Tangenciální trojúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Tangenciální trojúhelník (z latinského tangens - tangens) je konstrukce, která dává nový trojúhelník podél daného trojúhelníku.

Pokud je kolem daného trojúhelníku popsána kružnice, pak se trojúhelník tvořený třemi přímými tečnami ke kružnici protažené vrcholy nazývá tečný . $\trojúhelník ABC$ $\triangle A'B'C'$ $A$ $B$ $C$

Souřadnice vrcholu

Trilineární souřadnice vrcholů tečného trojúhelníku

A'=-a:b:c

B'=a:-b:c

C'=a:b:-c

Vlastnosti

Strany tečného trojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími protilehlými stranami daného trojúhelníku (vlastností antiparalelnosti tečen ke kružnici). $\triangle A'B'C'$
Strany tečného trojúhelníku jsou rovnoběžné s odpovídajícími stranami pravoúhlého trojúhelníku .
Kružnice vepsaná do tečného trojúhelníku je kružnicí opsanou vzhledem k danému trojúhelníku . $\triangle A'B'C'$ $\trojúhelník ABC$
A naopak: střed kružnice vepsané do tečného trojúhelníku se shoduje se středem kružnice opsané danému trojúhelníku . $\triangle A'B'C'$ $\trojúhelník ABC$
Vztah mezi úhly tečného trojúhelníku a daného trojúhelníku ΔABC $\ A'=\pi -2A;$ $\ B'=\pi -2B;$ $\ C'=\pi -2C.$
Pro daný trojúhelník jsou jeho tangenciální trojúhelník a ortotrojúhelník podobné. $\trojúhelník ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\triangle A''B''C''$
Plocha tohoto trojúhelníku se rovná geometrickému průměru mezi plochami tečného trojúhelníku a ortotrojúhelníku . $\trojúhelník ABC$
Obsah tečného trojúhelníku je [1] : $S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^ {2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}$

kde je plocha trojúhelníku ; - jeho příslušné strany. Nebo [2]

S

\trojúhelník ABC

a,b,c

S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\s A\sec B\sec C|

Strany tečného trojúhelníku jsou [2] $a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}$ $b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}$ $c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}$
Strany tečného trojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími protilehlými stranami daného trojúhelníku (vlastností antiparalelnosti tečen ke kružnici).

Pozoruhodné body

Následující tabulka uvádí shodu pozoruhodných bodů tečného trojúhelníku se středy původního trojúhelníku. X n znamená index pozoruhodného bodu v Kimberlingově seznamu [3] .

X n	Střed tečného trojúhelníku	X n	Střed původního trojúhelníku
x2 _	těžiště trojúhelníku	X 154	X3 je konjugovaný bod X6
x3 _	střed opsané kružnice	x26 _	střed opsané kružnice tečného trojúhelníku
x4 _	ortocentrum	X 155	správný střed pravoúhlého trojúhelníku
x5 _	střed devíti bodů	X 156	X 5 tečný trojúhelník
x6 _	symmedianový průsečík	X 157	X 6 tangenciální trojúhelník
X 30	Nekonečný bod Eulerovy čáry	X 1154	izogonální konjugace bodu X 1141
X 523	izogonální konjugace bodu X 110	X 1510	křížový rozdíl Napoleonových bodů

Viz také

Poznámky

↑ Vzorec lze odvodit z předchozí vlastnosti a plochy ortotrojúhelníku
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Tangenciální trojúhelník na webu Wolfram MathWorld .
↑ Encyklopedie trojúhelníkových center . Získáno 18. srpna 2015. Archivováno z originálu 19. dubna 2012. (neurčitý)

Literatura

Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vyd. - M. : Uchpedgiz, 1962. - 153 s.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M. : MTsNMO , 2004. - S. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .