Věta o jednotné kontinuitě

Věta o jednotné spojitosti nebo Cantorova - Heineova věta říká, že spojitá funkce definovaná na kompaktní množině je na ní rovnoměrně spojitá.

Formulace

Nechť jsou dány dva metrické prostory a Nechť je dána také kompaktní podmnožina a na ní definovaná spojitá funkce Potom je rovnoměrně spojitá na $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$ $A\podmnožina X$ $f\colon A\to Y.$ $F$ $A.$

Poznámky

Konkrétně spojitá reálná funkce definovaná na segmentu je na něm rovnoměrně spojitá. $f\colon [a,b]\podmnožina \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Za podmínek věty nelze kompaktní množinu nahradit libovolnou otevřenou množinou. Například funkce $f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)$

je spojitý přes celou doménu definice, ale není rovnoměrně spojitý. Důkaz

Použijme důkaz kontradikcí.

Dovolit být funkce, která splňuje podmínky věty (na kompaktní množině ), ale není na ní rovnoměrně spojitá. Pak existuje taková , že pro všechny existují takové a , vzdálenost mezi nimiž je menší než , ale vzdálenost mezi jejich obrazy není menší než : $f(x)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta>0$ $X$ $y$ $\delta$ $\varepsilon$

\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta )),y_({\delta }}\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,

ale

d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .

Vezměme posloupnost konvergující k 0, například . Konstruujeme sekvence a tak dále $\{\delta _{k}\}$ $\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$ $x_k$ $y_{k}$

d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k))

, ale

d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon

$A$ je kompaktní, takže můžeme vybrat konvergentní podsekvenci:

x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\v A.

Ale protože vzdálenost mezi členy obou posloupností má tendenci k nule, pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme, že odpovídající podposloupnosti mají tendenci k jednomu bodu: . A protože je spojitý , což je v rozporu s předpokladem, že . ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ $F$ $f(x_{{k_{j}}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{{k_{j}}})\to f(\zeta )\Šipka doprava d(f(x_{{ k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\na 0$ $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

Proto funkce, která je spojitá na výlisku, je na výlisku skutečně rovnoměrně spojitá.

Historie

Definice jednotné kontinuity se objevuje v práci Heineho . [1] O dva roky později publikuje důkaz věty pro funkce definované na uzavřeném ohraničeném intervalu. [2] V těchto dokumentech nepředstírá, že je originální a jeho důkaz prakticky opakuje Dirichletův důkaz , který publikoval ve svých přednáškách z roku 1854.

Zdá se, že hlavní příspěvek pochází z Bolzana . [3]

Literatura

↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), s. 353–365
↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), s. 172–188.
↑ Rusnock, Paul a Angus Kerr-Lawson. "Bolzano a jednotná kontinuita." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.