Wickův teorém (v kvantové elektrodynamice)

Wickův teorém (v kvantové elektrodynamice) je výrok, který umožňuje vypočítat prvky - matice v řádu poruchové teorie. $S$ $n$

Wickův teorém formuloval a dokázal D. Wick v roce 1950 [1] [2]

Jak víte, prvek přechodové matice má tvar:

\langle f|S^{(n)}|i\rangle ={\frac {1}{n!)}}(-ie)^{n}\int d^{4}x_{1} \ ldots d^{4}x_{n}\times \langle 0|\ldots b_{2f}b_{1f}...a_{1f}\ldots c_{1f}T({\bar {\psi }} _ {1}\gamma A_{1}\psi _{1})\times \ldots \times ({\bar {\psi }}_{n}\gamma A_{n}\psi _{n})c_ { 1i}^{+}\ldots a_{1i}^{+}\ldots b_{1i}^{+}\ldots |0\rangle .

Indexy vyjmenovávají počáteční částice a konečné částice. Indexy operátorů a střední hodnota atd. - symbol chronologického součinu operátorů. $1i,2i,\ldots$ $1f,2f,\ldots$ $1,2,\ldots$ $\psi$ $A$ $\psi _{1}=\psi (x_{1})$ $T$

Formulace

Wickův teorém říká, že vakuový průměr libovolného počtu bosonických operátorů se rovná součtu součinů všech možných párových průměrů těchto operátorů. V tomto případě musí být v každém páru faktory ve stejném pořadí jako v původním produktu. U fermionických operátorů vstupuje každý člen součtu se znaménkem plus nebo minus v závislosti na tom, zda je počet požadovaných permutací pro umístění všech zprůměrovaných operátorů vedle sebe sudý nebo lichý [3] .

Důkaz

Definujte jako normální součin několika operátorů , ve kterém jsou všechny operátory vytvoření nalevo od operátorů anihilace a znaménko plus nebo mínus závisí na tom, zda sudá nebo lichá permutace Fermiho operátorů vede k tomuto typu součinu. Definujeme jako zdvojený součin dvou operátorů . Wickův teorém říká, že chronologický součin libovolného počtu operátorů lze reprezentovat jako součet normálních součinů se všemi možnými zdvojeními. $N(AB...YZ)$ $A^{*}B^{*}=T(AB)-N(AB)$

T(AB\ldots YZ)=N(AB\ldots YZ)+N(A^{*}B^{*}CD\ldots YZ)+N(A^{*}BC^{*}D \ldots YZ)+\ldots +N(A^{*}B^{**}C^{***}D\ldots X^{*}Y^{**}Z^{***}) .

Chronologický součin operátorů se tedy rovná normálnímu součinu plus součet normálních součinů s jedním zdvojnásobením, kde dvojice musí být zvolena všemi možnými způsoby, plus součet normálních součinů se dvěma zdvojeními, kde dva páry zdvojení zdvojení musí být zvoleno všemi možnými způsoby atd. Aby bylo možné transformovat chronologický produkt na normální produkt, musí být všechny operátory porodu přeskupeny s operátory ničení, které jim předcházejí. Výsledkem je vzorec výše uvedeného typu. Bude zahrnovat zdvojení pouze těch operátorů, jejichž pořadí v chronologickém produktu se liší od pořadí v normálním produktu. Protože zdvojnásobení operátorů, pro které jsou oba řády ekvivalentní, jsou rovna nule, můžeme předpokládat, že pravá strana vzorce obsahuje normální součiny se všemi možnými zdvojeními. [čtyři]

Viz také

Wick-Bloch-Dominisis teorém

Poznámky

↑ Wick G. C. The Evaluation of the Collision Matrix // Phys. Rev. - 1950. - V. 80. - S. 268-272. – URL: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.80.268
↑ Vik D. Výpočet srážkové matice // Nejnovější vývoj kvantové elektrodynamiky. Sborník článků, ed. D. D. Ivaněnko .- M.: IL.- 1954.- S. 245-253.
↑ Bilenky, 1971 , s. 83.
↑ Sadovský M. V. Přednášky o kvantové teorii pole, 2003, 480 stran, ISBN 5-93972-241-5

Literatura

Berestetsky V. V. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Kvantová elektrodynamika. - M.: Fizmatlit. - 2001. - 720 s., ISBN 5-9221-0058-0
Schweber S., Bethe G. , Hoffman F. Mezony a pole, svazek 1. - 1957.
Bilenkiy S. M. Úvod do techniky Feynmanových diagramů. — M .: Atomizdat, 1971. — 213 s.