Rokhlinova podpisová věta

Rokhlinův podpisový teorém je čtyřrozměrný teorém o topologii . Prokázal Vladimir Abramovič Rokhlin v roce 1952.

Formulace

Předpokládejme, že hladký, uzavřený, jednoduše připojený 4- rozdělovač splňuje jednu z následujících ekvivalentních podmínek: $M$

$M$ má spinorovou strukturu .
$w_{2}(M)=0$ ; to znamená, že druhá třída Stiefel-Whitney je nulová.
Tvar křižovatek je rovný. $M$

Pak je podpis jeho průsečíkové formy dělitelný 16.

Poznámky

Podle Jahit Arfova teorému má každá i unimodulární mříž signaturu, která je násobkem 8, takže Rokhlinova teorém implikuje pouze jednu další dvě rozdělující signaturu. Z tohoto důvodu se věta někdy nazývá "Rokhlin 2" věta.

Plocha K3 je kompaktní, čtyřrozměrná a její signatura je 16. Zejména nelze zlepšit dělitelnost v Rokhlinově větě. $w_{2}(M)=0$

Složitý povrch ve stupni má podpis , jak je vidět z věty Friedricha Hirzebrucha o rodu variet . Pro získáme povrch K3 . $\mathbb {CP} ^{3}$ $d$ $(4-d^{2})d/3$ $d=4$

Varieta Michaela Friedmana E8 je jednoduše propojená kompaktní topologická varieta s a průnikem tvoří signaturu 8. Z Rokhlinovy věty vyplývá, že tato varieta nemá hladkou strukturu. Zejména Rokhlinova věta selhává u topologických (ne hladkých) variet. $w_{2}(M)=0$ $E_8$

Pokud je manifold jednoduše připojen (nebo obecněji, pokud první skupina homologie nemá 2-torzi), pak je ekvivalentní paritě průsečíku. To neplatí pro nejednoduše připojené rozdělovače: Enriquesův povrch je kompaktní hladký 4-rozdělovač a má rovnoměrný tvar průsečíku, ale . $M$ $w_{2}(M)=0$ $w_{2}(M)\neq 0$

O důkazech

Rokhlinovu větu lze odvodit ze skutečnosti, že třetí stabilní homotopická skupina koulí je cyklická řádu 24; to je původní Rokhlinův přístup. ${\displaystyle \pi _{3}^{S))$

Lze jej odvodit z Atiyah-Singerovy věty o indexu .

Robion Kirby podal další důkaz.

Odkazy

Alexander Alexandrovich Gaifullin , Rokhlinskaya deuce , lekce (1. část) + (2. část) + (3. část) na YouTube .