Kronecker-Weberova věta

Kronecker-Weberův teorém je výrok v algebraické teorii čísel , podle kterého každé konečné abelovské rozšíření oboru racionálních čísel , nebo jinými slovy, každé algebraické číselné pole , jehož Galoisova grupa je Abelovská , je podpolem nějakého kruhové pole , tedy pole získané přičtením odmocniny jednoty k racionálním číslům. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Kronecker, pojmenovaný po Leopoldu Kroneckerovi a Heinrichu Martinu Weberovi , provedl většinu důkazu v roce 1853 , v roce 1886 Weber a Hilbert zaplnili některé logické mezery. Věta může být dokázána přímými algebraickými konstrukcemi, ale je také jednoduchým důsledkem výsledků z teorie pole třídy .

Pro dané abelovské rozšíření pole lze definovat minimální kruhové pole obsahující . Pro danou hodnotu lze definovat takové nejmenší celé číslo , které je podpolem pole generovaného odmocninou jednotky tého stupně. Například pro kvadratická pole je toto číslo absolutní hodnotou jejich diskriminantu . $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $K$ $n$ $K$ $n$

Otázka rozšíření věty na libovolné číselné pole je jedním z Hilbertových problémů ( 12 ), od roku 2022 zůstává problém nevyřešený.

Literatura

Greenberg, MJ Elementární důkaz Kronecker-Weberovy věty // American Mathematical Monthly : journal . — The American Mathematical Monthly, sv. 81, č.p. 6, 1974. Sv. 81 , č. 6 . - S. 601-607 . - doi : 10.2307/2319208 .