty	WIMP Wimpzilla LSP NLSP
V inflačním modelu vesmíru	Inflaton zakřivení
Přítomností elektrického náboje	nabitá částice neutrální částice
V teoriích spontánního porušení symetrie	Goldstone boson Goldstone fermion ( nebo goldstino)
Podle doby života	stabilní částice Nestabilní částice
Jiné třídy	virtuální částice subatomární částice antičástice Skutečné neutrální částice Volné částice Identické částice Oni a Kvazičástice Hypotetické částice Rezonance